On matematiikka , joka on yksinkertainen rengas on yksi algebrallinen rakenne käytetään yleisesti algebran . Rengas sanotaan olevan yksinkertainen , jos se on ei- nolla ja ei salli muiden kahdenvälistä ihanteita kuin {0} ja itse.
Kommutatiivinen rengas on yksinkertainen, jos ja vain jos se on kommutatiivinen kenttä .
Yleisemmin kenttä (ei välttämättä kommutatiivinen) on yksinkertainen rengas, ja neliön matriisien järjestys, jonka järjestys on n ja kentän kertoimet, on yksinkertainen. Yksinkertaisista renkaista ovat artinialaiset renkaat, isomorfismia lukuun ottamatta , kiinteän järjestyksen (mikä tahansa) neliömäisten matriisien renkaat, joiden kertoimet ovat kentässä (mikä tahansa).
Assosiatiivisen (yhtenäisen) algebran kommutatiivisen kentän yli sanotaan olevan yksinkertainen, jos sen taustalla oleva rengas on yksinkertainen.
Olkoon D kenttä (kommutatiivinen tai ei). Minkä tahansa nollasta poikkeavan luonnollisen luvun n kohdalla neliömatriisien rengas M n ( D ), joiden kertoimet ovat D: ssä, on yksinkertainen artiinirengas . Lisää olennaisesti mistä tahansa vektori tilaan E on ei-nolla rajallinen ulottuvuus on D , rengas End D ( E ) on endomorphisms ja E on yksinkertainen Artinian rengas. Päinvastoin on totta:
Wedderburn n lauseen . Olkoon A rengas. On vastaavaa sanoa, että:
Olkoon D ja D ' kentät, n ja n' kokonaisluvut> 1. Jotta renkaat M n ( D ) ja M n ' ( D' ) olisivat isomorfisia, on välttämätöntä ja riittävää, että n = n ' ja että renkaat kentät D ja D ' ovat isomorfisia. Olkoon E ja E ' vektorivälit, joilla ei ole nollia äärellisiä ulottuvuuksia D: llä ja D: llä' . Jotta renkaat Loppu D ( E ) ja Loppu D ' ( E' ) olisivat isomorfisia, on välttämätöntä ja riittävää, että kappaleet D ja D ' ovat isomorfisia ja että E: n ja E': n mitat ovat samat.
Siksi yksinkertaiset artinialaiset renkaat aksiomatisoivat kenttien kerroinmatriisien renkaat ja äärellisten ulottuvuuksien vektoritilojen endomorfismien renkaat.
Olkoon E vektorin tila, jolla on ääretön ulottuvuus kentän päällä. Sitten rengas End ( E ) ei ole yksinkertainen eikä Artinian (eikä edes Noetherian ): kahdenväliset ihanne endomorphisms ja E on äärellinen sijoitus ei ole äärellinen tyyppiä (ei vasemmalle eikä oikealla).
Olkoon A yksinkertainen artenian rengas. Sitten keskus on on kommutatiivinen kenttä K , ja jos, ottaen huomioon kuin K -vektorisysteemi tila, on ulottuvuudessa K , niin on keskeinen yksinkertainen algebran yli K .
Mitään yksinkertaista artinian rengas , yksinkertainen -modules ovat kaksittain isomorfeilla. Itse asiassa, jotta puoliksi yksinkertainen rengas olisi yksinkertainen (ja siksi artininen), on välttämätöntä ja riittävää, että sen yksinkertaiset moduulit ovat kaksi kahdesta isomorfista.
Olkoon E vektorin rajallinen nollasta poikkeava avaruusulottuvuus n D: n yläpuolella . Sitten rengas End D ( E ) on yksinkertainen ja Artinian ja lisäksi ulkoista lakia ( f , x ) f ( x ) End D ( E ) on E , E on loppu D ( E ) - yksinkertainen moduuli , jonka pituus on n .
Olkoon päinvastoin A yksinkertainen artinian rengas ja r pituudeltaan A- moduuli A (joka on äärellinen). Sitten yksinkertaiset A- moduulit ovat kaksi kerrallaan isomorfia, ja olkoon M sellainen A- moduuli. Sitten endomorphism rengas -moduulista ja M on kenttä D , ja ottaen huomioon ulkoisen lain ( f , x ) f ( x ) on D = End ( M ) on M , M on vektori tilaa ulottuvuus rajallinen r on D .
Jean-Pierre Serre , " Yksinkertaisten algebrojen teoria ", Seminaari Henri Cartan , nide 3 (1950-1951), s. 6.1-6.9 ja 7.1-7.11
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">