Avaruus L ∞

On matematiikka , tila L ∞ on yksi klassinen tilat toiminnallinen analyysi . Se koostuu rajoitetuista mitattavissa olevista funktioista , jotka moduloivat tasa-arvon suhdetta melkein kaikkialla . Se on noin Banachin tilaa , joka tulee lisätä perheeseen tilojen L p mitattavissa toimintoja, joiden p- th teho on integroituva . Se on jopa kommutatiivinen yhtenäinen Banach- algebra .

Määritelmä

Oleellinen yläraja

Olkoon f mitattu tila ja funktio X: llä, jolla on todelliset arvot. Todellinen kutsutaan lähes yläraja on f , jos f ( x ) ≤ varten lähes jokainen elementti x on X , toisin sanoen: jos asetettu (X,AT,μ){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}

{x∈X∣f(x)>klo}{\ displaystyle \ {x \ in X \ keskellä f (x)> a \}}

on merkityksetön , ts. sisältyy nollamittajoukkoon.

Jos f myöntää melkein pääaineita, voimme määritellä sen olennaisen ylärajan pienimmäksi.

Voimme määritellä samalla tavalla olennaisen alarajan käsitteen ja tietysti rajatulle toiminnolle olennaiset rajat ja rajat liittyvät toisiinsa

inff≤infessf≤supessf≤supf.{\ displaystyle \ inf f \ leq \ inf \ mathrm {ess} f \ leq \ sup \ mathrm {ess} f \ leq \ sup f.}

Pohjimmiltaan rajoitetut toiminnot

Funktion f sanotaan olennaisesti rajoittuvan, kun funktiolla on melkein yläraja. Sitten huomaamme x↦|f(x)|{\ displaystyle x \ mapsto | f (x) |}

‖f‖∞=supess|f|{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup \ mathrm {ess} | f |}

joka muodostaa osittain normi on vektori tila olennaisesti rajoittuu toimintoja.

Avaruus L ∞ on mitattavien funktioiden tilan osamäärä tila , joka on olennaisesti rajoitettu (tai yksinkertaisesti: mitattavissa olevien toimintojen rajoittama) niiden alatilan kanssa, jotka ovat nolla lähes kaikkialla. Se toimitetaan ║ ║ ∞ -normilla, joka saadaan siirtämällä osamäärään .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">