Yksinkertainen moduuli
Moduuli M rengas sanotaan yhden tai redusoitumaton , jos M ei ole nolla moduuli ja ei ole osa-moduulien M ulkopuolella {0} ja M .
Esimerkkejä
Yksinkertaisten moduulien rakenne
Olkoon olla yhtenäinen rengas ja M yksinkertainen -moduulista.
- Niin M on - syklinen moduuli muodostetaan tahansa nollasta poikkeava elementti x on M . Todellakin, Ax on submodule nollasta poikkeava M , joten se on M . Päinvastoin on väärä, esimerkiksi ℤ-moduuli ℤ on monogeeninen (1: n tuottama), mutta ei yksinkertainen.
- Olkoon x nollasta poikkeava elementti M . Sitten joukko elementtejä on siten, että ax = 0 on maksimaalinen jäljellä ihanteellinen I ja , ja kartoitus a↦ax välillä ja M on -linear, ja johtamalla osamäärä, määrittelee isomorfismi on - moduulit / I on M .
- Kääntäen, joka vasemmalla ihanteellinen J of , niin että -moduulista / J on yksinkertainen, se on välttämätöntä ja riittävää, että J on maksimaalinen osa kaikkia vasemman ihanteiden eri .
Ominaisuudet
- Yksittäiset moduulit ovat moduuleja, joiden pituus on 1.
- Yksinkertainen moduuli on hajoamaton (in) , toisin sanoen se ei ole isomorfinen kahden ei- nollamoduulin suoran summan kanssa. Päinvastoin on väärä: esimerkiksi hajoamattomat äärelliset tyypit uli-moduulit ovat ℤ ja sykliset ryhmät p n, joiden p prime ja n > 0 .
- Päinvastoin kuin vektoritiloissa tapahtuu , nollasta poikkeavalla moduulilla ei välttämättä ole yksinkertaista alimoduulia. Esimerkiksi kaikki-: n nollasta poikkeavat alamoduulit ovat isomorfisia ℤ: n suhteen, joten ne eivät ole yksinkertaisia.
Olkoon olla rengas, M ja N on -modules ja f sovellus -linear ja M on N . Jos M on yksinkertainen, f on joko nolla tai injektoiva (todellakin, f: n ydin on M: n alamoduuli , joten {0} tai M ). Jos N on yksinkertainen, f on joko surjektiivinen tai nolla ( f: n kuva on todellakin N: n alamoduuli , siis {0} tai N ).
Jos A- moduuli on yksinkertainen, niin sen endomorfismien rengas on siis kenttä , mutta päinvastoin on väärä: ℤ-moduuli ℚ ei ole yksinkertainen, ja silti mikä tahansa abelin ryhmän ℚ nollasta poikkeava endomorfismi on käänteinen.
Olkoon K olla algebrallisesti suljettu kunta , K -algebra ei-nolla äärellinen ulottuvuus ja M yksinkertainen -moduulista. Sitten A- moduulin M endomorfismien rengas on kanonisesti isomorfinen K: n suhteen .
Katso myös