Singmaster-oletus

Singmaster arveluihin , saanut nimensä David Singmaster , todetaan, että on olemassa rajallinen yläraja on multiplisiteettien ehdot on Pascalin kolmio (muut kuin 1, joka esiintyy äärettömän monta kertaa), eli kuinka monta kertaa termi ilmestyy kolmio. Paul Erdős sanoi, että Singmaster-oletus oli todennäköisesti totta, mutta sitä olisi erittäin vaikea todistaa.

Arvaus ja tunnetut tulokset

On selvää, että ainoa luku, joka näkyy äärettömän monta kertaa Pascalin kolmiossa, on 1, koska mikä tahansa muu numero x voi esiintyä vain kolmion ensimmäisissä x + 1-rivissä.

Olkoon N ( a ) luku, jonka verran luku a > 1 näkyy Pascalin kolmiossa. "Suuressa O " -merkinnässä oletus sanoo, että:

{\ displaystyle N (a) = O (1).}

Singmaster osoitti sen

{\ displaystyle N (a) = O (\ log a).}

Abbot, Erdős ja Hanson tarkensivat arviota. Paras nykyinen raja Daniel Kaneen takia on

{\ displaystyle N (a) = O \ vasen ({\ frac {(\ log a) (\ log \ log \ log a)} {(\ log \ log a) ^ {3}}} \ oikea).}

Singmaster osoitti, että Diophantine-yhtälö

{\ displaystyle {m \ select j-1} = {m-1 \ select j}}

on ääretön ratkaisu ( m , j ). Tästä seuraa, että lukumääräterminaaleja on ääretön vähintään 6. Ratkaisut ovat

{\ displaystyle m = F_ {2 \ ell} F_ {2 \ ell +1} \ quad {\ rm {et}} \ quad j = F_ {2 \ ell -1} F_ {2 \ ell},}

jossa l: ≥ 2 ja F n on n- nnen Fibonacci numero (indeksoitu seuraavalla tavalla: F 1 = F 2 = 1).

Numeerisia esimerkkejä

2 näkyy vain kerran; mikä tahansa suurempi numero näkyy useammin kuin kerran.
4, kuten myös mikä tahansa muu alkuluku kuin 2, esiintyy kahdesti.
6 ilmestyy 3 kertaa.
Monet numerot näkyvät 4 kertaa.
Ei tiedetä, esiintyykö numeroita 5 kertaa.
Seuraavat seitsemän numeroa näkyvät 6 kertaa:

{\ displaystyle {120 \ select 1} = {16 \ select 2} = {10 \ select 3},}

{\ displaystyle {210 \ select 1} = {21 \ select 2} = {10 \ select 4},}

{\ displaystyle {1540 \ select 1} = {56 \ select 2} = {22 \ select 3},}

{\ displaystyle {7140 \ select 1} = {120 \ select 2} = {36 \ select 3},}

{\ displaystyle {11628 \ select 1} = {153 \ select 2} = {19 \ select 5},}

{\ displaystyle {24310 \ select 1} = {221 \ select 2} = {17 \ select 8},}

{\ displaystyle {61218182743304701891431482520 \ select 1} = {104 \ select 39} = {103 \ select 40},}

mikä vastaa ℓ = 3 Singmaster-sekvenssissä.

Ja muut numerot esiintyvät vähintään 7 kertaa, pienin on edellinen yksi Singmaster sekvenssin ( ℓ = 2). Se ilmestyy kahdeksan kertaa: ${\ displaystyle {3003 \ select 1} = {78 \ select 2} = {15 \ select 5} = {14 \ select 6}.}$ Ei tiedetä, onko muita numeroita, jotka näkyvät vähintään 7 kertaa.

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista " Singmasterin arvelu " ( katso kirjoittajaluettelo ) .

(in) D. Singmaster , " Research ongelmat: Kuinka usein kokonaisluku esiintyy binomikerroin? » , Amer. Matematiikka. Kuukausittain , vol. 78, n o 4,1971, s. 385-386.
(sisään) HL Abbott, Paul Erdős ja D. Hanson , " Kuinka monta kertaa kokonaisluku esiintyy binomikertoimena " , Amer. Matematiikka. Kuukausittain , vol. 81, n ° 3,1974, s. 256–261 ( DOI 10.2307 / 2319526 ).
(in) Daniel M. Kane , " rajojen parannetun lukumäärästä tapoja sidekalvon lause ei ole binomikerroin " , kokonaislukuja: Sähköinen lehti Combinatorial Lukuteoria , vol. 7,2007, # A53 ( lue verkossa ).
(in) D. Singmaster , " toistuva Binomikertoimien ja Fibonacci numerot " , Fibonacci Quarterly , vol. 13, n o 4,1975, s. 295-298 ( lue verkossa ).
Katso (in) Eric W. Weisstein , " Pascalin kolmio " on MathWorld ja seuraaviin A003015 of OEIS .