Moduulin pituus

Pituus moduuli M yli rengas on luonnollinen luku tai ääretön . Se yleistyy tietyllä tavalla käsitteen ulottuvuus on vektoriavaruus on elin . Moduulit pituudeltaan rajallinen on monia ominaisuuksia yleistäen kuin vektori tilojen rajallinen ulottuvuus .

Motivaatio

Yhden moduulit ovat moduuleja M nollasta poikkeavia, joilla ei ole muita osa-moduulit {0} ja M . Esimerkiksi vektoriavaruus on yksinkertainen moduulina vain ja vain, jos se on vektoriviiva . Yksinkertaiselle moduulille M ainoa tiukasti kasvava osamoduulien sekvenssi on

{\ displaystyle \ {0 \} \ subsetneq M.}

Yksinkertaiset moduulit ovat tavallaan helppoja kokonaisuuksia. Jos moduulille M löydetään tarkasti kasvava alamoduulien sarja : ${\ displaystyle (M_ {k}) _ {0 \ leq k \ leq n}}$

{\ displaystyle M_ {0} = \ {0 \} \ subsetneq M_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq M_ {n-1} \ subsetneq M_ {n} = M}

siten, että minkä tahansa kokonaisluvun k välillä 1 - n , osamoduuli on yksinkertainen, silloin emme voi lisätä alamoduulia tähän jaksoon pitäen tiukkoja sulkeumia. Sanomme, että A- moduuli M on rajallinen ja että sen pituus on n . Tämä pituus vastaa alla olevaa määritelmää. ${\ displaystyle M_ {k} / M_ {k-1}}$

Erityisesti jos E on rajallisen ulottuvuuden k- vektoriavaruus, niin tällainen sekvenssi koostuu sisäkkäisistä vektorialatiloista, joiden mitat kasvavat yhdellä yksiköllä kussakin vaiheessa. Sitten puhumme vektoritilan hajoamisesta lipuksi, ja E: n pituus on siten sen ulottuvuus.

Määritelmä

Moduulin M pituus renkaalla A , joka ei välttämättä ole kommutatiivinen , on suurin kokonaisluku n sellainen, että M : n alamoduuleista on tiukasti kasvava sekvenssi , jos sellainen maksimiarvo on olemassa. Muuten sanomme, että pituus on ääretön. ${\ displaystyle M_ {0} \ subsetneq M_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq M_ {n}}$

Panemme merkille sen tai kun skalaarien renkaasta ei ole epäilystäkään. ${\ displaystyle \ ell _ {A} (M)}$ ${\ displaystyle \ ell (M)}$

Merkintä. Ulkoinen laki -moduulista M on toimintaa , joka (muiden ominaisuuksien) tekee M ryhmä operaattoreita vuonna . Moduulin M pituus on kukaan muu kuin sen pituus operaattoriryhmänä .

Esimerkkejä

Yksinkertaiset moduulit ovat määritelmän mukaan pituisia moduuleja.
Vektoriavaruus on rajallinen, jos ja vain, jos se on äärellinen ulottuvuus ( katso yllä ).
Syklinen ryhmä ℤ / n ℤ, nähdään ℤ-moduuli , on jo Pituudeltaan numero Ω ( n ) on alkutekijät on n , laskettiin niiden tilauksia moninaisuus.
Koskevasta Artinian rengas , kaikki Artinian moduuli (tai uudelleen: äärellinen tyyppi ) on äärellinen pituus.
Ei-artinian rengas , nähdään -moduulista , on ääretön pituus.

Ominaisuudet

Mitä tulee äärellisen pituisiin moduuleihin, monet ominaisuudet ovat analogisia niiden kanssa, jotka tunnetaan rajallisten ulottuvuuksien vektoritiloista. Esimerkiksi,

jos M on äärellisen pituinen moduuli, niin mikä tahansa M: n alamoduuli on rajallinen;
jos M on rajallinen ja jos N on M : n alamoduuli , jonka pituus on sama kuin M , niin N = M ;
jos M myöntää äärellisen pituuden N alamoduulin siten, että osamoduuli M / N on myös äärellisen pitkä, niin M on rajallinen ja meillä on

{\ displaystyle \ ell (M) = \ ell (N) + \ ell (M / N)}

Johdamme Grassmann-kaavan alamoduulien pituudesta:

{\ displaystyle \ ell (N + P) + \ ell (N \ cap P) = \ ell (N) + \ ell (P)}

Lisäksi seuraava lause kuvaa äärellisen pituiset moduulit:

Moduuli on rajallinen vain siinä tapauksessa, että se on sekä artinian että noetherian .

Lause, Krull-Schmidt (in) varmistaa sen, että kaikki moduulit on äärellinen pituus on ainutlaatuisesti jopa isomorphism, suora summa moduulien indecomposable .

Esittely

Olkoon $M$ äärettömän pituisen $n$ moduuli, joka ei ole nolla . Mitään hajoamista $M$ suorana summa mahdollisimman monen (välttämättä kasvoi $n$ ) ei-nolla Alamoduulit, tekijät ovat indecomposable. Tämä varmistaa ilmoitetun hajoamisen olemassaolon. Sen ainutlaatuisuuden todistamiseksi riittää osoittamaan, että jos

{\ displaystyle \ oplus _ {k = 1} ^ {m} M_ {k} = M = N \ oplus N '}

ja jos $N$ ja kaikki $M- k$ ovat indecomposable, niin $N$ on isomorfinen yksi $M k$ ja $N '$ summa muut. Tätä varten merkitsemme $i: N \to M$ ja $p: M \to N$ kanonista inkluusiota ja projektiota ja vastaavasti kullekin $k: lle$ , $i k : M k \to M$ ja $p k : M \to M k$ . Niin,

{\ displaystyle \ summa _ {k} pi_ {k} p_ {k} i = p \ vasen (\ summa _ {k} i_ {k} p_ {k} \ oikea) i = pi = 1_ {N}}

Siksi lemma Fittingin mukaan ainakin yksi $pi k p k i: stä$ - eli ensimmäinen, jopa numeroitu - on $N:$ n automorfismi . Joten $p 1 ipi 1$ on $M 1:$ n endomorfismi, joka ei ole nilpotenttinen (siis myös jälleen Lemma Fittingin mukaan) bijektiivinen, niin että $pi 1$ on $M 1$ : n isomorfismi $N: ssä$ . Voimme helposti päätellä, että $M = M 1 \oplus N '$ . Niin,

{\ displaystyle M_ {1} \ oplus N '= M = \ oplus _ {k = 1} ^ {m} M_ {k} \ quad {\ text {siksi}}} \ quad N' \ simeq M / M_ {1 } \ simeq \ oplus _ {k = 2} ^ {m} M_ {k}.}

Huomautuksia ja viitteitä

Katso Hopkins-Levitzki-lause (en) .
N. Bourbaki , Matematiikan elementit , Algebra, 8. luku , Pariisi, 1981, ruoko. 2012, osittain saatavilla Google-kirjoissa ja " Springer Publishing Site " ( Arkisto • Wikiwix • Archive.is • Google • Mitä tehdä? ) , P. VIII.2.
(en) Tsit Yuen Lam , ensimmäinen kurssi ei-kommutatiivisissa renkaissa Springer al. " GTM " ( n o 131)2001, 2 nd ed. ( 1 st toim. 1991), 385 s. ( ISBN 978-0-387-95183-6 , lue verkossa ) , s. 288

(en) MF Atiyah ja IG Macdonald , Johdatus kommutatiiviseen algebraan , Addison - Wesley , 1969, luku. 6

Katso myös

Lause Krull - Schmidt ryhmille tai lause Krull- Remak (en) -Schmidt:

(sisään) Thomas W. Hungerford (sisään) , Algebra , al. " GTM " ( n o 73)1974( lue verkossa ) , s. 86
(en) Derek JS Robinson (de) , Ryhmien teorian kurssi , ko . "GTM" ( n o 80)1996( lue verkossa ) , s. 83
(en) Steven Roman (en) , ryhmän teorian perusteet , Springer ,2012( lue verkossa ) , s. 286
(en) Joseph J. Rotman (en) , Johdatus ryhmien teoriaan [ yksityiskohtainen painos ], 4 th ed., Th. 6.36, s. 149