Yksitoikkoinen operaattori

On matematiikka , joka on monotoninen operaattori on monitoiminen väliin prehilbertian tilojen , tai yleisemmin, joka Banach tilaa sen topologinen kaksi , joka on ominaisuus yksitoikkoisuus että me määritämme määritelmissä alla. Kun tämä operaattori on reaalimuuttujan "yksinkertainen" todellinen funktio , tämä yksitoikkoisuusominaisuus tarkoittaa tämän funktion kasvun (ei välttämättä tiukkaa) olettamista. Kun tämä operaattori on lineaarinen kartta (ei välttämättä itse liittynyt), tämä yksitoikkoisuusominaisuus tarkoittaa oletusta kartan puolimääritetystä positiivisuudesta .

Yksitoikkoisten operaattoreiden joukosta on tarpeen erottaa ne, jotka voidaan luokitella maksimaalisiksi yksitoikkoisiksi . Niillä on maksimaalinen ominaisuus, joka ilmaistaan ​​graafin sisällyttämisenä ja joka antaa heille merkittäviä ominaisuuksia. Siten monotoninen operaattori , toiminnallinen sisällyttäminenT{\ displaystyle T}

x+T(x)∋0,{\ displaystyle x + T (x) \ ni 0,}

jossa on joukko, sillä on korkeintaan yksi ratkaisu , kun taas jos se on maksimaalisesti yksitoikkoinen, tällä osuudella on yksi ja ainoa ratkaisu. T(x){\ displaystyle T (x)}x{\ displaystyle x}T{\ displaystyle T}

Esimerkkejä.

• Anna olla Banach tilaa, joukko sen osien ja oikea kupera funktio . Vaikka täytäntöönpanon osa-ero , on monotoninen operaattori (sanotaan, että "drift mahdollinen  "); se on maksimaalisesti yksitoikkoinen, jos se on suljettu .E{\ displaystyle E}P(E){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (E)}f:E→R¯{\ displaystyle f: E \ - {\ overline {\ mathbb {R}}}} f{\ displaystyle f}∂f:E→P(E){\ displaystyle \ osa f: E \ - {\ mathcal {P}} (E)}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}
• Jos on Hilbert-tila, kuperalle normaali monitoimikartio  : on monotoninen operaattori. Tämä on erikoistapaus edellisen, koska normaali kartio on osa--ero indikaattorin funktio on (funktio, joka on kupera, kun on kupera). Se on maksimaalisesti yksitoikkoinen, jos se on suljettu .E{\ displaystyle E} VS{\ displaystyle C}x∈E↦EIVS(x){\ displaystyle x \ in E \ mapsto N_ {C} (x)}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}
• Projektori suljetun ei-tyhjä kupera Hilbert-avaruus on monotoninen.

Monitoimilaite

Antaa ja olla kaksi sarjaa. Moniarvoiseksi , tai monitoiminen, on sovellus kaikissa osissa . Hänen kaavio, toimialallaan sen kuvan ja sen vastavuoroisia arvioija vastaavasti , , ja . E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}T:E⊸F{\ displaystyle T: E \ multimap F}E{\ displaystyle E}P(F){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (F)}F{\ displaystyle F}G(T){\ displaystyle {\ mathcal {G}} (T)}D.(T){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (T)}R(T){\ displaystyle {\ mathcal {R}} (T)}T-1{\ displaystyle T ^ {- 1}}

Jos on vektori tila, joukko sen osien luonnollisesti perii ulkoinen lain ja lisäyksenä ( Minkowskin: n summa ), joka puolestaan perii joukon multifunctions ja vuonna . F{\ displaystyle F}E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}

Yksitoikkoinen operaattori

Antaa olla prehilbertin tila, jonka skalaarinen tulo on huomioitu, ja siihen liittyvä normi . H{\ displaystyle H}⟨⋅,⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}‖⋅‖{\ displaystyle \ | \ cdot \ |}

Monotoniset operaattorit  -  Monitoimilaitteen sanotaan olevan: T:H⊸H{\ displaystyle T: H \ multimap H}

• yksitoikkoinen, jos ∀(x,y)∈G(T)∀(x′,y′)∈G(T)⟨y-y′,x-x′⟩⩾0{\ displaystyle \ forall \, (x, y) \ in {\ mathcal {G}} (T) \ quad \ forall \, (x ', y') \ in {\ mathcal {G}} (T) \ qquad \ langle yy ', xx' \ rangle \ geqslant 0} ;
• ehdottomasti yksitoikkoinen, jos yllä oleva epätasa-arvo on tiukka milloin  ;x≠x′{\ displaystyle x \ neq x '}
• voimakkaasti yksitoikkoinen moduuli, josa>0{\ displaystyle \ alpha> 0} ∀(x,y)∈G(T)∀(x′,y′)∈G(T)⟨y-y′,x-x′⟩⩾a‖x-x′‖2{\ displaystyle \ forall \, (x, y) \ in {\ mathcal {G}} (T) \ quad \ forall \, (x ', y') \ in {\ mathcal {G}} (T) \ qquad \ langle yy ', xx' \ rangle \ geqslant \ alpha \ | xx '\ | ^ {2}}.

Välittömät ominaisuudet  -  Antaa olla yksitoikkoinen operaattori. T:H⊸H{\ displaystyle T: H \ multimap H}

1. If on positiivinen todellinen ja , on yksitoikkoinen.a{\ displaystyle \ alfa}klo∈H{\ displaystyle a \ sisään H}x∈H→aT(x)+klo⊂H{\ displaystyle x \ in H \ to \ alpha \, T (x) + a \ osajoukko H}
2. T-1{\ displaystyle T ^ {- 1}} on yksitoikkoinen.
3. Jos se on yksitoikkoinen, niin se on yksitoikkoinen.T′:H⊸H{\ displaystyle T ': H \ monikartta H}T+T′{\ displaystyle T + T '}

Voimme ilmaista monotonisuusominaisuuden käyttämällä vain normia, joka liittyy . Operaattoreiden, jotka tarkistavat tämän ominaisuuden vakioidulla tilassa, sanotaan olevan kasvava . H{\ displaystyle H}

Yksitoikkoisuus ja täsmällisyys  -  Monitoiminnossa seuraavat ominaisuudet vastaavat: T:H⊸H{\ displaystyle T: H \ multimap H}

1. T{\ displaystyle T} on yksitoikkoinen,
2. T{\ displaystyle T}on accretive, toisin sanoen: kaikesta , kaikesta ja kaikesta meillä onλ>0{\ displaystyle \ lambda> 0}(x,y)∈G(T){\ displaystyle (x, y) \ muodossa {\ mathcal {G}} (T)}(x′,y′)∈G(T){\ displaystyle (x ', y') \ muodossa {\ mathcal {G}} (T)}

‖x-x′‖≤‖(x-x′)+λ(y-y′)‖.{\ displaystyle \ | x-x '\ | \ leq \ | (x-x') + \ lambda (y-y ') \ |.}}

Accretivity-ominaisuuden avulla näemme, että jos se on yksitoikkoista, sisällyttäminen T{\ displaystyle T}

0∈x+T(x){\ displaystyle 0 \ in x + T (x)}

on enintään yksi ratkaisu . Sillä maksimaalinen monotoninen operaattorit , tämä osallisuus on yksi ja vain yksi ratkaisu. x{\ displaystyle x}

Suurin yksitoikkoinen operaattori

Määritelmä

Suurin yksitoikkoinen operaattori  -  Sanomme, että operaattori on suurin yksitoikkoinen, jos se on yksitoikkoinen ja jos ei ole yksitoikkoista operaattoria, joka on ehdottomasti sisällytetty . Toinen tapa ilmaista monotonisen operaattorin maksimi on seuraava T:H⊸H{\ displaystyle T: H \ multimap H} T′{\ displaystyle T '}G(T){\ displaystyle {\ mathcal {G}} (T)}G(T′){\ displaystyle {\ mathcal {G}} (T ')}T{\ displaystyle T}

(∀(x,y)∈G(T)⟨y-y′,x-x′⟩⩾0)⟹(x′,y′)∈G(T).{\ displaystyle \ left (\ forall \, (x, y) \ in {\ mathcal {G}} (T) \ quad \ langle y-y ', x-x' \ rangle \ geqslant 0 \ right) \ Longrightarrow (x ', y ') \ muodossa {\ mathcal {G}} (T).}

Tämän implikaation tulos on siis se , joka voidaan joskus tulkita inkluusioratkaisun olemassaolon seurauksena ( annetaan ja on löydettävä ). Pidentää huomautus valmistettu edellä, jos yksitoikkoisuus ja merkitsee ainutlaatuisuus liuosta sisällyttämisen y′∈Tx′{\ displaystyle y '\ in Tx'}y′{\ displaystyle y '}x′{\ displaystyle x '}T{\ displaystyle T}x{\ displaystyle x}

0∈x+T(x),{\ displaystyle 0 \ x + T (x),}

maximality monotonisen operaattori mahdollistaa ilmenee, että ratkaisu tähän osallisuutta.

Välittömät ominaisuudet  -  Jos on suurin monotoninen operaattori, niin T:H⊸H{\ displaystyle T: H \ multimap H}

• Kaikille ehdottomasti positiivisille on suurin yksitoikkoinen,a{\ displaystyle \ alfa}aT{\ displaystyle \ alfa \, T}
• T-1:H⊸H{\ displaystyle T ^ {- 1}: H \ monikartta H} on suurin yksitoikkoinen,
• G(T){\ displaystyle {\ mathcal {G}} (T)}on suljettu ,H×H{\ displaystyle H \ kertaa H}
• Kaikkien , on suljettu kupera on ,x∈H{\ displaystyle x \ in H}T(x){\ displaystyle T (x)}H{\ displaystyle H}
• Kaikkien , on suljettu kupera on .y∈H{\ displaystyle y \ sisään H}T-1(y){\ displaystyle T ^ {- 1} (y)}H{\ displaystyle H}

Kahden monotonisen operaattorin enimmäismäärän katso tästä vaikeesta aiheesta omistettu osio .

Esimerkkejä

• Antaa Hilbertin avaruus ja asianmukainen suljetun kupera toiminto . Tällöin sub-differentiaalinen sovellus on maksimaalinen monotoninen. Ongelma löytää sellainen, joka vastaa minimointipisteen löytämistä .H{\ displaystyle H}f:H→R∪{+∞}{\ displaystyle f: H \ to \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}} ∂f:H⊸H{\ displaystyle \ osittainen f: H \ monikartta H}x∈H{\ displaystyle x \ in H}0∈∂f(x){\ displaystyle 0 \ osassa f (x)}f{\ displaystyle f}
• Antaa Hilbert tila, jonka skalaaritulo on merkitty , suljettu epätyhjä kupera on , on kartio normaali jotta en ja yksiselitteinen monotoninen (ei välttämättä maksimaalinen) puolijatkuvan operaattori , joka sisältää sen domeenin. Sitten on suurin yksitoikkoinen. Ongelma löytää sellainen, joka on samanlainen kuin löytää ratkaisu seuraavaan muunneltavan eriarvoisuuden ongelmaan :H{\ displaystyle H}⟨⋅,⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}K{\ displaystyle K}H{\ displaystyle H}EIK(x){\ displaystyle N_ {K} (x)}K{\ displaystyle K}x{\ displaystyle x}F:K→H{\ displaystyle F: K \ - H}K{\ displaystyle K}T:H⊸H:x↦T(x)=F(x)+EIK(x){\ displaystyle T: H \ multimap H: x \ mapsto T (x) = F (x) + N_ {K} (x)}x∈H{\ displaystyle x \ in H}0∈T(x){\ displaystyle 0 \ in T (x)}x∈H{\ displaystyle x \ in H}
  x∈Kja∀x′∈K⟨F(x),x′-x⟩⩾0.{\ displaystyle x \ in K \ qquad {\ mbox {ja}} \ qquad \ forall x '\ in K \ quad \ langle F (x), x'-x \ rangle \ geqslant 0.}
  
  

Ominaisuudet

Tässä on joitain erittäin hyödyllisiä kuvauksia käyttäjän maksimaalisesta yksitoikkoisuudesta. Merkitsemme identiteettioperaattoria. Minä{\ displaystyle I}

Karakterisointi  -  Antaa olla Hilbert-avaruus ja operaattori. Seuraavat ominaisuudet vastaavat: H{\ displaystyle H}T:H⊸H{\ displaystyle T: H \ multimap H}

1. T{\ displaystyle T} on suurin yksitoikkoinen,
2. T{\ displaystyle T}on yksitoikkoista ja ,R(Minä+T)=H{\ displaystyle {\ mathcal {R}} (I + T) = H}
3. kaikesta huolimatta, se ei ole laaja ja .λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0}(Minä+λT)-1{\ displaystyle (I + \ lambda T) ^ {- 1}}D.((Minä+λT)-1)=H{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ((I + \ lambda T) ^ {- 1}) = H}

Huomaa, että laaja-alainen operaattori on välttämättä yksiselitteinen . Omaisuus vastaa sanomista, että kaikesta , (se on yksittäinen) tai jopa siitä, että sisällytys D.((Minä+T)-1)=H{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ((I + T) ^ {- 1}) = H}z∈H{\ displaystyle z \ in H}(Minä+T)-1(z)≠∅{\ displaystyle (I + T) ^ {- 1} (z) \ neq \ lakkaus}

x+Tx∋z{\ displaystyle x + Tx \ ni z}

on yksi (ja vain yksi) ratkaisu . x{\ displaystyle x}

Resolventtiyhtälöt maksimaalisesta monotoninen operaattori on seuraavat ei-laaja (siis yksiselitteiset) kartta

RT: =(Minä+T)-1:H→H.{\ displaystyle R_ {T}: = (I + T) ^ {- 1}: H \ H.}

Resolventti on määritelty kokonaisuutena. Lisäksi, jos esitämme yksiselitteisen operaattorin , meillä on H{\ displaystyle H}ST: =Minä-RT{\ displaystyle S_ {T}: = I-R_ {T}}

∀(x,x′)∈H2‖RTx-RTx′‖2+‖STx-STx′‖2⩽‖x-x′‖2,{\ displaystyle \ forall (x, x ') \ in H ^ {2} \ quad \ | R_ {T} x-R_ {T} x' \ | ^ {2} + \ | S_ {T} x-S_ {T} x '\ | ^ {2} \ leqslant \ | xx' \ | ^ {2},}

seuraavaa vastaava omaisuus

∀(x,x′)∈H2⟨RTx-RTx′,x-x′⟩⩾‖RTx-RTx′‖2.{\ displaystyle \ forall (x, x ') \ in H ^ {2} \ quad \ langle R_ {T} x-R_ {T} x', x-x '\ rangle \ geqslant \ | R_ {T} x -R_ {T} x '\ | ^ {2}.}

Tämä ominaisuus ilmaisee resolventin vankan laajuuden . RT{\ displaystyle R_ {T}}

Kahden maksimimonotonisen operaattorin summa

Jos kahden monotonisen operaattorin summa on monotoninen operaattori, kahden maksimaalisen monotonisen operaattorin summa ei välttämättä ole suurin monotoninen operaattori , jo pelkästään siksi, että heidän toimialueensa leikkauspiste voi olla tyhjä (jolloin niiden summan toimialue on tyhjä) . Meillä on seuraava tulos, joka merkitsee osan sisäosaa , sen vahvaa tarttuvuutta ja sanotaan olevan paikallisesti rajattu, jos on olemassa naapurustoa , jonka kuva on rajoitettu. P∘{\ displaystyle P ^ {\ circ}}P⊂E{\ displaystyle P \ osajoukko E}P¯{\ displaystyle {\ overline {P}}} T{\ displaystyle T}x∈D.(T){\ displaystyle x \ muodossa {\ mathcal {D}} (T)}V{\ displaystyle V}x{\ displaystyle x} T(V){\ displaystyle T (V)}

Summa kahden suurimman monotonista toimijat  -  Antaa refleksiivinen Banach avaruus ja , kaksi enintään monotoninen toimijoille, jotka täyttävät yhden seuraavista kahdesta vastaavat ehdot: E{\ displaystyle E}T1{\ displaystyle T_ {1}}T2:E⊸E{\ displaystyle T_ {2}: E \ monikartta E}

1. D.(T1)∩D.(T2)∘≠∅{\ displaystyle {\ mathcal {D}} (T_ {1}) \ cap {\ mathcal {D}} (T_ {2}) ^ {\ circ} \ neq \ varnothing},
2. on olemassa kohta , joka on paikallisesti rajattu.D.(T1)¯∩D.(T2)¯{\ displaystyle {\ overline {{\ mathcal {D}} (T_ {1})}} \ cap {\ overline {{\ mathcal {D}} (T_ {2})}}}T2{\ displaystyle T_ {2}}

Sitten on suurin yksitoikkoinen. T1+T2{\ displaystyle T_ {1} + T_ {2}}

Monotoninen osallisuuden päätöslauselma

Antaa olla suurin yksitoikkoinen operaattori. Tässä osassa kuvataan joitain algoritmeja monotonisen osallisuuden ratkaisemiseksi .T:E⊸E{\ displaystyle T: E \ multimap E}

0∈T(x).{\ displaystyle 0 \ muodossa T (x).}

Kyse on löytää sellainen, että joukko on sisältää null elementti. Kuvaukset ovat lyhyitä ja viittaavat vastaaville algoritmeille omistettuihin artikkeleihin. x∈E{\ displaystyle x \ sisään E}T(x){\ displaystyle T (x)}E{\ displaystyle E}

Läheinen algoritmi

Katso

• artikkeli "  Proksimaalialgoritmi  " tapaukselle, jossa on maksimaalinen monotoninen jaT{\ displaystyle T}
• artikkeli "  Proksimaalialgoritmi (optimointi)  " erityistapausta varten, jossa on oikean suljetun kuperan funktion aliero.T{\ displaystyle T}

Douglas-Rachford-algoritmi

Tämä on algoritmi, joka sopii nollan löytämiseen kahden maksimimonotonisen operaattorin summasta ja . Siksi etsimme sellaista AT+B{\ displaystyle A + B}AT{\ displaystyle A}B:H⊸H{\ displaystyle B: H \ multimap H}x∈H{\ displaystyle x \ in H}

0∈(AT+B)(x).{\ displaystyle 0 \ sisään (A + B) (x).}

Algoritmi sopii hyvin tapaukseen, jossa proksimaalisen pistettä ja on tietyn pisteen voidaan laskea helposti. xs: =RAT(x){\ displaystyle x_ {p}: = R_ {A} (x)}xs′: =RB(x){\ displaystyle x_ {p} ': = R_ {B} (x)}x{\ displaystyle x}

Douglas-Rachford-algoritmi  -  Annamme itsellemme ensimmäisen iteraation ja skalaarin . Algoritmi määrittelee iterointisarjan , kunnes pysäytystesti on tyydyttävä. Se menee ja seuraavien vaiheiden kautta: x0∈H{\ displaystyle x_ {0} \ sisään H}r>0{\ displaystyle r> 0}x1,x2,...∈H{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots \ in H}xk{\ displaystyle x_ {k}}xk+1{\ displaystyle x_ {k + 1}}

1. yk: =RrAT(xk){\ displaystyle y_ {k}: = R_ {rA} (x_ {k})},
2. zk: =RrB(2yk-xk){\ displaystyle z_ {k}: = R_ {rB} (2 v_ {k} -x_ {k})},
3. xk+1: =xk+2ak(zk-yk){\ displaystyle x_ {k + 1}: = x_ {k} +2 \ alfa _ {k} (z_ {k} -y_ {k})}, missä .ak∈]0,1]{\ displaystyle \ alpha _ {k} \ sisään {] 0,1]}}

Osoitamme, että tämän algoritmin muodostama sekvenssi lähenee heikosti pistettä kohti , jos sillä on nolla ja vaimentimet ovat sellaisia, että (xk){\ displaystyle (x_ {k})}x{\ displaystyle x}AT+B{\ displaystyle A + B} ak∈]0,1]{\ displaystyle \ alpha _ {k} \ sisään {] 0,1]}}

∑kak(1-ak)=+∞;{\ displaystyle \ summa _ {k} \ alpha _ {k} (1- \ alpha _ {k}) = + \ infty;}

tässä tapauksessa on nolla . RrAT(x){\ displaystyle R_ {rA} (x)}AT+B{\ displaystyle A + B}

Antaa olla Banach-tila ja sen topologinen kaksoiskappale . Sillä ja asetamme: V{\ displaystyle V}V′{\ displaystyle V ^ {\ prime}}x∈V{\ displaystyle x \ sisään V}x′∈V′{\ displaystyle x ^ {\ prime} \ muodossa V ^ {\ prime}}

⟨x′,x⟩: =x′(x){\ displaystyle \ langle x ^ {\ prime}, x \ rangle: = x ^ {\ prime} (x)}.

Operaattorin (ei välttämättä lineaarinen) ja in sanotaan olevan monotoninen , jos: AT{\ displaystyle A}V{\ displaystyle V}V′{\ displaystyle V ^ {\ prime}}

∀(x,y)∈V2:⟨ATx-ATy,x-y⟩⩾0{\ displaystyle \ forall \, (x, y) \ in V ^ {2}: \ quad \ langle Ax-Ay, xy \ rangle \ geqslant 0}.

Liitteet

Huomautuksia ja viitteitä

1. Tämä tulos johtuu GJ Minty (1964), jos on topologinen vektori tilaa ja on kupera, äärellinen ja jatkuva. Se johtuu RT Rockafellarista (1966, 1970b), kun se on Banach-tila ja on kupera, puhdas ja puoliksi jatkuva alapuolella.E{\ displaystyle E}f{\ displaystyle f}E{\ displaystyle E}f{\ displaystyle f}
2. Ehdotus 2.1 julkaisussa Brézis (1973) .
3. enintään yksitoikkoisuus osa-ero asianmukaisen suljetun kupera toiminta johtuu Minty (1964) ja Moreau (1965).
4. Rockafellar (1970) on osoittanut operaattorin maksimaalisen monotonisuuden, jota käytetään vaihteluerojen ongelman määrittelemiseen.
5. Se, että resolventti on määritelty kaikkialla ja on yksiselitteinen, juontaa juurensa ainakin Mintyyn (1962).
6. Katso lause 1, Rockafellar (1970).
7. Algoritmi on esitetty Douglasin ja Rachfordin (1956) artikkelissa.
8. Brezis 1966 .

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Kupera-kovera toiminto
• Monotoninen toiminto
• Browder-Minty-lause

• Lause Kachurovskii  (en)

Bibliografia

• (en) HH Bauschke- ja PL-yhdistelmät, kupera analyysi ja yksitoikkoisen operaattorin teoria Hilbert Spacesissa , Springer, 2011
• (en) JM Borwein ja QJ Zhu, Variational Analysis -tekniikat , Canadian Mathematical Society, Springer Science + Business Media, Berliini, 2010
• Haïm R. Brezis , ”  Yksitoikkoiset operaattorit  ”, Choquet-seminaari - aloite analyysiin , t.  5, n o  2 (1965-1966),1966, artikkeli n o  10 ( lue verkossa )
• (en) J. Douglas ja HH Rachford, "Lämmönjohtamisongelmien numeerisesta ratkaisusta kahdessa ja kolmessa avaruusmuuttujassa", Translations of the American Mathematical Society , voi. 82, 1956, s. 421-439
• (en) GJ Minty, ”Yksitoikkoiset (epälineaariset) operaattorit Hilbert-avaruudessa”, Duke Math. J. , voi. 29, 1962, s. 341-346
• (en) GJ Minty, ”Kupera funktion gradientin monotonisuudesta”, Pac. J. Math. , lento. 14, 1964, s. 243-247
• JJ Moreau, "Läheisyys ja kaksinaisuus Hilbertin avaruudessa", tiedote. Soc. Matematiikka. Fr. , voi. 93, 1965, s. 273-299
• (en) RR Phelps, kuperat toiminnot, yksitaajuiset operaattorit ja erotettavuus, koko. "Matematiikan luentotiedot" (nro 1364), Springer-Verlag, Berliini, 1993
• (en) RT Rockafellar, "Kupera funktioiden subdiferentiaalien karakterisointi", Pac. J. Math. , lento. 17, 1966, s. 497-510
• (en) RT Rockafellar, "Ei-lineaaristen yksisuuntaisten operaattoreiden summien suuruudesta", Translations of the American Mathematical Society , voi. 149, 1970, s. 75-88
• (en) RT Rockafellar, "Subdifferenciokartoitusten maksimaalisesta monotonisuudesta", Pac. J. Math. , lento. 33, 1970b, s. 209-216.
• (en) RT Rockafellar ja RJ-B. Märkä, variaatioanalyysi , ko. "  Grundlehren der mathematischen Wissenschaften  " (nro 317), Springer-Verlag, Berliini, 1998

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">