On matematiikka , (assosiatiivinen yhtenäinen) algebran yli kommutatiivinen kentän sanotaan olevan yksinkertainen , jos sen taustalla rengas on yksinkertainen , eli jos se ei salli kaksi- pyrstö ihanteellinen muu kuin {0} ja se -SAMe, ja jos lisäksi se ei ole pienennetty arvoon 0. Jos A on yksinkertainen rengas , niin sen keskusta on kommutatiivinen kenttä K , ja kun A pidetään algebrana K: n päällä , niin A on yksinkertainen algebra K: n yläpuolella .
Seuraavaksi merkitsemme K: lla kommutatiivista kenttää, ja minkä tahansa K: n yli olevan algebran oletetaan olevan äärellinen ulottuvuus K: n suhteen
K: n yli olevan algebran sanotaan olevan keskeinen, ellei sitä pienennetä arvoon 0 ja jos sen keskipiste on sen alirengas K .1. Joko yksinkertainen algebran yli K . Kun taas keskellä on laajennus kenttä (kommutatiivinen) Z on K , voidaan pitää algebran yli Z , ja on keskeinen yhden algebran (in) on Z . Täten osa yksinkertaisten algebrojen tutkimuksesta kommutatiivisen kentän yli kohdistuu yksinkertaisten keskitettyjen algebrojen tutkimiseen kommutatiivisen kentän yli.
Tässä tutkitaan yksinkertaista keskeistä algebraa (tai keskitettyä yksinkertaista algebraa) K: lla .
Esimerkkejä
Sanomme, että keskitetty yksinkertainen algebra K: n päällä on käytössä ( jaettu englanniksi), jos on olemassa kokonaisluku n ≥ 1 siten, että A on isomorfinen järjestyksen n neliömatriisien algebraan M n ( K ) nähden .
Olkoon A algebra yli K: n . On vastaavaa sanoa, että:
Olkoon D ja D 'algebrat, joiden keskijakaumat ovat yli K- , n- ja n'- kokonaislukujen ≥ 1. Jotta algebra M n ( D ) ja M n ' ( D ') olisivat isomorfisia, on välttämätöntä ja riittävää, että n = n 'ja että algebra D ja D ' ovat isomorfisia. Olkoon E ja E 'vektorivälit, joilla ei ole nollan äärellisiä ulottuvuuksia D: llä ja D ': llä. Jotta K: n yläpuolella olevat algebrat End D ( E ) ja End D ' ( E ') olisivat isomorfisia, on välttämätöntä ja riittävää, että algebrakentät D ja D ' K: n päällä ovat isomorfisia ja että E: n ja E ': n mitat ovat samat .
Yksinkertaisen keskitetyn algebran luokittelu K: n yli on siis supistettu keskijakauman algebran luokitukseksi K: n yli .
Joko keskeinen tavallinen algebran ja M äärellisesti syntyy moduulin yli . Sitten M : n endomorfismien K -algebra on yksi keskeinen algebra K: n päällä .
Keskeisillä yksinkertaisilla algebroilla K: n päällä on useita merkittäviä ominaisuuksia.
Olkoon keskeinen yhden algebran yli K ja B on yksinkertainen algebran yli K . Riippumatta (yhtenäinen) homorphisms f ja g on on B , on olemassa käännettävissä osa b on B siten, että g ( x ) = bf ( x ) b -1 , mille tahansa elementti x A ( f ja g ovat siksi konjugoidaan ).
Erityisesti, mitä tahansa automorphism on on sisätilojen automorphism on , eli se on muotoa x ↦ axa -1 , jossa on käännettävissä osa , ja tämä automorphism on sitten merkitty Int . Kartan ↦ Int ryhmän * käännettävissä olevan elementtien ryhmän Aut K ( ) on automorphisms ja K -algebra sanoen surjective, ja sen ydin on ryhmä K * ei-nolla skalaareja ja K , ja olemme siten saada isomorfismi ryhmien välillä * / K * on Aut K ( ).
Tai D on keskijakauman algebra K: lla ja E äärellisen ulottuvuuden n vektoritila K: n yläpuolella . Sitten ryhmä käännettävissä elementtejä End ( E ) on lineaarinen ryhmä GL ( E ) ja E , ja kartta f ↦ Int f päässä GL ( E ) AUT K (End ( E )) on surjective homomorfismi ytimen K , ja näin saadaan isomorfismi GL: ltä ( E ) / K * Aut K: lla (End ( E )). Jos n ≥ 2, niin ryhmä GL ( E ) / K * on kanonisesti isomorfinen projisointitilan P ( E ) projektiviseen ryhmään nähden .
Tai A yksi keskeinen algebra K: n päällä . Sitten ulottuvuus yli K on neliö d 2 , ja kutsumme aste on luonnollinen luku d .
Olkoon keskeinen yhden algebran yli K ja on aste . On olemassa kommutatiivinen päällysrungon L on K siten, että keskeinen yksinkertainen L -algebra L ⊗ K on L johdettavissa laajentamalla skalaarit välillä K ja L on käytössä, eli isomorfinen M d ( L ), ja se on mainittu että laajentaminen alalla L ja K on neutraloiva elin tai elin käyttöönoton ja .
Esimerkkejä
On olemassa neutraloiva alalla L on siten, että ulottuvuus L on äärellinen, ja siten, että L (pidetään jatke ja K ) on Galois .
Tai D keskijakoalgebra K: n päällä . Sitten on olemassa maksimielementti L kommutatiivisten D- alikenttien joukon inkluusiosuhteelle . Sitten L on D : n ja yleisemmin Mn: n ( D ) neutraloiva kappale . Siksi mikä tahansa äärellinen ulotteinen vektori tila E on D , L on neutraloiva alan End ( E ).
Keskeisen yksinkertaisen algebran elementtiin voimme liittää skalaarit, jotka yleistävät jäljen , determinantin ja polynomin, jotka yleistävät vektoritilojen ominaispolynomin , neliön matriisit ja endomorfismit kommutatiivisella kentällä.
Olkoon keskeinen yhden algebran on K , ja aste , L neutraloiva elin ja B = L ⊗ K L Keski Yksinkertainen algebran johdettavissa laajemmassa skalaarijono K ja L . Tahansa elementti x on ja mistä tahansa isomorphism ja L -algebras h päässä B on M d ( L ), jälki, determinantti ja karakteristisen polynomin matriisin h (1 ⊗ x ) ja M d ( L ) eivät riippuvat että ja x (eikä L tai h ), ja niitä kutsutaan jälkiä vähennetään , vakio pieni ja tunnusomainen polynomi alennetaan ja x on (ja K ), ja merkitään TRD / K ( x ), NRD / K ( x ) ja vastaavasti Prd A / K ( x ).
Esimerkiksi, jos A = M d ( K ) tai A = loppu K ( E ), jossa E on nollasta poikkeava äärellinen ulottuvuustila K: n päällä , pienennetty jälki, alennettu normi ja pienennetty ominaisuuspolynomi A ovat kukaan muu kuin sen jälki, determinantti ja tunnusomainen polynomi.
Yleisesti :
Olkoon E on äärellinen ulotteinen vektori tilaa n kentän H ja quaternions . Tällöin A = loppu H ( E ) on 2 d . Skalaareja rajoittamalla voimme pitää E : tä monimutkaisena vektoritilana E 0 , ja sitten loppu H ( E ) on kompleksisen keskitetyn yksinkertaisen algebran Loppu C ( E 0 ) todellinen yksikköalialga . Tahansa endomorphism f ja E , pienennetyn jäljittää, pelkistetty normi ja alennetun karakteristinen polynomi elementin f on on mikään muu kuin jälki, normi ja loppupään C elementin f ( E 0 ) ominaispolynomi .
Olkoon f E: n endomorfismi . Kutsumme jälki on f ja me ilmi Tr f alentuneesta jälkeäkään f , jaettuna 2. Alennettu normi f on positiivinen tai nolla todellinen määrä , ja me sitten puhelun tekijä on f ja me ilmi det f neliöjuuri alennettu normi f .