Skolem-Noether-lause

Vuonna rengas teoriassa , sivuliikkeen matematiikan, The Skolem - Noether lause, karakterisoi automorphisms on yksinkertainen renkaat . Tämä on keskeisten yksinkertaisten algebrateorian perusta .

Lainan julkaisi ensimmäisen kerran Thoralf Skolem vuonna 1927 artikkelissa Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme ( saksankielinen : Assosiatiivisten numerojärjestelmien teoriasta ) ja Emmy Noether löysi itsenäisesti uudelleen .

Osavaltiot

Yleisessä muodossaan A ja B ovat yksinkertaisia renkaita ja joko k B: n keskipiste . Huomaa, että k on kenttä , koska sillä x ei-nolla-elementti k , yksinkertaisuus B merkitsee sitä, että kahden pyrstö ihanteellinen Bx , joka ei alenneta {0}, on B kokonaisluku, niin että x on yksikkö . Oletetaan lisäksi, että ulottuvuus on B yli k on rajallinen, eli että B on yksinkertainen keskeinen algebran . Sitten, kun otetaan huomioon kaksi k -algebran morfismia

f , g : A → B ,

B: ssä on yksikkö b siten , että kaikille A: lle a : lle

g ( a ) = b · f ( a ) · b −1 .

Erityisesti mikä tahansa yksinkertaisen keskitetyn k -algebran automorfismi on sisustus .

Todiste

Oletetaan ensin . Sitten f ja g määrittelevät A : n toiminnot ; tai -modules näin saatu. Koska niillä on sama ulottuvuus, vektoritilojen isomorfismi on olemassa . Mutta tällainen b on välttämättä osa . Yleisessä tapauksessa huomaa, että se on matriisien algebra, ja siksi todistuksen ensimmäisessä osassa tämä algebra sisältää elementin b siten, että ${\ displaystyle B = \ operaattorin nimi {M} _ {n} (k) = \ operaattorin nimi {End} _ {k} (k ^ {n})}$ $k ^ n$ ${\ displaystyle V_ {f}, V_ {g}}$ ${\ displaystyle b: V_ {g} \ - V_ {f}}$ ${\ displaystyle \ operaattorin nimi {M} _ {n} (k) = B}$ ${\ displaystyle B \ otimes B ^ {\ text {op}}}$

{\ displaystyle (f \ otimes 1) (a \ otimes z) = b (g \ otimes 1) (a \ otimes z) b ^ {- 1}}

kaikille ja . Ottamalla löydämme $a \ sisään A$ ${\ displaystyle z \ B ^ {\ text {op}}}$ $a = 1$

{\ displaystyle 1 \ otimes z = b (1 \ otimes z) b ^ {- 1}}

kaikille z: lle . Toisin sanoen, b kuuluu ja voimme siksi kirjoittaa . Ottamalla tämän ajan löydämme ${\ displaystyle Z_ {B \ otimes B ^ {\ text {op}}} (k \ otimes B ^ {\ text {op}}) = B \ otimes k}$ ${\ displaystyle b = b '\ otimes 1}$ ${\ displaystyle z = 1}$

{\ displaystyle f (a) = b'g (a) {b '^ {- 1}}}

kuten halusimme.

Huomautuksia

Lorenz 2008 , s. 173
(in) Benson Farb ja R. Keith Dennis , noncommutative Algebra , New York, Springer-Verlag ,1993, 223 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-94057-1 )
Gille ja Szamuely 2006 , s. 40
Lorenz 2008 , s. 174

Viitteet

(in) Thoralf Skolem , " Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme " , Skrifter Oslo , n o 12,1927, s. 50
Teoreeman esitys (sisään) James Milne , luokan kenttoteoria ( lue verkossa )
(en) Philippe Gille ja Tamás Szamuely , Central simple algebras and Galois cohomology , Cambridge, CUP , coll. "Cambridge Studies in Advanced Mathematics" ( n o 101),2006, 343 Sivumäärä ( ISBN 0-521-86103-9 , zbMATH 1137.12001 )
(en) Falko Lorenz , Algebra. , voi. 2: Rakenteelliset kentät, algebrat ja edistyneet aiheet , New York, Springer,2008, 336 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-72487-4 , zbMATH 1130.12001 , lue verkossa )