Funktion pariteetti

On matematiikka , pariteetti on funktio on todellinen , kompleksinen tai vektori muuttuja on ominaisuus, että ensimmäinen edellyttää symmetria on domeenin määritelmän suhteen alkuperän , sitten ilmaistaan yksi tai toiselle seuraavat suhteet:

parillinen funktio : kaikilla määrittelyalueen x- arvoilla $f (- x ) = f ( x )$ ;
pariton funktio : kaikille määritelmäalueen x- arvoille $f (- x ) = - f ( x )$ .

On todellinen analyysi , jopa funktiot ovat funktioita, joiden tyypillinen käyrä on symmetrinen suhteessa y-akselilla, kuten vakioksi toimintoja , neliön funktio ja yleisemmin teho toimintojen kanssa jopa eksponentit , kosini ja hyperbolisen kosinin toimintoja. ... Pariton funktiot ovat niitä, joiden edustava käyrä on symmetrinen alkuperän suhteen, kuten identiteetti , kuutio ja yleisemmin tehofunktiot , joissa on parittomat eksponentti- , käänteis- , sini- , tangentti- , hyperboliset sini- ja hyperboliset tangenttitoiminnot ja niiden vastavuorot .

Ainoat toiminnot, jotka ovat sekä parillisia että parittomia, ovat nollatoiminnot symmetrisellä alueella.

Määrittelemätön funktio ei yleensä ole parillinen eikä pariton, vaikka sen määritelmäalue olisi symmetrinen alkuperään verrattuna. Mikä tahansa sellaiselle toimialueelle määritelty funktio on toisaalta kirjoitettu ainutlaatuisella tavalla parillisen ja parittoman funktion summana .

Todellisen muuttujan (olipa se parillinen vai pariton) funktion pariteetin osoittaminen mahdollistaa erityisesti tutkimuksen rajoittamisen positiivisiin todellisuuksiin.

käyttää

Funktioiden pariteettia käytetään esimerkiksi funktioiden tutkimiseen vain yli puolet niiden määritysvälistä, toinen puoli johtuu symmetrialla. Huomaa, että pariton funktio, joka on määritelty 0: lla, on tässä vaiheessa nolla (todellakin, koska on outoa, kaikelle ja siksi ; siis . $f$ $f (-x) = - f (x)$ $x$ $f (0) = - f (0)$ $f (0) = 0$

Voimme myös yksinkertaistaa kiinteä laskennan tapauksessa parillinen tai pariton funktio, koska jopa on sama , joka voidaan nähdä graafisen esityksen alueen käyrän alla, ja vastaavasti sillä outoa on yhtä suuri . Todellakin, on oltava yhtä suuri positiivinen alue ja sillä on negatiivinen alue on . $\ int _ {{- n}} ^ {n} f (x) \, {\ mathrm d} x$ $f$ ${\ displaystyle 2 \ kertaa \ int _ {0} ^ {n} f (x) dx \,}$ $\ int _ {{- n}} ^ {n} f (x) \, {\ mathrm d} x,$ $f$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ $ei$ $-ei$ ${\ displaystyle 0}$

Tämä määritelmä pariteetti ja imparity voidaan myös nimenomaisesti käsitteen kanssa symmetrointia on toiminto: symmetrized funktio funktion s on funktio š joka liittää kanssa annetaan ja, esimerkiksi, s on vaikka se on yhtä suuri kuin sen symmetroitu. ${\ displaystyle s (-x)}$ $x$

Parillinen ja pariton osa funktiota

Jos on symmetrisen osajoukko 0: n suhteen (ts. Jos se kuuluu sitten kuuluu ), mikä tahansa funktio voi hajota ainutlaatuisesti parillisen ja parittoman funktion summana: $E$ $\ mathbb {R}$ $x$ $E$ $-x$ $E$ $f: E \ m \ mathbb {R}$

{\ displaystyle f (x) = f _ {\ text {p}} (x) + f _ {\ text {i}} (x)}

, missä tasainen funktio on

{\ displaystyle f _ {\ text {p}} (x) = {\ frac {f (x) + f (-x)} {2}}}

ja pariton toiminto on

{\ displaystyle f _ {\ text {i}} (x) = {\ frac {f (x) -f (-x)} {2}}}

Itse asiassa vektori aliavaruus jopa toimintoja ja että parittomien toiminnot ovat lisäksi avaruudessa toimintoja in . $E$ $\ mathbb {R}$

Siksi voimme puhua parillisesta ja parittomasta osasta. Esimerkiksi eksponentiaalinen funktio on summana toimintoja hyperbolisen kosinin , ja hyperbolisen sinin , . $f$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x} + \ mathrm {e} ^ {- x}} {2}}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x} - \ mathrm {e} ^ {- x}} {2}}}$

Graafinen esitys

Antaa olla funktio, joka on määritelty ja sen kaavio akselikoordinaattijärjestelmässä . $f$ $E$ $(C_ {f})$ $(Härkä), (Oy)$

$f$ on tasainen funktio vain ja vain, jos se on symmetrinen akselin suhteen , yhdensuuntainen akselin kanssa . $(C_ {f})$ $(Oy)$ $(Härkä)$
$f$ on pariton funktio vain ja vain, jos se on symmetrinen alkuperän suhteen . $(C_ {f})$ $O$

Toiminto on tasainen. ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {4}}$
Toiminto on pariton. ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {3} -3x}$

Mutta funktio, jonka edustavalla käyrällä on akseli tai symmetriakeskus, ei välttämättä ole parillinen tai pariton: on välttämätöntä, että keskusta on tai akseli on . $O$ $(Oy)$

Joitakin ominaisuuksia

Jokainen jatkuva toiminto on tasainen.
Kaikki tasaiset ja monotoniset toiminnot määritelmäkokonaisuudessaan ovat vakioita.
Ainoa toiminto, joka on sekä parillisen ja parittoman on nolla toiminto (vakio funktio yhtä kuin nolla).
Yleensä summa on vielä tehtävä ja pariton funktio ei ole vielä eikä outoa; esim .: 1 + x .
Kahden parillisen funktion summa tai ero on tasainen.
Kahden parittoman funktion summa tai ero on pariton.
Pariteetti seuraa, että tuotteen tai osamäärä , sääntö merkkejä : minkä tahansa tuotteen tai osamäärä kahden jopa toimintojen on parillinen funktio, minkä tahansa tuotteen tai osamäärä kahden parittoman toimintoja on myös jopa toimia minkä tahansa tuotteen tai osamäärä on jopa toimia pariton funktio on pariton funktio.
Johdannainen on vielä funktio on pariton funktio; parittoman funktion derivaatti on parillinen funktio.
Primitiivinen pariton funktio E ei välttämättä ole edes, ellei E on väli.
Parillisen funktion primitiivi E: llä ei välttämättä ole pariton, paitsi jos E on väli ja jos lisäksi katsotaan, että primitiivi katoaa 0: lla.
Kahden parittoman funktion yhdistelmä on pariton; parillisen funktion g yhdistelmä g ∘ f , jolla on pariton funktio f, on parillinen funktio.
Minkä tahansa funktion g yhdistelmä g ∘ f , jolla on tasainen funktio f, on tasainen funktio.

Katso myös

Huomautuksia ja viitteitä

Mikä on luultavasti yksi syy sanavaraston valintaan.
Proof analysoimalla-synteesi on klassinen ja on vain erikoistapaus diagonaaliargumentti symmetria : katso esim X. Oudot ja Mr. ALLANO Chevalier Matematiikka HPIC - PTSI 1 kpl vuosi: Kaikki yhdessä , Hatchet ,2008( lue verkossa ) , luku . 11 (“Vektorivälit”), s. 203ja tämä harjoitus korjattiin Wikikirjaan .