Symplektinen vektoritila

In algebran , joka on vektori tila on symplectic , kun se on varustettu symplectic muoto , joka on sanovat vaihtoehtoisen ja ei-degeneroitunut bilineaarinen muodossa . Näiden vektoritilojen tutkimuksessa on joitain yhtäläisyyksiä todellisten prehilbertin tilojen kanssa, koska määritämme myös ortogonaalisuuden käsitteen . Mutta on olemassa voimakkaita eroja, jo vain siksi, että jokainen vektori on itselleen kohtisuora.

Symplektiset vektoritilat toimivat malleina symplektisen geometrian tutkittujen symplektisten jakotukien määrittelemiseksi . Jälkimmäiset ovat Hamiltonin mekaniikan luonnollinen kehys .

Monimutkaiselle prehilbertin vektoritilalle annetaan automaattisesti symplektinen rakenne todellisena vektoritilana. Lajikkeiden suhteen analogi on Kähler-lajikkeen käsite .

Määritelmä

Antaa olla vektoritila kentällä reaalilukuja (yleinen tapaus esitetään alla). Symplectic lomake on on vuorotellen ja ei-degeneroitunut bilineaarinen muoto , eli: V{\ displaystyle V}V{\ displaystyle V}ω:V×V→R{\ displaystyle \ omega: V \ kertaa V \ arvoon \ mathbb {R}}

• meillä on vaihtoehtoinen merkki ω(u,u)=0,∀u∈V{\ displaystyle \ omega (u, u) = 0, \ quad \ kaikki u \ in V}

mikä joskus korvataan antisymmetrialla : (nämä kaksi ominaisuutta ovat samanarvoiset);ω(u,v)=-ω(v,u),∀u,v∈V{\ displaystyle \ omega (u, v) = - \ omega (v, u), \ quad \ kaikki u, v \ in V}

• ja nondegeneracy : .u≠0⟹ω(u,⋅)≠0{\ displaystyle u \ neq 0 \ merkitsee \ omega (u, \ cdot) \ neq 0}

Symplectic vektori tila on vektori, tila , joka on varustettu symplectic muodossa  . (V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}V{\ displaystyle V}ω{\ displaystyle \ omega}

Kahden vektorin sanotaan olevan (sympektisesti) kohtisuorassa milloin . Vuorottelemalla luonne , mikä tahansa vektori, ja on kohtisuorassa itse. u,v∈V{\ displaystyle u, v \ sisään V}ω(u,v)=0{\ displaystyle \ omega (u, v) = 0}ω{\ displaystyle \ omega}v{\ displaystyle v}V{\ displaystyle V}

Lause: Kaikilla äärellisen ulottuvuuden symplektisillä vektoriavaruuksilla on todellinen ulottuvuus.

Esittely

Antaa olla äärellinen ulotteinen symplektinen vektoritila. Antaa olla todellinen vektori perusteella on . Antaa olla edustava matriisi on , eli varten . Koska matriisi ei ole rappeutumaton, se on käänteinen ja sen vuoksi determinantti ei ole nolla. Koska se on antisymmetrinen, matriisi on antisymmetrinen . Tiedämme, että parittoman kertaluvun antisymmetrisen matriisin determinantti on nolla, mikä on mahdotonta. Siksi se on tasainen.(V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}(v1,...,vei){\ displaystyle (v_ {1}, ..., v_ {n})}V{\ displaystyle V}[ωi,j]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}ω{\ displaystyle \ omega}ωi,j: =ω(vi,vj){\ displaystyle \ omega _ {i, j}: = \ omega (v_ {i}, v_ {j})}i,j=1,...,ei{\ displaystyle i, j = 1, ..., n}ω{\ displaystyle \ omega}[ωi,j]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}ω{\ displaystyle \ omega}[ωi,j]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}V{\ displaystyle V}◻{\ displaystyle \ neliö}

Huomaa  : Symplektisen muodon edustavan matriisin käsite ei ole identtinen symplektisen matriisin käsitteen kanssa .

Standardi symplektinen vektoritila

Viitesymplektinen vektoritila on tila, jossa kanonisella pohjalla symplektinen muoto tyydyttää suhteet (R2ei,ω){\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2n}, \ omega)}(e1,...,eei,f1,...,fei){\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n}, f_ {1}, \ ldots, f_ {n})}ω{\ displaystyle \ omega}

ω(ei,fj)=-ω(fj,ei)=5ij{\ displaystyle \ omega (e_ {i}, f_ {j}) = - \ omega (f_ {j}, e_ {i}) = \ delta _ {ij} \,} ω(ei,ej)=ω(fi,fj)=0{\ displaystyle \ omega (e_ {i}, e_ {j}) = \ omega (f_ {i}, f_ {j}) = 0 \,}.

Matriisiesitys standardin symplectic muoto on silloin:

[ωi,j]=[0Minäei-Minäei0]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}] = {\ aloita {bmatrix} 0 & I_ {n} \\ - I_ {n} ja 0 \ end {bmatrix}}}

missä tarkoittaa koon identiteettimatriisia . Minäei{\ displaystyle I_ {n}}ei×ei{\ displaystyle n \ kertaa n}

On jotenkin kytkettyjä suuntia  : kukin on kohtisuorassa kaikkia perusvektoreita lukuun ottamatta . ei{\ displaystyle e_ {i}}fi{\ displaystyle f_ {i}}

Eräs muunnos Gram-Schmidtin ortonormalisointiprosessista antaa mahdollisuuden osoittaa, että kaikilla äärellisillä ulotteisilla symplektisillä vektoriavaruuksilla on sellainen perusta, jolle yleensä annetaan Darboux-perustan nimi .

Vektori-alatilat

Antaa olla symplektinen vektoritila. Antaa olla vektorin alatila . Kohtisuorassa (symplectic) ja on määritelmän vektori aliavaruus (V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}W⊂V{\ displaystyle W \ osajoukko V}V{\ displaystyle V}W{\ displaystyle W}

Wω: ={v∈V|ω(v,w)=0,∀w∈W}{\ displaystyle W ^ {\ omega}: = \ {v \ in V | \ omega (v, w) = 0, \ kaikki w \ sisään W \}}.

Vektorialatila sanotaan: W{\ displaystyle W}

• symplektinen josW∩Wω={0}{\ displaystyle W \ korkki W ^ {\ omega} = \ {0 \}}
• isotrooppinen josW⊂Wω{\ displaystyle W \ osajoukko W ^ {\ omega}}
• koisotrooppinen josWω⊂W{\ displaystyle W ^ {\ omega} \ osajoukko W}
• Lagrangian siWω=W{\ displaystyle W ^ {\ omega} = W}

Kaikki Lagrangen vektori aliavaruus on sanoen: W{\ displaystyle W}(V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}

• (suurin) isotrooppinen
• (minimaalinen) koisotrooppinen
• ulottuvuus puolet .V{\ displaystyle V}

Sympektinen tila missä tahansa kehossa

Symplektisten tilojen määritelmä ulottuu muuttumatta mihinkään kenttään, jolla on muu ominaisuus kuin 2. Ominaisuudessa 2 ei ole enää vastaavuutta vaihtoehtoisten ja seismisten vastaisten merkkien välillä.

Viitteet

• Ralph Abraham ja Jarrold E.Marsden , mekaniikan perusteet , (1978) Benjamin-Cummings, Lontoo ( ISBN  0-8053-0102-X ) .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">