Pyörimisdynamiikka
Järjestelmän pyöriminen on erityinen tapaus tärkeästä liikkumisesta, erityisesti sen teollisten sovellusten (pyörivät koneet) takia, mutta myös pyörivän viitekehyksen dynamiikan perustavanlaatuisemmalla tasolla , jonka tärkeimmän tapauksen antaa maanpäällinen dynamiikka.
Yleiset muistutukset laitteistojärjestelmien dynamiikasta
Aineellisessa järjestelmässä Newtonin keskinäisen toiminnan (aiemmin toiminta ja reaktio ) lain (vrt. Newtonin liikelakit , mainittu vuonna 1687) mukaan järjestelmän sisällä olevien voimien vääntö on nolla. Perusperiaate dynamiikka on siis alennetaan tasa- dynaamisten torsor ja torsor sekä ulkoisia voimia .
Nämä kuusi yhtälöä on jaettu kahteen kolmen yhtälön ryhmään:
- käännösdynamiikan perusperiaate:
ds→dt=∑F→ ;{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}} = \ summa {\ vec {F}} \;}
- pyörimisdynamiikan perusperiaate:
dLO→dt=∑MO→.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}}}} {\ mathrm {d} t}} = \ summa {\ overrightarrow {M _ {\ mathrm { O}}}}.}
Tässä,
-
∑F→{\ displaystyle \ summa {\ vec {F}}} on ulkoisten voimien summa,
-
s→{\ displaystyle {\ vec {p}}}on vauhti ,
-
O on kiinteä piste Galilean viitekehyksestä,
-
L→O{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {\ mathrm {O}}}on järjestelmän kulmamomentti O: n suhteen ,
- sen aikajohdannaista kutsutaan dynaamiseksi hetkeksi , pisteeseen O pienennettyjen ulkoisten voimien momenttien summa .MO→{\ displaystyle {\ vec {M _ {\ mathrm {O}}}}}
Jos viitekehys ei ole galilealainen, on yksinkertaisesti tarpeen lisätä harjoittelun inertiaalivoimien torsi ja Coriolisin inertiaalivoimien torsi.
Kiinteän aineen pyöriminen kiinteän akselin ympäri
Pidämme kiinteänä aineena ( t ) liikkeessä viitekehyksen ( R ) oletetaan olevan galilealaisen ympäri kiinteän akselin in ( R ) totesi (Δ) , jossa on yksikkövektori orientoitu oikealle käden säännön . Kutsumme O: ta kohtisuoraksi projektioksi kiinteän aineen ( S ) inertiakeskipisteen G akselille . Pyörimisen takia akselin ympäri, liike on yksi vapausaste , joka voidaan pitää kulman θ välinen suunta ( OG ) ja ( Ox ) tuolloin valittu alkuperä päivämäärät ja tämän milloin päivämäärä t .
eΔ→{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ Delta}}}}
Voimien analyysi on: kiinteät + akselin reaktiovoimiin kohdistuvat ulkoiset voimat ( a priori tuntematon , mutta estää liikkumattomana olevan pisteen O sijainnin , jonka hetkellinen projektio akselilla on nolla).
Sitten akselille projisoidun pyörimisen perusperiaatteen yhtälö antaa:
kdLO→dt=kMO→.{\ displaystyle {\ frac {k \, \ mathrm {d} {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}}}} {\ mathrm {d} t}} = k \, {\ overrightarrow {M _ {\ mathrm {O}}}}.}
Hitausperiaatteella
Kulta:
LO→=JΔωeΔ→,{\ displaystyle {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}} = J _ {\ Delta} \, \ omega \, {\ overrightarrow {e _ {\ Delta}}},}kanssa:
-
ω=dθdt{\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}, pyörimisnopeus rad s −1 ;
-
J Δ , hitausmomentti , kg m 2 .
Sitten kirjoitetaan pyörimisdynamiikan perusperiaate:
JΔdωdt=MΔ.{\ displaystyle J _ {\ Delta} {\ frac {\ mathrm {\ mathrm {d}} \ omega} {\ mathrm {\ mathrm {d}} t}} = M _ {\ Delta}.}Se on translaation dynamiikan perusperiaatteen tarkka siirtyminen akselille:
mdvdt=F.{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {\ mathrm {d}} v} {\ mathrm {\ mathrm {d}} t}} = F.}
Newtonin mekaniikan lakien mukaan
Joko lasketaan : kiinteä aine muodostuu miljoonista materiaalipisteistä M i , massasta m i , projektiosta akselille H i , jotka kuvaavat keskuksen H i kiinteiden ympyröiden pyörimisen aikana , säde d i = H i M i . Jokaisella massalla on siten akselille projisoitu kulmamomentti, joka on yhtä suuri kuin:
eΔ→LO→{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ Delta}}} \, {\ vec {L _ {\ mathrm {O}}}}}
midi2dθdt.{\ displaystyle m_ {i} d_ {i} ^ {2} {\ frac {\ mathrm {\ mathrm {d}} \ theta} {\ mathrm {d} t}}.}Summaa kutsutaan hitausmomentiksi J Δ .
Σmidi2{\ displaystyle \ Sigma m_ {i} d_ {i} ^ {2}}
Sitten kirjoitetaan pyörimisdynamiikan perusperiaate:
JΔdωdt=MΔ{\ displaystyle J _ {\ Delta} {\ frac {\ mathrm {\ mathrm {d}} \ omega} {\ mathrm {\ mathrm {d}} t}} = M _ {\ Delta}}.
Joitakin esimerkkejä hitausmomenttien laskemisesta
Huygensin lause
Sovellukset
Raskas heiluri
Sylinteri, joka pyörii liukumatta pitkin kaltevaa tasoa
Antaa olla kalteva taso kulma α . Kun sylinterin säde R ja massa M , hitausmomenttia kierto J Δ , rullat ilman luistoa, se kulkee 2π R yhdessä kierroksessa, ja siksi s = R θ , kun se muuttuu kulman θ .
Hän kokee vain kaksi voimaa:
- sen paino (voima etäisyydellä);Mg→{\ displaystyle M \, {\ vec {g}}}
- tason vaikutus sylinteriin kosketuspisteessä C (kosketusvoima), jaoteltu normaaliksi tasoon nähden ja tangentiaalinen.EI→{\ displaystyle {\ vec {N}}}T→{\ displaystyle {\ vec {T}}}
Meillä on siis soveltamalla käännöksen dynamiikan perusperiaatetta:
- rinteen suuntaan:
Mdvdt=Mgsynti(a)-T{\ displaystyle M {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = M \, g \, \ sin (\ alpha) -T} ;
- kaltevuuden suuntaan kohtisuorassa suunnassa:
Mgcosa=EI{\ displaystyle M \, g \, \ cos \ alpha = N}.
Pyörimisdynamiikan perusperiaate antaa sitten:
JΔdωdt=0+0+TR{\ displaystyle J _ {\ Delta} {\ frac {\ mathrm {d} \ omega} {\ mathrm {d} t}} = 0 + 0 + T \, R},
joka on kirjoitettu ottaen huomioon geometrinen suhde v = R ω :
JΔR2dvdt=T{\ displaystyle {\ frac {J _ {\ Delta}} {R ^ {2}}} \, {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = T}.
Korvaamalla T ensimmäisessä suhteessa saadaan:
dvdt=gsyntiaMM′=vs.oeistkloeite{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = g \ sin \ alpha {\ frac {M} {M '}} = \ mathrm {vakio}},
kanssa
M′=M+JΔR2{\ displaystyle M '= M + {\ frac {J _ {\ Delta}} {R ^ {2}}}}.
Sitten voimme vetää sen ulos
T=MgJΔJΔ+MR2syntia{\ displaystyle T = Mg {\ frac {J _ {\ Delta}} {J _ {\ Delta} + M \, R ^ {2}}} \ sin \ alpha},
jonka on oltava pienempi kuin k N ( k tarkoittaa Coulomb-kerrointa ), niin ettei liukastumista todellakaan ole.
Kiinteän aineen pyöriminen inertiakeskipisteen ympärillä
Lagrangen raskas kehruuongelma
Tällä kertaa yläosa lepää kiinteän pisteen O kohdalla painovoimakentässä - g k
Gyroskooppiasiat
Muut tapaukset
PFDR: ää voidaan tietysti soveltaa mihin tahansa järjestelmään, mukaan lukien avoimet järjestelmät, kuten helikoptereiden suihkuterät tai kauhareaktioturbiinin suihkupyörien siipipyörät. Ja myös galaksien tai hydrodynamics ( liikemäärämomentin vuonna hydrodynamics , pyörre ...).
Huomautuksia ja viitteitä
-
Energeettisellä tasolla tämä EI tarkoita, että sen teho on nolla. Tämä viimeinen kohta pätee vain kiinteään
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">