Lagrangen yhtälöt
Lagrangen yhtälöt , löydettiin 1788 matemaatikko Joseph-Louis Lagrange , on muotoiltu uudelleen klassisen mekaniikan.
Ensimmäiset yhtälöt
Tämä on Newtonin yhtälön uudelleen muotoilu , johon ei liity reaktiovoimia.
Tätä varten ilmaisemme tutkitun hiukkasen kärsimät jännitykset tyyppisten yhtälöiden muodossa: gi(x→,t)=0{\ displaystyle g_ {i} ({\ vec {x}}, t) = 0}
On vain yksi yhtälö, jos liike on rajoitettu pintaan, kaksi, jos se on käyrä.
Esimerkiksi yksinkertaisen heilurin osalta meillä on rajoitus . Jos lisäksi liike tapahtuu Oxz-tasossa, lisätään yhtälög1(x→,t)=r-l=0{\ displaystyle g_ {1} ({\ vec {x}}, t) = rl = 0}g2(x→,t)=y=0{\ displaystyle g_ {2} ({\ vec {x}}, t) = y = 0}
Oletetaan, että reaktiovoimat (kitkaa lukuun ottamatta) ovat kohtisuorassa pintaan tai jännityskäyrään nähden, ne kirjoitetaan sitten muotoon
R→i=λi∇→gi , i=1,2{\ displaystyle {\ vec {R}} _ {i} = \ lambda _ {i} {\ vec {\ nabla}} g_ {i} ~~, ~~ i = 1,2}
Liikkeen yhtälöt ovat siis
mr→¨=F→+λ1∇→g1+λ2∇→g2{\ displaystyle m {\ ddot {\ vec {r}}} = {\ vec {F}} + \ lambda _ {1} {\ vec {\ nabla}} g_ {1} + \ lambda _ {2} { \ vec {\ nabla}} g_ {2}}
gi(x→,t)=0 , i=1,2{\ displaystyle g_ {i} ({\ vec {x}}, t) = 0 ~~, ~~ i = 1,2}
Toisenlaiset yhtälöt
Lagrangian mekaniikassa kohteen liikerata saadaan pyrkimällä minimoimaan tietty määrä, jota kutsutaan toiminnaksi . Periaatteessa vähiten osoittaa, että objekti seuraa liikerataa, joka minimoi toiminta kullakin hetkellä ja Lagrangen yhtälöt muotoilla tässä yhteydessä lait klassisen mekaniikan löysi Isaac Newton .
Mekaniikassa Lagrange-yhtälöt mahdollistavat erittäin helposti monimutkaisen järjestelmän liikeyhtälöiden saamisen käyttämättä voiman käsitettä .
Järjestelmässä, jossa vapausasteita kuvanneet yleisen koordinaatit , me ilmaista Lagrangen alkaen yleistynyt koordinaatit
ja niiden johdannaiset ajan suhteen , kun ero välinen liike-energia ja potentiaalienergia . Koska aika voi näkyä nimenomaisesti Lagrangianissa, se riippuu lopulta muuttujista.
EI{\ displaystyle N} EI{\ displaystyle N} qi{\ displaystyle q_ {i}} L{\ displaystyle L} qi{\ displaystyle q_ {i}}q˙i{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}2EI+1{\ displaystyle 2N + 1}
Kun järjestelmään ei kohdistu ulkoista voimaa, Lagrangen yhtälöillä on seuraava muoto:
ddt∂L∂q˙i-∂L∂qi=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {i}}} - {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen q_ {i}}} = 0}
Nämä yhtälöt voidaan johtaa suoraan klassisen mekaniikan laeista. Jokaiselle yleistetylle koordinaatille on yhtälö . Yksi näiden yhtälöiden eduista on pystyä valitsemaan sopivin muuttujajärjestelmä järjestelmän kuvaamiseksi.
q˙i{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}
On klassinen mekaniikka , parametri on aika, ja nämä yhtälöt ovat Lagrangen yhtälöt oikea.
Jos parametri on polun pituus, nämä yhtälöt antavat geodeettisen yhtälön .
Yhtälöiden muodostaminen
Olkoon koordinaatistossa tahansa muuttuja asettamiseksi liikeratoja, harkitse toiminto , joka riippuu vain muuttujat ja koko derivaatta , . Haluamme löytää annetut loppuradat ja jotka minimoivat integraalin
xi{\ displaystyle x_ {i}}τ{\ displaystyle \ tau}L{\ displaystyle L}xi{\ displaystyle x_ {i}}τ{\ displaystyle \ tau}x˙i{\ displaystyle {\ dot {x}} _ {i}}xi(τ){\ displaystyle x_ {i} (\ tau)}τ1{\ displaystyle \ tau _ {1}}τ2{\ displaystyle \ tau _ {2}}
∫τ1τ2L(xi,x˙i)dτ{\ displaystyle \ int _ {\ tau _ {1}} ^ {\ tau _ {2}} L \ vasen (x_ {i}, {\ dot {x}} _ {i} \ oikea) \ mathrm {d } \ tau}
Tarkastellaan äärettömän läheistä liikerataa, jossa on äärettömän pieni ja . Olettaen, että ratkaisut on löydetty ja annettu, toiminto
x′(τ)=x(τ)+eξ(τ){\ displaystyle x '(\ tau) = x (\ tau) + \ varepsilon \ xi (\ tau)}e{\ displaystyle \ varepsilon}ξ(τ1)=ξ(τ2)=0{\ displaystyle \ xi (\ tau _ {1}) = \ xi (\ tau _ {2}) = 0}ξ(τ){\ displaystyle \ xi (\ tau)}
S(e)=∫τ1τ2(L(xi,x˙i)+eξ(τ)∂L∂xi+eξ˙(τ)∂L∂xi˙+o(e))dτ{\ displaystyle S \ left (\ varepsilon \ right) = \ int _ {\ tau _ {1}} ^ {\ tau _ {2}} \ left (L \ left (x_ {i}, {\ dot {x }} _ {i} \ oikea) + \ varepsilon \ xi \ vasen (\ tau \ oikea) {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen x_ {i}}} + \ varepsilon {\ piste {\ xi}} \ vasen (\ tau \ oikea) {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen {\ piste {x_ {i}}}}}} + o \ vasen (\ varepsilon \ oikea) \ oikea) \ mathrm {d} \ tau}
on vähintään :
e=0{\ displaystyle \ varepsilon = 0}
0=[dSde](0)=∫τ1τ2(ξ(τ)∂L∂xi+ξ˙(τ)∂L∂xi˙)dτ{\ displaystyle 0 = \ vasen [{\ frac {\ mathrm {d} S} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} \ oikea] \ vasen (0 \ oikea) = \ int _ {\ tau _ {1} } ^ {\ tau _ {2}} \ vasen (\ xi \ vasen (\ tau \ oikea) {\ frac {\ osittainen L} {\ osittain x_ {i}}} + {\ piste {\ xi}} \ vasen (\ tau \ oikea) {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen {\ piste {x_ {i}}}}}} \ oikea) \ mathrm {d} \ tau}
Integroimalla osittain toinen termi integraalin alle ja hyödyntämällä sitä, että oletetaan olevan nolla raja-arvoilla, olemme
ξ{\ displaystyle \ xi}
0=∫τ1τ2(ξ(τ)∂L∂xi-ξ(τ)ddτ∂L∂xi˙)dτ{\ displaystyle 0 = \ int _ {\ tau _ {1}} ^ {\ tau _ {2}} \ vasen (\ xi \ vasen (\ tau \ oikea) {\ frac {\ osittainen L} {\ osallinen x_ {i}}} - \ xi \ vasen (\ tau \ oikea) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} {\ frac {\ osittainen L} {\ osallinen {\ piste {x_ {i}}}}} \ oikea) \ mathrm {d} \ tau}.
Koska toiminto on mielivaltainen, meillä on oltava
ξ{\ displaystyle \ xi}
∂L∂xi-ddτ∂L∂xi˙=0{\ displaystyle {\ frac {\ partitali L} {\ osittainen x_ {i}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} {\ frac {\ osittainen L} { \ osittainen {\ piste {x_ {i}}}}} = = 0}
Ulkoiset ponnistelut
Kun kohdistetut voimat johtuvat yleistetystä potentiaalista , ts. Todentamisesta
F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}V(x→,x→˙,t){\ displaystyle V ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}, t)}
Fi=ddt∂V∂x˙i-∂V∂xi{\ displaystyle F_ {i} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osaa V} {\ osittainen {\ piste {x}} _ {i}} } - {\ frac {\ osittainen V} {\ osittainen x_ {i}}}}
yllä oleva yhtälö pysyy voimassa Lagrangian kanssa L=T-V {\ displaystyle L = TV ~}
Kun järjestelmään kohdistetaan pisteessä voima, joka ei johdu yleistetystä potentiaalista , Lagrangen yhtälöistä tulee:
F{\ displaystyle F}P=(x,y,z){\ displaystyle P = (x, y, z)}
ddt∂L∂q˙i-∂L∂qi=Fqi{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen {\ piste {q}} _ {i}}} - {\ frac {\ osittainen L} {\ osittainen q_ {i}}} = F_ {q_ {i}}} tai
Fqi=∂x∂qi⋅Fx+∂y∂qi⋅Fy+∂z∂qi⋅Fz{\ displaystyle F_ {q_ {i}} = {\ frac {\ partitali x} {\ osittainen q_ {i}}} \ cdot F_ {x} + {\ frac {\ osittainen y} {\ osallinen q_ {i} }} \ cdot F_ {y} + {\ frac {\ partitu z} {\ osittainen q_ {i}}} \ cdot F_ {z}}
Esimerkki yleistetystä potentiaalista, mutta ei klassisesta potentiaalista, on Lorentzin voima :
F→=qE→+qv→×B→=ddt∂V∂x→˙-∂V∂x→{\ displaystyle {\ vec {F}} = q {\ vec {E}} + q {\ vec {v}} \ kertaa {\ vec {B}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ osittainen V} {\ osittainen {\ piste {\ vec {x}}}}}} - {\ frac {\ osaa V} {\ osallinen {\ vec {x}} }}} kanssa V(x→,x→˙,t)=qϕ-qAT→⋅v→{\ displaystyle V ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}, t) = q \ phi -q {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {v}}}
Toisaalta nestemäinen kitkavoima ei johdu mistään, jopa yleistetystä potentiaalista.
F→=-av→{\ displaystyle {\ vec {F}} = - \ alpha {\ vec {v}}}
Liitteet
Aiheeseen liittyvät artikkelit
Esimerkkejä
Ulkoiset linkit
Huomautuksia ja viitteitä
-
(en) Herbert Goldstein, klassinen mekaniikka
-
Claude Gignoux, Bernard Silvestre-Brac, Lagrangian sanamuodosta Hamiltonin kaaokseen
-
Joseph Louis Lagrange, analyyttinen mekaniikka ( lue verkossa )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">