Elastinen säteilyn sironta

Elastinen sironta säteily on yksi vaikutuksia säteilyn materiaalista, jonka läpi se kulkee. Se muodostaa fyysisen mittaustekniikan, joka mahdollistaa pääsyn tiettyihin tiivistetyn aineen (nesteiden, kiinteiden aineiden) rakenteellisiin ominaisuuksiin: staattiseen (tai elastiseen) valonsirontaan (SLS).

Yleiset periaatteet

Tasoaallon elastinen sironta, sironnan pituus

Aikana säteilyn sirontaa kokeessa tasoaallon tapaus on aaltovektori , (esim., Säde monokromaattista on kevyt , ja X-ray tai neutroni ) valaisee näytettä. Tavatessaan atomin osa tästä aallosta diffundoituu kaikkiin suuntiin: sironnut aalto on pallomainen aalto ja sen amplitudi vaihtelee käänteisenä etäisyydestä sirontakeskuksesta. Hajotetun aallon amplitudi on siis kirjoitettu: ψi{\ displaystyle \ psi _ {i}} ki{\ displaystyle \ mathbf {k_ {i}}}ψd{\ displaystyle \ psi _ {d}}D.{\ displaystyle D}

‖ψd‖=bD.‖ψi‖.{\ displaystyle \ | \ psi _ {d} \ | = {\ frac {b} {D}} \ | \ psi _ {i} \ |.}

Suuruutta kutsutaan "sirontapituudeksi" ja se edustaa säteilyn näkemän atomin kokoa. b{\ displaystyle b}

Joustavan sironnan oletuksen mukaan tulevalla aallolla (aallon vektori ) ja sirotulla aallolla (aallon vektori ) on sama aallonpituus . Kaksi aaltovektoria on sama normi: ki{\ displaystyle \ mathbf {k_ {i}}}kd{\ displaystyle \ mathbf {k_ {d}}}λ{\ displaystyle \ lambda}

kD.=ki=2πλ.{\ displaystyle k_ {D} = k_ {i} = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}.}

Häiriöitä

Usean atomin sirottamat aallot häiritsevät . Kulmasta mitattu aalto , jota aallonvektori vastaa , johtuu näistä häiriöistä. Ne lasketaan aaltojen polkueroilla ja ne ilmaistaan ​​sirontavektorin funktiona: θ{\ displaystyle \ theta}kd{\ displaystyle \ mathbf {k_ {d}}}

q=kd-ki{\ displaystyle \ mathbf {q} = {\ mathbf {k_ {d}}} - {\ mathbf {k_ {i}}}}

vakiona:

q=4πλsynti⁡(θ2).{\ displaystyle q = {\ frac {4 \ pi} {\ lambda}} \ sin \ vasen ({\ frac {\ theta} {2}} \ oikea).}

Jos aallon sironnut atomin alkuperä on otettu, skalaarituote siirtää (vaihesiirrolla) paikassa sijaitsevan atomin sirottaman aallon  : ψ(0){\ displaystyle \ psi (0)}r{\ displaystyle \ mathbf {r}} q⋅r{\ displaystyle \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {r}}

ψ(q,r)=ψ(0)⋅eiq⋅r.{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {q}, \ mathbf {r}) = \ psi (0) \ cdot e ^ {i \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {r}}.}

Kaikkien näytteessä olevien atomien sironnasta johtuva aalto on niiden aaltojen summa : ψd{\ displaystyle \ psi _ {d}}klo{\ displaystyle a}ψklo{\ displaystyle \ psi _ {a}}

ψd(q)=∑kloψ(q,rklo)=ψiD.×∑klobklo⋅eiq⋅rklo.{\ displaystyle \ psi _ {d} (\ mathbf {q}) = \ summa \ rajoitukset _ {a} \ psi (\ mathbf {q}, \ mathbf {r} _ {a}) = {\ frac {\ psi _ {i}} {D}} \ kertaa \ summa \ rajoitukset _ {a} {b_ {a} \ cdot e ^ {i \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {r} _ {a}}}. }

Atomien huomioon ottamisen sijaan on mahdollista kirjoittaa sama lauseke koko tilavuusnäytteen tilavuuselementeille . Diffuusiopituuden elementin oletettu hyvin pieni määrä sijaitsee se on summa diffuusio pituudet kaikki sen atomit: V{\ displaystyle V}b(r){\ displaystyle b (\ mathbf {r})} v{\ displaystyle v}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

b(r)=v×b~(r).{\ displaystyle b (\ mathbf {r}) = v \ kertaa {\ tilde {b}} (\ mathbf {r}).}

Suuruus on sirontapituuden tiheys (sirontapituus tilavuusyksikköä kohden), ts. Tämän tilavuuselementin tiheys "nähdään" säteilyn avulla. Edellisestä yhtälöstä tulee: b~(r){\ displaystyle {\ tilde {b}} (\ mathbf {r})}

ψd(q)=ψiD.×∑V/vb(r)⋅eiq⋅r.{\ displaystyle \ psi _ {d} (\ mathbf {q}) = {\ frac {\ psi _ {i}} {D}} \ kertaa \ summa \ rajoitukset ^ {V / v} {{b} (\ mathbf {r}) \ cdot e ^ {i \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {r}}}.}

ψd{\ displaystyle \ psi _ {d}}esiintyy siis näytteen diffuusiopituuden Fourier-sarjan hajoamisena . b(r){\ displaystyle {b} (\ mathbf {r})}

Hajautettu intensiteetti

Ilmaisin ei suoraan mittaa sironneen aallon mutta sen voimakkuus, joka on sen normi potenssiin:

Minä(q)=ψ(q)ψ∗(q)=‖ψ(q)‖2.{\ displaystyle I (\ mathbf {q}) = \ psi (\ mathbf {q}) \ psi ^ {*} (\ mathbf {q}) = \ | \ psi (\ mathbf {q}) \ | ^ { 2}.}

Korvaamalla erillisiä summa yhtälön mukaan kiinteä, saadaan, että hajallaan intensiteetti on yhtä suuri kuin neliön moduuli Fourier (huomattava ) ja (tai tehon spektritiheyden ): ψd(q){\ displaystyle \ psi _ {d} (\ mathbf {q})}TF{\ displaystyle TF}b~(r){\ displaystyle {\ tilde {b}} (\ mathbf {r})}

Minä(q)=ψi2D.2×S(q){\ displaystyle I (\ mathbf {q}) = {\ frac {\ psi _ {i} ^ {2}} {D ^ {2}}} \ kertaa {S} (\ mathbf {q})}

kanssa

S(q)=‖TF(b~(r))‖2.{\ displaystyle {S} (\ mathbf {q}) = \ vasen \ | {TF \ vasen ({{\ tilde {b}} (\ mathbf {r})} \ oikea)} \ oikea \ | ^ {2 }.}

Pinta- alalle homogeenista suuruutta kutsutaan näytteen sironnan “differentiaaliseksi poikkileikkaukseksi”. Se voidaan ilmaista käyttämällä autokorrelaatiofunktio on  : S(q){\ displaystyle {S} (\ mathbf {q})}b~(r){\ displaystyle {\ tilde {b}} (\ mathbf {r})}

S(q)=V×TF(<b~(0)⋅b~(r)>){\ displaystyle S (\ mathbf {q}) = V \ kertaa TF (<{\ tilde {b}} (0) \ cdot {\ tilde {b}} (\ mathbf {r})>)}

missä on näytteen tilavuus. Tässä lausekkeessa suluissa on keskiarvo kaikissa lähtöpaikoissa O ja kaikissa mahdollisissa mikroskooppisissa tiloissa, joiden kautta näyte kulkee. V{\ displaystyle V}

Vektori, joka mahdollistaa eri kulmissa tai eri aallonpituuksilla saatujen interferenssilukujen asettamisen päällekkäin, on siten vektorin konjugaattimuuttuja . Sen normi on homogeeninen, toisin kuin pituus, joka edustaa astetta, jolla näyte havaitaan. q{\ displaystyle \ mathbf {q}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

Homogeeninen väliaine ei diffundoidu

Homogeeninen väliaine vastaa . Suorittamalla Fourier-muunnos osoitamme, että tällaisen väliaineen diffundoima intensiteetti on nolla paitsi . Tämä vastaa nollasirontakulmaa, jolle sironnut aalto ja näytteen kautta lähetetty kulma ilman vuorovaikutusta sen atomien kanssa sulautuvat ja eivät ole erotettavissa. Käytännössä homogeeninen väliaine ei diffundoidu. b~(r)=VSst{\ displaystyle {\ tilde {b}} (\ mathbf {r}) = Cst}q=0{\ displaystyle \ mathbf {q} = 0}

Ero diffuusion ja diffraktion välillä

Homogeeninen ympäristö on mielenäkymä, heterogeenisyyksiä on aina olemassa. Esimerkiksi atomiskaalassa havaittu täydellinen kide (suuri ) ei ole enää homogeeninen. Perinteisesti säteilyn sirontaa tässä mittakaavassa kutsutaan diffraktioksi (katso artikkeleita Röntgendiffraktio , neutronidiffraktio ja elektronidiffraktio ). q{\ displaystyle \ mathbf {q}}

Termi "diffuusio" viittaa suurempiin asteikkoihin atomien välisen etäisyyden ja käänteisen välillä (tyypillisesti 1 Å -1 ). Suhteellisen lyhyen aallonpituuden säteilyn (röntgensäteet, lämpö- ja kuumat neutronit) osalta nämä havainnointiasteikot vastaavat pieniä sirontakulmia (muutama aste). Siksi käytetään usein termiä pieni kulma sironta (sisään) (katso esimerkiksi artikkeli pieni kulma röntgensäde ). q=0{\ displaystyle q = 0} 

Diffuusiosta vastaavat heterogeenisyydet

Näytteen sirottama intensiteetti johtuu vain sen sirontapituustiheyden ajallisista tai spatiaalisista vaihteluista.

Diffuusio ja vaihtelut: esimerkki ihanteellisesta kaasusta

Tarkastellaan näytettä, joka koostuu yhden tyyppisestä alkeisdiffuusorista (esimerkiksi yhden tyyppisestä atomista). Idean korjaamiseksi voimme kuvitella kaasua, mutta väite pysyy voimassa nesteen tai kiinteän aineen suhteen.

Kaasua varten, koska lämpö sekoittaen , kukin tilavuus elementti sisältää todennäköisesti atomi tietyllä hetkellä ja sitten mikään seuraavista hetkellä. Tietyn tilavuuselementin sirontapituuden tiheys vaihtelee ilmoitetun keskiarvon ympärillä . Jos kaasun atomilla on diffuusiopituuden tiheys ja ne vievät tilavuusosuuden keskimäärin koko näytteelle , niin . Diffuusiopituuden tiheyden autokorrelaatiofunktio kirjoitetaan: <b~>{\ displaystyle <{\ tilde {b}}>}b~{\ displaystyle {\ tilde {b}}} <ϕ>{\ displaystyle <\ phi>}<b~> =b~<ϕ>{\ displaystyle <{\ tilde {b}}> = {\ tilde {b}} <\ phi>}

<b~(0)⋅b~(r)> =b~<ϕ(0)⋅ϕ(r)>{\ displaystyle <{\ tilde {b}} (0) \ cdot {\ tilde {b}} (\ mathbf {r})> = {\ tilde {b}} <\ phi (0) \ cdot \ phi ( \ mathbf {r})>}

missä on 1, jos objekti on läsnä, ja 0 muuten. ϕ(r){\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r})}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

Jotta osa tilavuuden sijaitsee , poikkeama keskimääräinen tiheys, huomattava , on nolla keskiarvo. Siten tuotteessa ristitermit ovat keskimäärin nolla. Funktio voidaan siis kirjoittaa kahden termin summana: r{\ displaystyle \ mathbf {r}}Δϕ(r)=ϕ(r)-<ϕ>{\ displaystyle \ Delta \ phi (\ mathbf {r}) = \ phi (\ mathbf {r}) - <\ phi>}ϕ(0)⋅ϕ(r){\ displaystyle \ phi (0) \ cdot \ phi (\ mathbf {r})}<ϕ>⋅Δϕ{\ displaystyle <\ phi> \ cdot \ Delta \ phi}<ϕ(0)⋅ϕ(r)>{\ displaystyle <\ phi (0) \ cdot \ phi (\ mathbf {r})>}

<ϕ(0)⋅ϕ(r)> = <ϕ>2+<Δϕ(0)⋅Δϕ(r)>{\ displaystyle <\ phi (0) \ cdot \ phi (\ mathbf {r})> = <\ phi> ^ {2} + <\ Delta \ phi (0) \ cdot \ Delta \ phi (\ mathbf {r })>}

Ensimmäinen termi vastaa diffuusiota homogeenisella diffuusiopituuden tiheyden väliaineella . Sen osuus on nolla. Lopuksi, mittaus on herkkä vain keskiarvon vaihteluille: b~<ϕ>{\ displaystyle {\ tilde {b}} <\ phi>}

S(q)=b~2V×TF(<Δϕ(0)⋅Δϕ(r)>).{\ displaystyle S (\ mathbf {q}) = {\ tilde {b}} ^ {2} V \ kertaa TF (<\ Delta \ phi (0) \ cdot \ Delta \ phi (\ mathbf {r})> ).}

Varten ideaalikaasu , autokorrelaatiofunktio tiheyden vaihtelut on nolla, paitsi . Jos atomit ovat hyvin pieniä verrattuna havaintoasteikkoon ( ), voidaan kirjoittaa vaihtelujen autokorrelaatiofunktio r=0{\ displaystyle r = 0}q→0{\ displaystyle q \ to 0}

<Δϕ(0)⋅Δϕ(r)> = <Δϕ2>5(r/klo){\ displaystyle <\ Delta \ phi (0) \ cdot \ Delta \ phi (\ mathbf {r})> = <\ Delta \ phi ^ {2}> \ delta (r / a)}

missä on tilavuuselementin tiheysvaihtelujen variaatio ja kaasun atomin tai molekyylin koko. on Dirac-delta- funktio . Fourier-muunnoksen avulla saamme: <Δϕ2>{\ displaystyle <\ Delta \ phi ^ {2}>}v=klo3{\ displaystyle v = a ^ {3}}klo{\ displaystyle a}5{\ displaystyle \ delta}

S(q)=b~2Vv<Δϕ2>.{\ displaystyle S (\ mathbf {q}) = {\ tilde {b}} ^ {2} Vv <\ Delta \ phi ^ {2}>.}

Varianssi liittyy suoraan kaasun isotermiseen kokoonpuristuvuuteen : <Δϕ2>{\ displaystyle <\ Delta \ phi ^ {2}>}χT{\ displaystyle \ chi _ {T}}

χT=vkT×<Δϕ2><ϕ>2.{\ displaystyle \ chi _ {T} = {\ frac {v} {kT}} \ kertaa {\ frac {<\ Delta \ phi ^ {2}>} {<\ phi> ^ {2}}}.}

Saamme yleisen tuloksen:

S(q)=b~2V<ϕ>2kTχT{\ displaystyle S (\ mathbf {q}) = {\ tilde {b}} ^ {2} V <\ phi> ^ {2} kT \ chi _ {T}}

missä on lämpöenergia . Täydellistä kaasua varten . Lisäksi ja määritelmän mukaan siten: kT{\ displaystyle kT}kTχT=kT/P=V/ei{\ displaystyle kT \ chi _ {T} = kT / P = V / n}ϕ=eiv/V{\ displaystyle \ phi = nv / V}

S(q)=b~2v2ei=b2ei.{\ displaystyle S (\ mathbf {q}) = {\ tilde {b}} ^ {2} v ^ {2} n = b ^ {2} n.}

Eri sirontapoikkileikkaus on riippumaton sirontavektorista (tiheysvaihtelut vastaavat valkoista kohinaa ) ja vastaavat näytetilavuudessa olevien atomien poikkileikkausten summaa . ϕ{\ displaystyle \ phi}ei{\ displaystyle n}

Epäjohdonmukainen ja johdonmukainen levittäminen

Ihanteellisen kaasun tapauksessa ei ole korrelaatiota kaasun tiheyden vaihtelujen yhdessä paikassa ja niiden välillä, jotka ovat lähtöpaikassa. Tarkemmin sanottuna nämä korrelaatiot ovat merkityksettömiä heti, kun ne ovat suurempia kuin diffuusiopituuden tiheyden vaihteluiden korrelaatiopituus (joka on hyvin pieni ja yhtä suuri kuin atomin koko ihanteellisen kaasun tapauksessa). Aallot hajallaan kahden tilavuuselementit kaukana ovat riippumattomia eikä niillä ole vaihe johdonmukaisuutta . Niiden intensiteetit kasvavat. Puhumme epäjohdonmukaisesta diffuusiosta . r{\ displaystyle \ mathbf {r}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}ξ{\ displaystyle \ xi}b~(r){\ displaystyle {\ tilde {b}} (\ mathbf {r})}klo{\ displaystyle a}r>ξ{\ displaystyle \ mathbf {r}> \ xi}

Päinvastoin, kun vaihtelut korreloivat ( ), aallot sirotellaan vaihekoherenssilla, joka saa ne yhteen. Tätä kutsutaan sitten koherentiksi diffuusioksi . Tämä tapahtuu esimerkiksi kiteen diffraktiolla. r<ξ{\ displaystyle \ mathbf {r} <\ xi}

Liuottimen ja liuenneen aineen seos

Tarkastellaan liuosta, joka koostuu diffuusiopituuden tiheyden liuenneesta aineesta diffuusiopituisessa liuottimessa . b~1{\ displaystyle {\ tilde {b}} _ {1}}b~0{\ displaystyle {\ tilde {b}} _ {0}}

Jos liuotettu aine käyttää keskimääräistä tilavuusosaa ja liuotin täydentävää jaetta , keskimääräinen diffuusiopituuden tiheys on . ϕ{\ displaystyle \ phi}(1-ϕ){\ displaystyle (1- \ phi)}b~=ϕb~1+(1-ϕ)b~0=(b~1-b~0)ϕ+b~0{\ displaystyle {\ tilde {b}} = \ phi {\ tilde {b}} _ {1} + (1- \ phi) {\ tilde {b}} _ {0} = ({\ tilde {b} } _ {1} - {\ tilde {b}} _ {0}) \ phi + {\ tilde {b}} _ {0}}

Toisaalta tietyssä paikassa se voi olla erilainen, mutta se voidaan aina kirjoittaa seuraavasti, jos liuotin on puristamaton  : r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

b~(r)=(b~1-b~0)ϕ(r)+b~0.{\ displaystyle {\ tilde {b}} (\ mathbf {r}) = ({\ tilde {b}} _ {1} - {\ tilde {b}} _ {0}) \ phi (\ mathbf {r }) + {\ tilde {b}} _ {0}.}

Fourier-muunnos on siis kahden termin summa. Vakiotermi, joka on yhtä suuri, ei edistä sironnut intensiteettiä. Saamme tehokkaalle osalle: b~(r){\ displaystyle {\ tilde {b}} (\ mathbf {r})}b~0{\ displaystyle {\ tilde {b}} _ {0}}

S(q)=(b~1-b~0)2×‖TF(ϕ(r))‖2.{\ displaystyle {S} (\ mathbf {q}) = ({\ tilde {b}} _ {1} - {\ tilde {b}} _ {0}) ^ {2} \ kertaa \ vasen \ | { TF \ vasen ({\ phi (\ mathbf {r})} \ oikea)} \ oikea \ | ^ {2}.}

Jos liuos koostuu pienistä molekyyleistä verrattuna havainnointiasteikoon, edellisen kappaleen laskenta voidaan toistaa, jotta saadaan autokorrelaatiofunktio . Siihen liittyy ratkaisun osmoottinen kokoonpuristuvuus . Vain tekijä, jota kutsutaan "kontrastiksi" liuenneen aineen ja liuottimen välillä. ϕ(r){\ displaystyle \ phi (r)}(b~1-b~0)2{\ displaystyle ({\ tilde {b}} _ {1} - {\ tilde {b}} _ {0}) ^ {2}}

Esineet, muodon tekijä

Säteilyn sironnan näkökulmasta esine voidaan määritellä tietyn sirontapituuden tiheyden yhdistetyksi tilavuudeksi toisen tiheyden väliaineessa . Se on esimerkiksi makromolekyyli , polymeeri tai nanopartikkeli liuottimessa, mutta tämä määritelmä kattaa aukon (materiaalin puuttuminen) huokoisessa materiaalissa . b~1{\ displaystyle {\ tilde {b}} _ {1}}b~0{\ displaystyle {\ tilde {b}} _ {0}}

Kun esineiden pitoisuus on riittävän pieni niin, että niiden keskimääräinen keskinäinen etäisyys on suurempi kuin havaintoaste ( ), eri esineiden sirottamien aaltojen aiheuttama häiriö muuttuu merkityksettömäksi: loppujen lopuksi voimme ajatella, että meillä on vain 'yksi esine . Tällöin esineistä laimennetulle populaatiolle kukin vaikuttaa tietyllä tavalla hajautettuun intensiteettiin, joka on identtisten termien summa : 1/q{\ displaystyle 1 / q}ei{\ displaystyle n}ei{\ displaystyle n}

S(q)=ei×(b~1-b~0)2×‖TF(ϕ1(r))‖2{\ displaystyle {S} (\ mathbf {q}) = n \ kertaa ({\ tilde {b}} _ {1} - {\ tilde {b}} _ {0}) ^ {2} \ kertaa \ jäljellä \ | {TF \ vasen ({\ phi _ {1} (\ mathbf {r})} \ oikea)} \ oikea \ | ^ {2}}

missä merkitsee kohteen tilavuusosaa. ϕ1{\ displaystyle \ phi _ {1}}

Kohdassa ,, missä on kohteen tilavuus. Yksi kutsuu "muodon tekijää" standardoiduksi määräksi: q=0{\ displaystyle q = 0}TF(ϕ1(r))=v1{\ displaystyle TF \ vasen ({\ phi _ {1} (\ mathbf {r})} \ oikea) = v_ {1}}v1{\ displaystyle v_ {1}}

P(q)=‖TF(ϕ1(r))‖2v12{\ displaystyle P (\ mathbf {q}) = {\ frac {\ vasen \ | {TF \ vasen ({\ phi _ {1} (\ mathbf {r})} \ oikea)} \ oikea \ | ^ { 2}} {v_ {1} ^ {2}}}}

kuten . luonnehtii yhtä esinettä. Hajotettu intensiteetti kirjoitetaan: P(0)=1{\ displaystyle P (0) = 1}P(q){\ displaystyle P (\ mathbf {q})}

S(q)=ei×(b~1-b~0)2×v12×P(q).{\ displaystyle {S} (\ mathbf {q}) = n \ kertaa ({\ tilde {b}} _ {1} - {\ tilde {b}} _ {0}) ^ {2} \ kertaa v_ { 1} ^ {2} \ kertaa P (\ mathbf {q}).}

Muotoseikka

Hyvin usein avaintiedot, joita kokeilija haluaa saada, koskevat tutkitun näytteen muodostavien esineiden rakennetta tai konformaatiota. Nämä tiedot sisältyvät muotokertoimeen.

Pallon symmetriset esineet

Toiminto , joka kuvaa, miten asia on jaettu objekti on vain funktio etäisyydestä päässä keskustasta massa . Lisäksi jokainen vektori, joka vastaa sen vastakohtaa, Fourier-muunnos sisältää siis vain todellisen osan . ϕ1{\ displaystyle \ phi _ {1}}r{\ displaystyle r}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}ϕ(r){\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r})}cos⁡(q⋅r){\ displaystyle \ cos (\ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {r})}

TF(ϕ1(r))=∫Vdrϕ1(r)eiq⋅r=∫Vdrϕ1(r)cos⁡(q⋅r) =∫0∞dr4πr2ϕ1(r)∫0π/2cos⁡(qrcos⁡(φ))synti⁡(φ)dφ =∫0∞dr4πr2ϕ1(r)synti⁡(qr)qr{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} TF (\ phi _ {1} (\ mathbf {r})) & = & \ displaystyle {\ int _ {V} d \ mathbf {r} \ phi _ { 1} (\ mathbf {r}) e ^ {i \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {r}} = \ int _ {V} d \ mathbf {r} \ phi _ {1} (\ mathbf {r }) \ cos (\ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {r})} \\ [2ex] ~ & = & \ displaystyle {\ int _ {0} ^ {\ infty} dr4 \ pi r ^ {2} \ phi _ {1} (r) \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos (qr \ cos (\ varphi)) \ sin (\ varphi) d \ varphi} \\ [2ex] ~ & = & \ displaystyle {\ int _ {0} ^ {\ infty} dr4 \ pi r ^ {2} \ phi _ {1} (r) {\ frac {\ sin (qr)} {qr}}} \ end {array}}}

siis muotokerroin:

P(q)=(∫0∞dr4πr2ϕ1(r)synti⁡(qr)qr∫0∞dr4πr2ϕ1(r))2.{\ displaystyle P (q) = \ left ({\ frac {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} dr4 \ pi r ^ {2} \ phi _ {1} (r) {\ frac {\ sin (qr)} {qr}}} {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} dr4 \ pi r ^ {2} \ phi _ {1} (r)}} \ oikea) ^ {2} .}

Huomaa, että on tuote vektorien standardeja ja eikä niiden sisäistä tuotetta . qr{\ displaystyle qr}q{\ displaystyle \ mathbf {q}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

Saat pallo , jonka säde on , saadaan: R{\ displaystyle R}

P(q)=(synti⁡(qR)qR)2.{\ displaystyle P (q) = \ vasen ({\ frac {\ sin (qR)} {qR}} \ oikea) ^ {2}.}

Objektit, joilla on satunnainen suunta

Joissakin tapauksissa, esimerkiksi makromolekyyliliuoksen kohdalla, esineet voivat kiertyä vapaasti massakeskipisteensä ympäri. Mitattu muotokerroin on keskiarvo kaikista kohteen mahdollisista suuntauksista suhteessa vektoriin . Tämä keskiarvo antaa pallomaisen symmetrian funktio- ominaisuudet, joiden avulla voimme ilmaista sen funktiona etäisyydestä massakeskipisteestä. Muotokerroin on tällöin identtinen edellisen yhtälön kanssa. q{\ displaystyle \ mathbf {q}}ϕ1{\ displaystyle \ phi _ {1}}r{\ displaystyle r}

Pyörimissäde

Jos kohteilla on keskimäärin pallomainen symmetria (vrt. Kaksi edellistä tapausta), rajallinen kehitys

synti⁡(qr)qr|qr≪1=1-(qr)2/6+⋯{\ displaystyle \ vasen. {\ frac {\ sin (qr)} {qr}} \ oikea | _ {qr \ ll 1} = 1- (qr) ^ {2} / 6 + \ cdots}

käytetään muotokertoimen ilmaisussa:

P(q)=1-q23Rg2+⋯kanssaRg2=∫0∞4πr2ϕ(r)r2dr∫0∞4πr2ϕ(r)dr.{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ displaystyle P (q) = 1 - {\ frac {q ^ {2}} {3}} R_ {g} ^ {2} + \ cdots & {\ textrm {with}} & \ quad R_ {g} ^ {2} = {\ frac {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} 4 \ pi r ^ {2} \ phi (r) r ^ {2 } dr} {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} 4 \ pi r ^ {2} \ phi (r) dr}} \ end {array}}.}

Diffuusiovektorialue, jonka ehto täyttyy kaikille kohteen pisteille, kutsutaan " Guinier-alueeksi  ". qr≪1{\ displaystyle qr \ ll 1}

Suuruudella on pituuden mitat. Se on kohteen massakeskipisteeseen suuntautuvien etäisyyksien keskimääräinen neliö . Se on säde pallo , jolla on sama hitausmomentti kuin kohde. Tätä "keskimääräistä" sädettä kutsutaan kohteen pyörimissädeksi. Rg{\ displaystyle R_ {g}}

Saat pallo on yhtenäinen säteen ja tiheys, saamme . Saat pallo , . R{\ displaystyle R}Rg=35R{\ displaystyle R_ {g} = {\ sqrt {\ frac {3} {5}}} R}Rg=R{\ displaystyle R_ {g} = R}

Joitakin klassisia esimerkkejä

Käytä muotokerrointa

Objektien välinen vuorovaikutus, rakennekerroin

Diffuusio käyttöliittymän kautta, Porodin laki