Integroitu eksponentiaalinen

On matematiikka , kiinteä eksponentiaalinen funktio , merkitään yleensä $Ei$ , määritellään seuraavasti:

{\ displaystyle {\ mbox {Ei}}: {\ begin {cases} \ mathbb {R} ^ {*} \ to \ mathbb {R} \\ x \ mapsto {\ mbox {Ei}} (x) = - \ int _ {- x} ^ {\ infty} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- t}} {t}} \, \ mathrm {d} t \, = \ int _ {- \ infty} ^ {x} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {t}} {t}} \, \ mathrm {d} t. \ loppu {tapaukset}}}

Koska kiinteä ja käänteisfunktio ( ) hajaantuu 0, tämä määritelmä tulee ymmärtää, jos $x$ $> 0$ , niin tärkein arvo Cauchyn . ${\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {1} {t}}}$

Yhdistä kiinteään logaritmiin

Funktio $Ei$ liittyy funktioon $li$ ( integraalilogaritmi ) seuraavasti:

{\ displaystyle {\ rm {Ei}} (x) = \ operaattorin nimi {li} \ vasen (\ mathrm {e} ^ {x} \ oikea).}

$Ei-$ sarjan $sarjakehitys$

Integraalilla eksponentiaalisella on sarjakehitys :

{\ displaystyle {\ mbox {Ei}} (x) = \ gamma + \ ln | x | + \ summa _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {k}} {k \ cdot k!}},}

missä $γ$ on Euler-Mascheronin vakio .

Toiminnot $E n$

Integraali eksponentti liittyy toiseen funktioon, jota merkitään $E 1: lle, joka$ määritetään x: lle > 0 seuraavasti:

{{\ rm {E}}} _ {1} (x) = \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {{{{{\ rm {e}}} ^ {{- t}}} t} \, {\ mathrm d} t = - \ int _ {{- \ infty}} ^ {{- x}} {\ frac {{{{{\ rm {e}}} ^ {{t}}} t} \, {\ mathrm d} t.

Sitten meillä on suhde, kun $x > 0$ :

{{\ rm {Ei}}} (- x) = - {{\ rm {E}}} _ {1} (x).

Nämä kaksi toimintoa ilmaistaan koko funktiona, jonka määrittelee:

{{\ rm {Ein}}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} (1 - {{\ rm {e}}} ^ {{- t}}) \, {\ frac {{ \ mathrm d} t} t} = \ summa _ {{k = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {{k + 1}} x ^ {k}} {k \; k!}}.

Voimme todellakin osoittaa, että x > 0:

{\ displaystyle {\ rm {E}} _ {1} (x) = - \ gamma - \ ln (x) + {\ rm {Ein}} (x)}

{{\ rm {Ei}}} (- x) = \ gamma + \ ln x - {{\ rm {Ein}}} (x).

$E 1: lle$ annettu suhde mahdollistaa tämän toiminnon laajentamisen mihin tahansa avoimeen, joka on yksinkertaisesti yhdistetty kompleksitasosta, joka ei sisällä 0, määrittämällä logaritmi tällä tasolla. Otamme yleensä avoimena yksityisen kompleksisen tason, jossa on tiukasti negatiivisia todellisuuksia.

Yleisemmin, määritellään, minkä tahansa tiukasti positiivinen kokonaisluku n , toiminto $E n$ mukaan:

{\ displaystyle {\ rm {E}} _ {n} (x) = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {{{\ \ rm {e}} ^ {- xt}} {t ^ {n}}} \, \ mathrm {d} t = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- x}} {x}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac { {\ rm {e}} ^ {- t}} {\ vasen (1 + {\ frac {t} {x}} \ oikea) ^ {n}}} \, \ mathrm {d} t = {\ rm {e}} ^ {- x} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- xt}} {(1 + t) ^ {n}}} \ , \ mathrm {d} t}

Nämä toiminnot liittyvät suhteeseen:

{\ displaystyle \ mathrm {E} _ {n} (x) = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- x}} {x}} - {\ frac {n} {x}} \ mathrm {E} _ {n + 1} (x)}

$E$ $1: n$ laskeminen

Funktiolla $E 1$ ei ole lauseketta, joka käyttää tavanomaisia perustoimintoja Liouvillesta johtuvan lauseen mukaan . Erilaisia menetelmiä voidaan käyttää laskemiseen $E 1 ( x )$ on kaksinkertainen tarkkuus .

Jos x on 0 ja 2,5 välillä

Meillä on :

{\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}} \ vasen (z \ oikea) = - \ gamma - \ ln z + \ summa _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ { k +1} z ^ {k}} {k \; k!}} \ Qquad \ left (\ left | \ arg z \ right | <\ pi \ right).}

Tätä konvergenttisarjaa voidaan teoreettisesti käyttää laskemaan $E 1 ( x )$ mille tahansa todelliselle $x > 0: lle,$ mutta liukulukuoperaatioissa tulos on epätarkka $x: lle 2,5,$ koska suhteellisen tarkkuuden menetys johtuu erilaisten suuruusluokkien lukumäärän vähentämisestä.

Jos x > 40

On olemassa divergenttinen sarja, joka antaa mahdollisuuden lähestyä $E 1$ : n suurille $Re ( z )$ -arvoille , jotka on saatu integroimalla osiin , mikä antaa seuraavan asymptoottisen kehityksen :

{\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}} (z) = {\ frac {\ exp (-z)} {z}} \ summa _ {n = 0} ^ {N-1} {\ frac {n! } {(- z) ^ {n}}} + {\ frac {N!} {(- z) ^ {N}}} \ mathrm {E} _ {N + 1} (z)}

jossa kun z lähestyy . ${\ displaystyle \ mathrm {E} _ {N + 1} (z) = o ({\ rm {e}} ^ {- z})}$ $+ \ infty$

64-bittisen (kaksoistarkkuuden) tarkkuuden saavuttamiseksi on käytettävä arvoa $N = 40$ .

Viitteet

(in) Norman Bleistein ja Richard A. Handelsman , Asymptoottinen laajennukset Integrals , Dover ,1975, 425 Sivumäärä ( ISBN 978-0-486-65082-1 , lue verkossa ) , s. 3.

(en) Milton Abramowitz ja Irene Stegun , Käsikirja matemaattisista funktioista kaavoilla, kaavioilla ja matemaattisilla taulukoilla [ painoksen yksityiskohdat ] ( lue verkossa ), s. 228-230

Katso myös