Luokitus | |
---|---|
Vastavuoroinen | |
Johdannainen | |
Primitiivit |
Määritelmä asetettu | |
---|---|
Kuva asetettu | |
Pariteetti | outo |
Raja + ∞ | 0 |
---|---|
Raja −∞ | 0 |
Asymptootit |
|
---|---|
Kiinteät pisteet | −1; 1 |
On matematiikka , käänteinen toiminto on toiminto , joka liittää sen käänteinen , merkitään millä tahansa ei-nolla todellinen . Se pannaan merkille seuraavasti:
Tämä toiminto on aidosti vähenevä on väli ] -∞, 0 [ on todellinen tiukasti negatiivinen ja aidosti vähenevä välillä ] 0, + ∞ [ positiivisten todellinen, kanssa 0, kun "kielletty arvo" (Pole). Mutta se ei vähene tiukasti ℝ *: lla, koska jos a <0 < b , pidämme epätasa-arvon 1 / a <0 <1 / b .
Käänteistoiminto ei peruuta toisiaan eikä hyväksy a *: n enimmäis- tai vähimmäismäärää eikä edes arvoilla] –∞, 0 [ tai päällä ] 0, + ∞ [ .
Sen raja 0 on + limit ja –∞ . Tämän toiminnon avulla voidaan siten mallintaa tietty määrä käyttäytymisiä, jotka vähenevät, mutta joilla on " alaraja " (toiminnot eivät ole taipuvia kohti –∞ ), kuten gravitaatio ja sähköstaattinen voima, jotka ovat 1 / r 2: ssa .
Kohdassa 0 sen raja vasemmalla on –∞ ja oikealla + ∞ .
Graafinen esitys on käänteisfunktio on hyperbeli .
Yhtälön hyperboli hyväksyy kaksi asymptoottia : vaakasuoran (x-akseli, yhtälöllä y = 0) ja pystysuoran (y-akselin, yhtälön x = 0) kanssa. Näiden kahden asymptootin ollessa ( ortonormaalissa koordinaatistossa ) kohtisuorassa , hyperbolan sanotaan olevan tasasivuinen (sen epäkeskisyyden arvo on ).
Toisaalta huomaamme, että tämän hyperbolan symmetriakeskus on piste (0, 0), mikä kääntää tosiasian, että käänteisfunktio on pariton funktio .
Lopuksi huomaamme, että tällä hyperbolalla (H) on symmetrinen akseli : yhtälöviiva y = x . Itse asiassa piste ( x , y ) kuuluu (H): een vain ja vain, jos piste ( y , x ) kuuluu (H): een ( y = 1 / x vastaa x = 1 / y: tä ). Tämä ominaisuus mahdollistaa grafiikan huomata että käänteisfunktio on involuution , joka on sanoa bijektio joka on oma vastavuoroista : . Tai taas: minkä tahansa nollasta poikkeavan todellisen x : n käänteinen käänteinen x on yhtä suuri kuin x .
Johdannainen on käänteisfunktio on funktio määritellään seuraavasti:
EsittelyAntaa olla mielivaltainen nollasta poikkeava todellinen. Kaikista todellisista , että meillä on:
Niin , eli: .
Kuva :
Tästä johtuen abscissa-pisteen 1 arvo on siis käänteisen funktion käyrän tangentin kaltevuuden arvoinen koordinaattipisteessä (1, 1) -1.
Käänteisfunktio on kovera aikavälillä ] –∞, 0 [ ja kupera yli ] 0, + ∞ [ .
Luonnollinen logaritmi, tai luonnollinen logaritmi, huomattava ln , on määritelty yksityiskohtaisesti artikkelissa funktiona ] 0, + ∞ [ vuonna ℝ jonka derivaatta on käänteisfunktio, ja jonka arvo 1 on 0. primitiivien on ] 0, Käänteisfunktion + ∞ [ ovat siis muodon x ↦ (ln x ) + C funktiot , missä C on mielivaltainen todellinen vakio.
Voimme yleensä määrittää käänteisfunktio on ryhmä , jonka
Siksi käänteinen mahdollistaa laajentamisen negatiiviseen kokonaislukuun eksponentteina luvun (tai ryhmän elementin) voiman käsitteen asettamalla minkä tahansa positiivisen kokonaisluvun n : x –n = ( x n ) −1 .