Monotoninen toiminto

Vuonna matematiikka , joka on monotoninen toiminta on funktio välillä järjestetyt joukot , joka säilyttää tai peruuttaa tilauksen. Ensimmäisessä tapauksessa puhumme kasvavasta funktiosta ja toisessa laskevasta funktiosta . Tämä käsite ilmenee todellisen analyysin ja numeeristen toimintoja ja sitten yleistää abstraktimmalla puitteissa järjestyksen teorian .

Yksitoikkoisuus todellisessa analyysissä

Intuitiivisesti (katso vastakkaiset kuviot) graafinen esitys monotonisesta toiminnosta aikavälillä on käyrä, joka jatkuvasti "nousee" tai "laskee" jatkuvasti. Jos tämä graafinen näkökohta puhuu välittömästi, se ei kuitenkaan ole ainoa muoto, jossa yksitoikkoisuuden ominaisuus paljastetaan: monotoninen toiminto on funktio, jolla on aina sama vaikutus järjestyksen suhteeseen . Kasvavan funktion osalta kahden muuttujan välinen järjestys löytyy niiden kuvien järjestyksestä, pienenevässä funktiossa kuvien järjestys on päinvastainen kuin edeltäjien järjestyksessä .

Toiminnolle, joka voidaan erottaa tietyllä aikavälillä , yksitoikkoisuuden tutkimus liittyy johdannaisen merkin tutkimiseen, joka on vakio: aina positiivinen tai aina negatiivinen.

Määritelmä

Olkoon I : n välein ℝ ja f funktio todellisia arvojen domeeni määritelmä sisältää välin I .

Yksitoikkoisuus laajassa merkityksessä. Sanomme, että f on:

kasvaa (tai: kasvaa laajassa merkityksessä) minulla, josmille tahansa I : n alkioiden parille ( x , y ) siten, että x ≤ y , meillä on f ( x ) ≤ f ( y );
laskee (tai: vähenee laajassa merkityksessä) I: llä, josmille tahansa I : n alkioiden parille ( x , y ) siten, että x ≤ y , meillä on f ( x ) ≥ f ( y );
yksitoikkoinen (tai: yksitoikkoinen yleensä) minulla, jos se kasvaa minulla tai pienenee minulla .

Esimerkki : mitään todellista x , anna Merkitään tässä E ( x ) kokonaisluku osa on x (se on ainutlaatuinen suhteellinen kokonaisluku k siten, että k ≤ x <k + 1). Funktio E: ℝ → ℝ kasvaa arvolla ℝ, mutta ei tarkalleen kasva (vrt. Infra ), koska se on vakio jokaisella aikavälillä [ i , i + 1 [kokonaisluvun loppu).

Tiukka yksitoikkoisuus. Sanomme, että f on:

tiukasti yli I, josmille tahansa I- elementtiparille ( x , y ) siten, että x <y , meillä on f ( x ) < f ( y );
tiukasti laskeva yli I josmille tahansa I- elementtiparille ( x , y ) siten, että x <y , meillä on f ( x )> f ( y );
ehdottoman monotonista on I , jos se on aidosti kasvava päälle I tai aidosti vähenevä I

Esimerkkejä : olkoon n ehdottomasti positiivinen kokonaisluku.

Funktio x ↦ x n , from + : sta ℝ: ksi, kasvaa tiukasti yli ℝ + .
Jos a , b , a ' ja b' ovat todellisia lukuja, niin että 0 ≤ a <b ja 0 ≤ a '<b' , niin aa '<bb'. Päätellään induktiolla kokonaisluku n , että mikä tahansa pari ( x , y ) on positiivinen tai nolla reals siten, että x <y , meillä on x n <y n .
Kun n on pariton, funktio x ↦ x n , välillä ℝ - ℝ, kasvaa tiukasti yli ℝ.
Itse asiassa se kasvaa ehdottomasti arvolla ( + ( vrt . Edellinen esimerkki) ja parittomalla.

Huomautus 1 : Jos funktio f kasvaa (tai kasvaa tiukasti) I: n kohdalla, on välttämätöntä ja riittävää, että - f tai pienenee (tiukasti laskeva tai vastaavasti) I: llä .

Huomautus 2 : niin, että monotoninen funktio f päässä I on ℝ ei ole tiukasti niin, että on välttämätöntä (ja tietenkin se on riittävä), että minä sisältävät ei-triviaali aikaväli (eli ei-tyhjä eikä vähentää pisteeseen), johon f on vakio.

Perusominaisuudet

Algebralliset toiminnot

Ottaen huomioon kaksi kasvavaa toimintoa I: llä . Joten:

niiden summa kasvaa;
jos heillä on positiivisia arvoja, heidän tuotteensa kasvaa.

Meillä on vastaava ominaisuus tiukasti lisätä toimintoja.

Sävellys

Olkoon f kaksi funktiota : I → ℝ ja g : J → ℝ, missä I ja J ovat kaksi todellista aikaväliä siten, että f ( I ) ⊂ J ; voimme määritellä komposiittitoiminnon g ∘ f : I → ℝ.

Jos f on monotoninen I: ssä ja g monotoninen J: ssä , niin g ∘ f on monotoninen I: ssä . Tarkemmin :

jos f ja g molemmat kasvavat tai molemmat vähenevät, niin g ∘ f kasvaa;
jos toinen toiminnoista f , g kasvaa ja toinen pienenee, niin g ∘ f pienenee.

Meillä on vastaava ominaisuus tiukasti monotonisiin toimintoihin.

Injektiivisyys

Puhtaasti monotoninen funktio tietyllä aikavälillä I on injektiivinen , toisin sanoen, että kaksi eri elementit I on eri kuvia. Todellakin, jos x , y ovat kaksi erillistä elementtiä I: stä (olettaen esimerkiksi, että f kasvaa tiukasti) jos x < y sitten f ( x ) < f ( y ),
jos x > y, sitten f ( x )> f ( y ), sen vuoksi molemmissa tapauksissa f ( x ) ja f ( y ) ovat erillisiä. Tämä ominaisuus, joka liittyy väliarvojen lauseeseen , on hyödyllinen nollan määrän löytämisessä funktiossa .

Jatkuvuuteen ja rajoihin liittyvät ominaisuudet

Monotoninen rajalauseke funktiolle

Olkoon] a , b [avoin aukko (rajoitettu tai ei) ja kasvava funktio f :] a , b [→ ℝ. Joten:

f myöntää missä tahansa x: n kohdassa a , b [raja vasemmalla ja raja oikealla, äärellinen, joita me merkitsemme vastaavasti f ( x - ) ja f ( x + ); ne tyydyttävät kaksinkertaisen eriarvoisuuden f ( x - ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x + );
f hyväksyy vasemman rajan b: ssä , äärellinen tai yhtä suuri kuin $+ \infty$ ; tämä raja on rajallinen vain ja vain, jos f: ää korotetaan.
f: llä on oikea raja a: lla , äärellinen tai yhtä suuri kuin $-\infty$ ; tämä raja on rajallinen vain ja vain, jos f lasketaan.

Analoginen lause laskeville funktioille seuraa välittömästi korvaamalla f luvulla - f .

Seuraus tämän lauseen on jatkuvuus tahansa monotonista surjektio on kulunut jollekin välille .

Toinen tyypillinen sovellus koskee jakaumafunktioita on satunnaismuuttujien .

Jatkuvuuskohdat

Frodan lause (1929): monotonisen funktion epäjatkuvuuspisteiden joukko D on rajallinen tai laskettavissa (sanomme sen olevan korkeintaan laskettavissa ). Todellakin, merkitsemällä ε x = f ( x + ) - f ( x - ), tiukasti positiivisten reaalien perhe (ε x ) x ∈ D ∩ [ c , d ] on siten summoitettavissa korkeintaan kaikille [ c , d ] sisältyvät yksitoikkoisuusväliin. Froda on itse asiassa osoittanut, että minkä tahansa todellisen toiminnon kohdalla ensimmäisen luokan epäjatkuvuuskohdat ovat korkeintaan laskettavissa. Monotonisen toiminnon osalta monotoninen rajalauseke kuitenkin sanoo tarkalleen, että tämän tyyppinen epäjatkuvuus on ainoa mahdollinen.

Johdannon yksitoikkoisuus ja merkki

Klassinen ja tärkeä differentiaalilaskennan käyttö on johdettavien funktioiden (reaalimuuttujan ja todellisten arvojen) kuvaaminen monotonisilla (laajassa merkityksessä tai tiukassa merkityksessä) tietyllä aikavälillä.

Lause - Olkoon minä todellinen väli ja f : I → ℝ erilainen kartta.

f on:
- kasvaa vain ja vain, jos kaikille x ∈ I , f ' ( x ) ≥ 0;
- pienenee vain ja vain, jos kaikille x ∈ I , f ' ( x ) ≤ 0;
- vakio vain ja vain, jos kaikille x ∈ I , f ' ( x ) = 0.
f kasvaa ehdottomasti vain ja vain, jos kaikille x ∈ I , f ' ( x ) ≥ 0 ja lisäksi joukko pisteitä, joissa johdannainen f' katoaa, on sisäisesti tyhjä (ts. että se ei sisällä mitään ei-triviaalia aikaväliä). Vastaava lause kuvaa johdettavissa olevien funktioiden joukossa niitä, jotka ovat tiukasti laskevia.

Esittely

Kohta 1 on klassinen (käytämme siirtymistä eriarvoisuuksien rajaan ja rajallisten lisäysten lauseeseen ).

Piste 2 voidaan päätellä tästä käyttämällä yllä olevaa huomautusta 2 . Yksityiskohta: suorassa merkityksessä: jos f ' katoaa ei-triviaalivälillä, f on vakio tällä aikavälillä, joten se ei ole tiukasti yksitoikkoinen. Oletetaan päinvastoin, että f on yksitoikkoinen, mutta ei tiukasti. Huomautuksesta 2 on olemassa ei-triviaaliväli, jonka aikana f on vakio; tällaisella aikavälillä f ' on nolla.

Huomautukset

Tästä seuraa, että riittävä ehto erilaistuvan funktion f : I → ℝ kasvamiselle tiukasti yli I: n on se, että kaikille x ∈ I , f ' ( x )> 0. Mutta tämä ehto ei suinkaan ole välttämätön, koska tämä näkyy lauseen lauseella ja kahdella seuraavalla esimerkillä.
Tämä lause yleistyy toiminnoille, jotka ovat jatkuvia tietyllä aikavälillä, mutta johdettavissa vain laskettavan osajoukon komplementin yli : vrt. Lopullisten lisäysten epätasa-arvo .

Esimerkki 1 Funktio f : x ↦ x 3 , alkaen ℝ: stä ℝ: ssä, kasvaa ehdottomasti on: llä ( vrt. Esimerkkejä § Tiukka yksitoikkoisuus ). Yllä oleva kriteeri mahdollistaa sen osoittamisen uudestaan:

se on erotettavissa ja minkä tahansa todellisen x : n kohdalla f ' ( x ) = 3 x 2 ≥ 0;
lisäksi pistejoukko, josta sen johdannainen katoaa, on {0}; se on tyhjä sisustus.

Esimerkki 2 Funktio f : x ↦ x + cos x , välillä ℝ - ℝ, kasvaa tiukasti yli ℝ. Todellakin :

se on erotettavissa, ja minkä tahansa todellisen x : n kohdalla f ' ( x ) = 1 - sin x ≥ 0;
lisäksi on joukko pisteitä, joissa sen johdannainen katoaa , joka on tyhjä sisustus (se on jopa laskettavissa). ${\ displaystyle (\ pi / 2) +2 \ pi \ mathbb {Z} = \ vasen \ {x \ sisään \ mathbb {R} \ mid \ on olemassa k \ in \ mathbb {Z} \ x = (\ pi / 2) + 2k \ pi \ oikea \}}$

Esimerkki 3 Funktio f : x ↦ arccos x + arcsin x , alkaen [–1, 1] in ℝ, on vakio. Itse asiassa arkoosien ja arcsiinin johdannaiset, jotka on määritelty kohdassa] –1, 1 [, ovat vastakkain toisiaan kohtaan, siis kohdassa] –1, 1 [, f 'on nolla ja f on vakio. Siten kaikkien x: n kohdissa ] - 1, 1 [ (ja jopa [- 1, 1]: ssä jatkuvuuden mukaan), f ( x ) = f (0) = π / 2.

Integraatioteoriaan liittyvät ominaisuudet

Kasvava funktio on erilainen melkein kaikkialla (osoitamme ensin - Hardy-Littlewoodin maksimaalisen eriarvoisuuden ansiosta - että sen neljä Dini-johdannaista ovat äärellisiä melkein kaikkialla, sitten - Vitalin palautumislauseen ansiosta - että ne ovat toinen menetelmä tässä toisessa vaiheessa on todista se siinä tapauksessa, että toiminto on jatkuva - nousevan auringon lemman ansiosta - ja huomaa sitten, että mikä tahansa kasvava funktio on jatkuvan kasvavan funktion ja "funktiohypyn" summa ja että jälkimmäinen on melkein kaikkialla nolla johdannainen ).

Johdamme kaksi seurausta:

Mikä tahansa funktio, jolla on rajoitettu reaalivälin vaihtelu ℝ: ssä, on erotettavissa melkein kaikkialla (kahden kasvavan funktion erona).
Fubinin erilaistamislause : sarja kasvavia funktioita on melkein kaikkialla johdettavissa termeittäin.

Hakemuksen kahden topologinen avaruus sanotaan olevan monotoninen , jos kukin sen kuiduista on kytketty, toisin sanoen, että kaikki on asetettu (joka voi olla tyhjä ) on kytketty. $f: X \ oikeanpuoleinen Y$ $y$ $Y$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$

Yksitoikkoisuus toiminnallisessa analyysissä

On toiminnallinen analyysi , operaattori on topologinen vektoriavaruudessa (joka voi olla epälineaarinen) kutsutaan monotoninen operaattori , jos ${\ displaystyle T: X \ oikeanpuoleinen nuoli X ^ {*}}$ $X$

{\ displaystyle (Tu-Tv, uv) \ geq 0 \ quad \ forall u, v \ X: ssä.}

Kachurovskii lause (fi) osoittaa, että johdannaiset kupera toimintoja on Banach tilat ovat monotoninen operaattoreita.

Yksitoikkoisuus järjestysteoriassa

Tilausteoria käsittelee osittain järjestettyjä joukkoja ja yleisiä ennakkotilattuja sarjoja reaalien intervallien lisäksi. Edellä mainittu yksitoikkoisuuden määritelmä on merkityksellinen myös näissä tapauksissa. Tarkastellaan esimerkiksi kartoitus f peräisin järjestetyn joukon ( , ≤ ) ja järjestetyn joukon ( B , ≤ B ).

f kutsutaan kasvaa kartta (vast. aidosti kasvava kartta ), jos se säilyttää järjestyksessä (vast. tiukasti järjestyksessä), eli jos kaksi elementtiä x ja y on tyydyttää x ≤ y (vast. x < y ), sitten vastaavien kuvien f avulla varmistetaan, että f ( x ) ≤ B f ( y ) (tai vastaavasti f ( x ) < B f ( y )).
f kutsutaan laskeva kartta (vast. aidosti vähenevä kartta ), jos se muuttaa järjestystä (vast. tiukasti järjestyksessä), eli jos kaksi elementtiä x ja y on tyydyttää x ≤ y (vast. x < y ), niin niiden vastaavat kuvat f: llä tyydyttävät f ( x ) ≥ B f ( y ) (tai vastaavasti f ( x )> B f ( y )).

Monotoniset sovellukset ovat keskeisiä tilausteoriassa. Joitakin merkittäviä monotonisia sovelluksia ovat tilausten upotukset (sovellukset, joille x ≤ y vain ja vain, jos f ( x ) ≤ f ( y )) ja järjestysisomorfismit ( järjestys upotukset, jotka ovat surjektiivisiä).

Huomautuksia ja viitteitä

N. Bourbaki , Matematiikan elementit : Joukkoteoria [ yksityiskohtia painoksista ], s. III.7 .
Katso esittely esimerkiksi tästä korjatusta Wikikorkeakoulu- harjoituksesta .
C. Deschamps, F. Moulin, A. Warusfel et ai. , Matematiikan all-in-one MPSI , Dunod ,2015, 4 th ed. ( lue verkossa ) , s. 507.
Katso Wikikirjasta ”Johdannainen ja vaihtelutaju” .
(in) Russell A. Gordon , integraalien Lebesgue, Denjoy, Perron, ja Henstock , AMS ,1994, 395 Sivumäärä ( ISBN 978-0-8218-3805-1 , luettu verkossa ) , s. 55-56
(in) Andrew M. Bruckner (in) , Judith B. Bruckner ja Brian S. Thomson , Real Analyysi ,1997, 713 Sivumäärä ( ISBN 978-0-13-458886-5 , lue verkossa ) , s. 269
(in) Terence Tao , Johdatus Mittateoria , AMS,2011( lue verkossa ) , s. 129 - 135
(in) Norman B. Haaser ja Joseph A. Sullivan , todellisen analyysin , Dover,1971, 2 nd ed. , 341 Sivumäärä ( ISBN 978-0-486-66509-2 , lue verkossa ) , s. 235-236

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Monotoninen operaattori : monotonisuuden käsitteen laajentaminen monitoimilaitteeseen
Bernsteinin lause täysin monotonisista toiminnoista