Symplektinen lajike

On matematiikka , joka on symplectic jakotukki on ero jakotukin varustettu ero muodossa asteen 2 suljettu ja ei-degeneroitunut , kutsutaan symplectic muodossa . Symplektisten jakotukkien tutkimus kuuluu symplektisen geometrian alle . Symboliset jakotukit esiintyvät klassisen mekaniikan abstrakteissa analyyttisissä uudelleenformuloinnissa käyttäen jakotukin kotangenttikimppua , erityisesti Hamiltonnin uudelleenformulaatiossa , jossa järjestelmän kokoonpanot muodostavat jakotukin, jonka kotangenttipaketti kuvaa järjestelmän vaihetilaa .

Mikä tahansa reaaliarvoinen funktio symplektisessa jakotukissa määrittelee Hamiltonin vektorien kentän , jonka integraalit käyrät ovat ratkaisuja Hamilton-Jacobi-yhtälöihin . Hamiltonin vektorikenttä kuvaa Hamiltonin diffeomorfismia symplektisessa jakotukissa. By Liouvillen lauseen , tämä Hamiltonin virtauksen säilyttää äänenvoimakkuuden muodossa .

Historiallinen

Ajatus symplectic erilaisia , ja siksi symplectic geometrian , palaisi Jean-Marie Souriau vuonna 1953. Mukaan Souriau The symplectic muoto olisi historiallisesti kutsuttaisiin muodossa Lagrangen tai koukut Lagrangen . Tarkemmin sanottuna Poisson kiinnike kaksi tehtävää määritellään vaiheavaruusdynamiikan voidaan kirjoittaa missä on contravariant Poisson tensor . Sen käänteisensori on kovariaattinen Lagrange-tensori , joka vastaa Lagrange-koukun komponentteja (eli symplektisen muodon komponentteja). ${\ displaystyle \ {f_ {1}, f_ {2} \} = \ summa _ {i, j} \ sigma ^ {ij} (\ osittain _ {i} f_ {1}) (\ osittain _ {j} f_ {2})}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {ij}}$

Määritelmä

Olkoon , rajallisen ulottuvuuden differentiaalijakaja . Symplectic muoto on on ero 2-muodossa, joka on suljettu (eli ), ja ei degeneroituneet (eli jos on ei-nolla, niin on ei-nolla). Symplectic jakotukki on ero jakotukin omistetun kanssa symplectic muodossa . $M$ $M$ ${\ displaystyle \ omega \ sisään \ Omega ^ {2} (M)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega = 0}$ ${\ displaystyle v \ in TM}$ ${\ displaystyle \ omega (v, \ cdot)}$ $(M, \ omega)$ $M$ $\ omega$

Ehdotus: Kaikilla symplektisilla jakotukilla on todellinen tasainen ulottuvuus.

Esittely

Jokainen tangenttikuitu on symplektinen vektoritila . Mutta mikä tahansa symplektinen vektoritila on tasainen . $T_ {x} M$ ${\ displaystyle (T_ {x} M, \ omega _ {x})}$ $\neliö$

Kuitu kuidulla, symplektisen jakotukin symplektinen muoto aiheuttaa tasaisen lineaarisen sovelluksen : $\ omega$ $(M, \ omega)$

{\ displaystyle \ flat: T_ {x} M \ - T_ {x} ^ {*} M; v \ mapsto v ^ {\ flat}: = \ omega _ {x} (v, \ cdot)}

Symplektisten muotojen rappeutumattomuus on sama kuin tämä viimeinen lineaarinen kartta on injektiivinen. Lopullisessa ulottuvuudessa, koska tangentin kuiduilla on sama ulottuvuus kuin kotangentin kuiduilla , tasainen kartta ei ole vain injektio vaan surjektiivinen, mikä tekee siitä musiikillisen (in) symplektisen, jonka käänteinen puoli on terävä musiikillinen isomorfismi symplektinen $TM$ $T ^ {*} M$

{\ displaystyle \ sharp: T_ {x} ^ {*} M \ - T_ {x} M; \ alpha \ mapsto \ alpha ^ {\ sharp}}

Huomaa: On myös mahdollista määritellä käsite äärettömästä symplektisesta jakotukista (esim. Liitäntätilat suunnatulla suljetulla sileällä pinnalla). Meidän on kuitenkin erotettava heikot symplektiset muodot (eli ne, joissa on injektio) vahvista (ts. Ne, joissa on isomorfismi). $\ tasainen$ $\ tasainen$

Darbouxin lause

Aivan kuten on olemassa standardi symplektinen vektoritila , on myös standardi symplektinen jakotukki , joka on myös merkitty . Olkoon kanoninen perusta . Se vastaa suhteiden määrittelemää kanonista kaksoisperustaa ${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2n}, \ omega)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2n}, \ omega)}$ ${\ displaystyle \ {e_ {i}, f_ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}$ $\ mathbb {R} ^ {{2n}}$ ${\ displaystyle \ {e_ {i} ^ {*}, f_ {i} ^ {*} \} _ {i = 1, ..., n}}$

{\ displaystyle e_ {i} ^ {*} (e_ {j}) = \ delta _ {i, j} \ quad e_ {i} ^ {*} (f_ {j}) = 0 \ quad f_ {i} ^ {*} (e_ {j}) = 0 \ quad f_ {i} ^ {*} (f_ {j}) = \ delta _ {i, j}}

Tämä kanoninen kaksoisperusta indusoi yhtä kanonisen (globaalin) koordinaattijärjestelmän , jonka kussakin määrittelee: ${\ displaystyle \ {x_ {i}, y_ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}$ ${\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {R} ^ {2n}}$

{\ displaystyle x_ {i} (x): = e_ {i} ^ {*} (x)}

{\ displaystyle y_ {i} (x): = f_ {i} ^ {*} (x)}

Kanoninen symplectic muoto päälle kirjoitetaan sitten erikseen ja maailmanlaajuisesti: $\ omega$ $\ mathbb {R} ^ {{2n}}$

{\ displaystyle \ omega = \ summa _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} x_ {i} \ wedge \ mathrm {d} y_ {i}}

Lause, Darboux osoittaa, että jokainen piste on symplectic jakoputken myöntää avoin -osassa paikallinen koordinaatisto kuten $x \ M: ssä$ $(M, \ omega)$ $U$ ${\ displaystyle \ {x_ {i}, y_ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}$

{\ displaystyle \ omega | _ {U} = \ summa _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} x_ {i} \ wedge \ mathrm {d} y_ {i}}

Kaksi erilaista todistusta Darboux'n lauseesta löytyy sisään ja sisään.

Darboux lause tarkoittaa, että toisin kuin Riemannin geometria, jossa kaarevuutta Riemannin metriikka on paikallinen invariantti, ei ole paikallista muuttumaton symplectic geometria . $g$

Kotangenttikuidut

Toinen tyypillinen esimerkki symplektisesta jakotukista on erilaistuvan jakotukin kotangenttipaketti. Antaa olla erilainen lajike. Anna sen nipun kotangentti. On olemassa differentiaalinen 1-muoto , jota kutsutaan Liouvillen kanoniseksi 1-muodoksi , joka on määritelty missä tahansa kohdassa ja missä tahansa vektorissa seuraavasti: $Q$ ${\ displaystyle \ pi: T ^ {*} Q \ Q}$ $\ lambda$ ${\ displaystyle T ^ {*} Q}$ ${\ displaystyle p \ in T ^ {*} Q}$ ${\ displaystyle v \ sisällä T_ {p} (T ^ {*} Q)}$

{\ displaystyle \ lambda | _ {p} (v): = p (\ pi _ {*} v)}

Ulkoinen ero on symplektinen muoto, jota kutsutaan kanoniseksi symplektiseksi muodoksi , päällä . Erityisesti paikallinen koordinaattijärjestelmä avoimella alueella saa aikaan paikallisen koordinaattijärjestelmän , joka määritetään missä tahansa kohdassa seuraavasti: ${\ displaystyle \ omega: = \ mathrm {d} \ lambda}$ ${\ displaystyle M: = T ^ {*} Q}$ ${\ displaystyle \ {x ^ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}$ $U$ $Q$ ${\ displaystyle \ {p_ {i}, q ^ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {- 1} (U)}$ ${\ displaystyle p \ sisään \ pi ^ {- 1} (U)}$

{\ displaystyle p_ {i} (p): = p \ vasen ({\ frac {\ osal} {\ osittain x ^ {i}}} \ oikea)}

{\ displaystyle q ^ {i} (p): = x ^ {i} (\ pi (p))}

Sitten on mahdollista osoittaa se

{\ displaystyle \ omega | _ {\ pi ^ {- 1} (U)} = \ summa _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} p_ {i} \ wedge \ mathrm {d} q ^ {i}}

Siten paikallisesti kotangenttikimpun kanoninen symplektinen muoto kirjoitetaan luonnollisesti Darboux-koordinaateissa.

Huomioi: Fysiikassa moninaisia roolissa kokoonpano tilaa ja sen kotangentin että vaiheen tilaa . $Q$ ${\ displaystyle M = T ^ {*} Q}$

Tilavuuden muoto

Yläpuolella osoitettiin, että kaikilla symplektisilla jakotukilla on tasainen ulottuvuus . Kun otetaan huomioon symplektisen 2-muodon ulkoinen tulo , jakotukki varustetaan sitten differentiaalimuodolla . Sitten on mahdollista osoittaa joko käyttämällä määritelmää tai käyttämällä Darboux'n teoreemaa, että tämä jälkimmäinen -erotusmuoto on tilavuus- sur- muoto . Tällöin mikä tahansa symplektinen lajike on kanonisesti suuntautunut ja saa kanonisen mittauksen, jota kutsutaan Liouvillen mittaukseksi . $(M, \ omega)$ $2n$ $ei$ $\ omega$ $M$ $2n$ ${\ displaystyle \ omega ^ {\ kiila n}}$ $\ omega$ $2n$ ${\ displaystyle \ omega ^ {\ kiila n}}$ $M$ ${\ displaystyle \ omega ^ {\ wedge n} / n!}$

Huomaa: Liouvillen mittayksikköä käytetään:

tilastomekaniikassa todennäköisyyden mittana multiplikatiivinen funktio ;
on geometrinen prequantification määritellä Hilbert tilaa .

Hamiltonin vektorikenttä ja Hamiltonin virtaus

Antaa olla symplektinen lajike. Antaa olla sujuva toiminto (jota kutsumme Hamiltoniksi ). Kanssa liittyy Hamiltonin vektorikenttä, jonka implisiittisesti määrittelee: $(M, \ omega)$ ${\ displaystyle H \ muodossa {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M; \ mathbb {R})}$ $H$ ${\ displaystyle X_ {H} \ in {\ mathfrak {X}} (M)}$

{\ displaystyle \ omega (X_ {H}, \ cdot) = - \ mathrm {d} H}

tai uudestaan simpektisen terävän musikaalisuuden suhteen:

{\ displaystyle X_ {H}: = - \ vasen (\ mathrm {d} H \ oikea) ^ {\ terävä}}

Jos on täydellinen vektori kenttä, se liittyy 1-parametrin ryhmä diffeomorphisms , eli homomorfismi ryhmien , kutsutaan Hamiltonin virtaus on . ${\ displaystyle X_ {H}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {H} ^ {t}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {H}: (\ mathbb {R}, +) \ - \ mathrm {Ero} (M)}$ $H$

Huomautuksia:

on myös mahdollista määritellä Hamiltonin vektorikenttä ja ei-autonomisen Hamiltonin Hamiltonin virtaus (eli riippuu ajasta); ${\ displaystyle H \ muodossa {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M \ kertaa \ mathbb {R})}$
mukaan Liouvillen lause , tilavuus muoto on säilötty Hamiltonin virtauksen. Mutta se ei ole kaikki! Hamiltonin virtaus säilyttää paitsi symplektisen tilavuuden myös symplektisen muodon . Hamiltonin virtaus siis toimii mennessä symplectomorphisms . ${\ displaystyle \ omega ^ {\ kiila n}}$ $\ omega$ $(M, \ omega)$
Edellä oleva Hamiltonin vektorikentän määritelmä antaa meille mahdollisuuden määritellä kahden klassisen havaittavissa olevan Poissonin sulku seuraavasti: ${\ displaystyle f, g \ sisään {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M; \ mathbb {R})}$

{\ displaystyle \ {f, g \}: = X_ {f} (g)}

Sitten saadaan suhde kahden klassisen havaittavissa olevan Poissonin kannattimen ja symplektisen muodon välillä:

{\ displaystyle \ {f, g \} = \ omega (X_ {f}, X_ {g})}

Tämä yhtälö on yhtäpitävä, allekirjoittamiseen saakka, sillä Lagrangen koukku on Poissonin koukun käänteisensori. Käyttämällä symplektisen muodon sulkemista suora laskelma osoittaa, että Poissonin sulu täyttää Jacobi-identiteetin:

{\ displaystyle 0 = \ {f, \ {g, h \} \} + \ {h, \ {f, g \} \} + \ {g, \ {h, f \} \}}

Poisson-hakasulun Jacobi-identiteettiä käyttämällä saadaan suhde Hamiltonin vektorikenttien Lie-kannattimen ja symplektisen muodon välillä:

{\ displaystyle X _ {\ {f, g \}} = [X_ {f}, X_ {g}]}

Toisin sanoen, Poissonin sulake Poisson-algebrasta, jossa on tasaiset toiminnot symplektisen jakotukin yli, on yhtäpitävä vektorikenttien Lie-haarukan kanssa.

Darbouxin paikallisissa koordinaateissa on nimenomaisesti: ${\ displaystyle (p_ {i}, q ^ {i}) _ {i = 1, ..., n}}$

{\ displaystyle \ omega = \ summa _ {i} dp_ {i} \ kiila dq ^ {i}}

{\ displaystyle X_ {f} = \ summa _ {i} {\ frac {\ partif f} {\ osittainen p_ {i}}} {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen q ^ {i}}} - { \ frac {\ partial f} {\ partitali q_ {i}}} {\ frac {\ partituuli {\ osittainen p ^ {i}}}}

{\ displaystyle \ {f, g \} = \ summa _ {i} {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen p_ {i}}} {\ frac {\ osallinen g} {\ osallinen q ^ {i} }} - {\ frac {\ osa f} {\ osallinen q_ {i}}} {\ frac {\ osallinen g} {\ osittainen p ^ {i}}}}

{\ displaystyle X_ {p_ {i}} = {\ frac {\ partituali {\ osallinen q ^ {i}}}}

{\ displaystyle X_ {q ^ {i}} = - {\ frac {\ partituali {\ osittainen p_ {i}}}}

{\ displaystyle \ {p_ {i}, q ^ {j} \} = \ delta _ {i} ^ {j}}

Lagrangian ja muut alilajikkeet

Symplektisen jakotukin differentiaalisen ala- alueen sanotaan olevan: $EI$ $(M, \ omega)$

symplectic submanifold jos kukin kuitu on symplectic vektori aliavaruus on ; ${\ displaystyle T_ {x} N}$ ${\ displaystyle (T_ {x} M, \ omega _ {x})}$
isotrooppinen subvariety jos kukin kuitu on isotrooppinen vektori aliavaruus on ; ${\ displaystyle T_ {x} N}$ ${\ displaystyle (T_ {x} M, \ omega _ {x})}$
coisotropic subvariety jos kukin kuitu on coisotropic vektori aliavaruus on ; ${\ displaystyle T_ {x} N}$ ${\ displaystyle (T_ {x} M, \ omega _ {x})}$
Lagrangen submanifold jos kukin kuituon Lagrangen vektori aliavaruus on. ${\ displaystyle T_ {x} N}$ ${\ displaystyle (T_ {x} M, \ omega _ {x})}$

Symplektisen jakotukin Lagrangian alajako on aina puolet . $EI$ $(M, \ omega)$ $M$

Erityistapaukset ja yleistykset

Symplektista jakoputkistoa, joka on varustettu symplektisen muodon kanssa yhteensopivalla metrisellä tensorilla, kutsutaan Kähler-jakotukiksi .
Symplektiset jakotukit ovat Poissonin jakotukkien erikoistapauksia .

Viitteet

2000, Patrick Iglesias-Zemmour, Symmetries and moments Science Education Collection. Hermann. s.15
1953, J.-M.Souriau, Differential symplectic geometry, applications, Coll. Int. CNRS, s.53, CNRS, Strasbourg.
Simplektinen muoto on Kähler-muodon kuvitteellinen komponentti. Kähler-lajikkeen käsite on peräisin Kählerin muistiinpanosta vuonna 1933, ks . André Weilin vuoden 1958 kirjan Variétés kählériennes esipuhe .
J.-M.Souriau, 1966, Geometrinen kvantifiointi, Commun. matematiikka. Phys., 1, s. 374-398. Sivulla 381.
J.-L.Lagrange, 1811, analyyttinen mekaniikka.
J.-M.Souriau, 1966, Geometrinen kvantifiointi, Commun. matematiikka. Phys., 1, s. 374-398. Sivulla 380.
MF Atiyah ja R.Bott, The Yang-Mills Equations over Riemann Surfaces, 1982
A. Kriegl ja PW Michor, Kätevä globaalianalyysin asettaminen, 1997
VI Arnol'd, Klassisen mekaniikan matemaattiset menetelmät, 1989
D. McDuff ja D. Salamon, Johdatus symplectic Topologia, 2017
tai jopa Huyghensien läheisille ystäville. Katso: P. Iglesias, Symétries et Moments, s. 158-159
NMJ Woodhouse, 1991, Geometrinen kvantisointi. Clarendon Press, toinen painos. s.11
NMJ Woodhouse, 1991, Geometrinen kvantisointi. Clarendon Press, toinen painos. Sivut 9 ja 11.

Katso myös

Ulkoiset linkit

(en) McDuff ja D. Salamon, Johdatus symplectic Topology (1998), Oxford Matemaattinen Monographs , ( ISBN 0-19-850451-9 ) .
(en) Abraham ja Jarrold E.Marsden , Mechanics Foundations (1978), Benjamin-Cummings, Lontoo , ( ISBN 0-8053-0102-X )
(en) Alan Weinstein, " Symplektiset jakotukit ja niiden Lagrangian alaliittimet ", Adv. Matematiikka. 6 (1971), 329–346

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista " Symplectic manifold " ( katso kirjoittajaluettelo ) .