Moniarvoinen toiminto

On matematiikka , joka on moniarvoista toiminto (tunnetaan myös vastaavuus , monipuolinen toiminta , monet-toiminto tai yksinkertaisesti MFP ) on binaarinen suhde mitään väärin kutsutaan toimintoa , koska ei toiminnallinen: jokainen elementti joukon hän liittää enintään yksi elementti, mutta mahdollisesti nolla, yksi tai useampia toisen sarjan elementtejä. Voimme kuitenkin nähdä monitoimilaite kuin klassinen ottavasta arvojaan osasarjalle toisen joukon. Sitä vastoin, jos jokaisen pisteen kuva on yksittäinen , sanomme, että kirjeenvaihto on ainutlaatuinen .

Yksinkertainen esimerkki moniarvoisesta toiminnosta on ei- injektoivan kartan vastavuoroinen funktio : sovitamme  kuvan missä tahansa kohdassa vastaavan kuvan, joka on muodostettu tämän pisteen edeltäjistä.

Moniarvoiset funktiot esiintyvät monimutkaisessa analyysissä, jossa voimme tarkastella niiden määrityksiä , toisin sanoen rajoituksia näille suhteille, jotka saavat ne toimimaan ja jotka mahdollistavat tiettyjen todellisten integraalien laskemisen jäljempänä esitetyn kaltaisen jäännöslauseen avulla; sen käyttö on kuitenkin vaikeaa ja se on korvattu Riemannin pintojen (ainutlaatuisten) toimintojen abstraktimmalla pohdinnalla .

Monitoimintoja esiintyy myös kuperassa ja ei-sujuvassa analyysissä  : joukot tangenttina ja normaalilla kartiot , funktion osa-ero , kupera prosessi ovat monitoimintoja. Tämä havainto ja muut ovat antaneet uuden sysäyksen monitoimisen analyysin kehittämiselle (ks. Lähdeluettelo ).

Esimerkkejä

Neliöjuuri

• On todellinen määrä , että kunkin positiivisen elementin x , suhde tekee kaksi elementtiä vastaavat ja kanssa . Rajoitamme itsemme tavalliseen tapaan positiiviseen arvoon, jotta tällöin olisi neliöjuuri .y2=x{\ displaystyle y ^ {2} = x}|y|{\ displaystyle | y |}-|y|{\ displaystyle - | y |}|y|2=x{\ displaystyle | y | ^ {2} = x}|y|{\ displaystyle | y |}

• Komplekseja, määrittelemällä elementti z kompleksitason jonka kanssa väite on z , neliöjuurien z ovat numeroita ( ) antaa:VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}z=|z|eiθ{\ displaystyle z = | z | \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta}}θ{\ displaystyle \ theta}wk{\ displaystyle w_ {k}}k∈Z{\ displaystyle k \ sisään \ mathbb {Z}}

wk=|z|eiθ/2eiπk{\ displaystyle w_ {k} = {\ sqrt {| z |}} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta / 2} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ pi k}} yksi todellakin varmistaa, että koska kaikille kokonaisluvuille k .wk2=|z|eiθe2iπk=z{\ displaystyle w_ {k} ^ {2} = | z | \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta} \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi k } = z}e2iπk=1{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi k} = 1}

Monimutkainen logaritmi

Määrittelemällä elementti z kompleksin tasossa kuin ennen, monimutkainen logaritmit z ovat numeroita ( ) antaa: wk{\ displaystyle w_ {k}}k∈Z{\ displaystyle k \ sisään \ mathbb {Z}}

wk=ln⁡|z|+iθ+2iπk{\ displaystyle w_ {k} = \ ln | z | + {\ rm {i}} \ theta +2 {\ rm {i}} \ pi k}

yksi todellakin todistaa, että koska kuten aiemmin, kaikille kokonaisluvuille k . exp⁡(wk)=|z|eiθe2iπk=z{\ displaystyle \ exp (w_ {k}) = | z | \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta} \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi k } = z}e2iπk=1{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi k} = 1}

Määritelmät

Monitoimilaite

Antaa ja olla kaksi sarjaa. Monitoimivärähtelytoimilaite on täytäntöönpano on koko ja osat on . X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}X{\ displaystyle X}P(Y){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (Y)}Y{\ displaystyle Y}

Sovellus, joka on monitoiminen , liittää binäärirelaatio "   ", on bijektio välillä multifunctions ja vuonna ja suhteita ja . Siksi kutsumme kuvaaja on kuvaaja liittyvän binäärirelaatio , eli joukko F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}y∈F(x){\ displaystyle y \ muodossa F (x)}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}F{\ displaystyle F}

G(F): ={(x,y)∈X×Y∣y∈F(x)}{\ displaystyle {\ mathcal {G}} (F): = \ {(x, y) \ in X \ kertaa Y \ mid y \ sisään F (x) \}}

(eikä funktion kuvaajaa , joka on osa ). F{\ displaystyle F}X×P(Y){\ displaystyle X \ kertaa {\ mathcal {P}} (Y)}

Toimialue, kuva, valinta

Samoin kuva osasta ja vastavuoroisesti kuva osasta monitoimisella määritellään kuvan ja vastavuoroisesti kuvan siihen liittyvä binäärirelaatio: P⊂X{\ displaystyle P \ osajoukko X} Q⊂Y{\ displaystyle Q \ osajoukko Y}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}

F(P): ={y∈Y∣∃x∈Py∈F(x)}=⋃x∈PF(x)F-1(Q): ={x∈X∣∃y∈Qy∈F(x)}={x∈X∣F(x)∩Q≠∅}.{\ displaystyle {\ begin {kohdistettu} F (P) &: = & \ {y \ Y-keskellä \ on olemassa x \ in P \ quad y \ in F (x) \} & = & \ bigcup _ {x \ in P} F (x) \\ F ^ {- 1} (Q) &: = & \ {x \ X: ssä \ mid \ on olemassa y \ Q: ssa \ quad y \ in F (x) \} & = & \ {x \ X: ssä \ keskellä F (x) \ korkki Q \ neq \ lakkaus \}. \ end {tasattu}}}

Kutsumme erityisesti toimialueen toimialuetta tai määritelmän joukkoa ja kuvaa - tai arvojoukkoa (tai kuvajoukkoa ) ja siihen liittyvän binaarisuhteen kuvaa : F{\ displaystyle F}

D.(F): =F-1(Y)={x∈X∣F(x)≠∅}R(F): =F(X)=⋃x∈XF(x).{\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ mathcal {D}} (F) &: = & F ^ {- 1} (Y) & = & \ {x \ X: ssä keskellä F (x) \ neq \ lakkaus \} \\ {\ mathcal {R}} (F) &: = & F (X) & = & \ bigcup _ {x \ X} F (x): ssä. \ end {tasattu}}}

Valinta ja on valinta funktio , joka on, sovellus , kuten . F{\ displaystyle F}f:D.(F)→Y{\ displaystyle f: {\ mathcal {D}} (F) \ - Y}∀x∈D.(F)f(x)∈F(x){\ displaystyle \ forall x \ muodossa {\ mathcal {D}} (F) \ quad f (x) \ in F (x)}

Vastavuoroinen monitoiminto

Vastavuoroinen monitoimilaite on on sen vastavuoroista binäärirelaatio , määritelty . F-1:Y⊸X{\ displaystyle F ^ {- 1}: Y \ multimap X}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}x∈F-1(y)⇔y∈F(x){\ displaystyle x \ in F ^ {- 1} (y) \ Vasen palkki y \ sisään F (x)}

Verkkotunnuksen ja kuva ovat siis vastaavasti kuvan ja verkkotunnuksen ja yleisemmin vastavuoroinen kuvan osasta on yhtä suuri kuin sen suora kuva , ja suoran kuvan osasta on yhtä suuri kuin sen vastavuoroista kuva mennessä . F-1{\ displaystyle F ^ {- 1}}F{\ displaystyle F}F-1{\ displaystyle F ^ {- 1}}X{\ displaystyle X}F{\ displaystyle F}F-1{\ displaystyle F ^ {- 1}}Y{\ displaystyle Y}F{\ displaystyle F}

Jotkut erityiset monitoimiset

• Anna ja topologinen avaruus metrizable ja monitoiminen. Sanomme, että se on: X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y} F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}F{\ displaystyle F}
  • suljettu siihen pisteeseen,x∈X{\ displaystyle x \ X: ssä} jos aina
  suppenee kohteeseen  ;y∈F(x){\ displaystyle y \ muodossa F (x)}(xk,yk)∈G(F){\ displaystyle (x_ {k}, y_ {k}) \ muodossa {\ mathcal {G}} (F)} (x,y){\ displaystyle (x, y)}
• suljettu , jos sen kuvaaja on suljettu yksi on tuotteen tilan (jonka suuruus on selvää, että on suljettu missään vaiheessa ).X×Y{\ displaystyle X \ kertaa Y}F{\ displaystyle F}X{\ displaystyle X}

Jos ja ovat todellisia vektoritiloja , sanomme, että monitoiminto on: X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}

• kupera, jos sen kaavio on kupera  ;
• kupera prosessi jos sen kuvaaja on

suippo kupera kartio .

Jos on prehilbertin tila , sanomme, että monitoiminto on monotoninen jos .(X,⟨⋅,⋅⟩){\ displaystyle (X, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}F:X⊸X{\ displaystyle F: X \ multimap X}∀(x,y)∈G(F)∀(x′,y′)∈G(F)⟨y-y′,x-x′⟩⩾0{\ displaystyle \ forall (x, y) \ in {\ mathcal {G}} (F) \ quad \ forall (x ', y') \ sisään {\ mathcal {G}} (F) \ quad \ langle y -y ', xx' \ rangle \ geqslant 0}

Monitoiminen analyysi

Monitoiminen analyysi koskee monitoimintojen tutkimista, niiden hemikontinuiteettisuutta , rajoitettua luonnetta , huultenvälisyyttä , monitahoisia monitoimintoja , nollien etsintää (pisteitä, jotka sisältävät nollan kuvassaan ), häiriöiden vaikutuksia  jne.

Jotkut ominaisuudet toiminnoista ulottuvat luonnollisesti monimuotoisten, kuten konveksisuus , avoimuus , yksitoikkoisuus , accretivity ,  jne

Erinomainen semi-jatkuvuus

Olkoon ja olla topologinen avaruus. Sanotaan, että monitoimilaite on puoliksi jatkuva edellä in si mistään naapurustossa on , laite on naapurustossa . X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}x∈X{\ displaystyle x \ X: ssä} V{\ displaystyle V}F(x){\ displaystyle F (x)}{x′∈X∣F(x′)⊂V}{\ displaystyle \ {x '\ in X \ keskellä F (x') \ osajoukko V \}}x{\ displaystyle x}

Yksinkertaisesti sanottuna tämä tarkoittaa, että milloin , voi rajalla yhtäkkiä suurentua, mutta ei kutistua. Tyypillisiä esimerkkejä erittäin puolipitkäkestoisista monitoiminnoista ovat differentiaalinen sous kupera funktio ja Clarke-ero huulen chiztienne-toiminnossa. x′→x{\ displaystyle x '\ - x}F(x′){\ displaystyle F (x ')}x{\ displaystyle x}

Avaa monitoimilaitteiden sovelluslause

Olkoon ja olla Banach spaces, joista merkitään vastaavasti ja avoimen yksikön palloja , ja monitoiminen. X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}BX{\ displaystyle B_ {X}}BY{\ displaystyle B_ {Y}}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}

Tulos on seuraavanlainen väittää, että jos on suljettu kupera monitoiminäppäintä ja jos on sisustus sen kuva , niin on sisätilasta kuva minkä tahansa avoimen pallon keskipiste on mielivaltaisen pisteen vastavuoroisesti kuva on mukaan Merkitään sisätilan yhdestä osastaF{\ displaystyle F}y{\ displaystyle y}F(X)=R(F){\ displaystyle F (X) = {\ mathcal {R}} (F)}y{\ displaystyle y}F{\ displaystyle F}F-1(y){\ displaystyle F ^ {- 1} (y)}y{\ displaystyle y}F.{\ displaystyle F.}intP{\ displaystyle \ operaattorin nimi {int} \, P}P.{\ displaystyle P.}

Avoin Mapping Lause varten Multifunctions  -  Oletetaan, että ja ovat Banach spaces , että on kupera ja suljetun monitoimilaitteita ja että sitten X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}y∈intR(F).{\ displaystyle y \ sisään \ operaattorin nimi {int} \, {\ mathcal {R}} (F).}

∀x∈F-1(y),∀r>0,y∈int⁡F(x+rBX).{\ displaystyle \ forall \, x \ F ^ {- 1} (y), \ quad \ forall \, r> 0, \ quad y \ sisään \ operaattorin nimi {int} F (x + rB_ {X}). }

Löydämme todellakin avoimen kartan lauseen siinä tapauksessa, että on jatkuva lineaarinen kartta (tästä johtuen sen nimi), joka toteaa, että se on yksikön pallon kuvan sisäinen . Todellakin, tässä tapauksessa on kupera monitoiminto (sen kaavio on vektorialatila) ja suljettu ( suljetun kuvaajan lauseen ilmeinen merkitys ), on todellakin sisätiloissa (koska on surjektiivinen); Yllä oleva lause väittää sitten, että se on kuvan sisällä millä tahansa pallolla, jonka säde ei ole nolla ja jonka keskipiste on (tai missä tahansa muussa pisteessä ). F{\ displaystyle F}0∈Y{\ displaystyle 0 \ sisään Y}BX{\ displaystyle B_ {X}}F{\ displaystyle F}0∈Y{\ displaystyle 0 \ sisään Y}F(X){\ displaystyle F (X)}F{\ displaystyle F}0∈Y{\ displaystyle 0 \ sisään Y}F{\ displaystyle F}0∈F-1(0){\ displaystyle 0 \ muodossa F ^ {- 1} (0)}F-1(0){\ displaystyle F ^ {- 1} (0)}

Avoin tai metrisesti säännöllinen monitoimilaite

Olkoon ja olkoot Banach-välilyöntejä, joista merkitsemme vastaavasti ja avoimia yksikköpalloja, ja monitoimilaitetta. X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}BX{\ displaystyle B_ {X}}BY{\ displaystyle B_ {Y}}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}

Me sanomme, että on avoin vuonna , ja nopeuden , jos on maksimaalinen säde ja naapuruston sekä vuonna siten, että kaikesta ja kaikkea , meillä on F{\ displaystyle F}(x0,y0)∈G(F){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ muodossa {\ mathcal {G}} (F)} τ>0{\ displaystyle \ tau> 0}renint>0{\ displaystyle r _ {\ max}> 0}W{\ displaystyle W}(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}X×Y{\ displaystyle X \ kertaa Y}(x,y)∈G(F)∩W{\ displaystyle (x, y) \ muodossa {\ mathcal {G}} (F) \ korkki W}r∈[0,renint]{\ displaystyle r \ in [0, r _ {\ max}]}

y+τrBY⊂F(x+rBX).{\ displaystyle y + \ tau \, r \, B_ {Y} \ osajoukko F (x + r \, B_ {X}).}

Saat kupera kartan , voimme tyytyä yhteen ehto vain. (x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}

Avoin kupera monitoimilaite  -  Jos on kupera monitoiminto ja jos , seuraavat ominaisuudet vastaavat: F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}(x0,y0)∈G(F){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ muodossa {\ mathcal {G}} (F)}

1. F{\ displaystyle F}on avoinna ,(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}
2. se on olemassa ja sellainen .η>0{\ displaystyle \ eta> 0}v>0{\ displaystyle \ nu> 0}y0+ηBY⊂F(x0+vBX){\ displaystyle y_ {0} + \ eta B_ {Y} \ osajoukko F (x_ {0} + \ nu B_ {X})}

Saat suljettua kupera kartan , avoin karttaa lauseen mahdollistaa edelleen yksinkertaistaa lausekkeen avaamisesta en . F{\ displaystyle F}(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}

Suljettu avoin kupera monitoiminto  -  Jos on suljettu kupera monitoiminto ja jos , niin seuraavat ominaisuudet vastaavat: F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}(x0,y0)∈G(F){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ muodossa {\ mathcal {G}} (F)}

1. F{\ displaystyle F}on avoinna ,(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}
2. y0∈intR(F){\ displaystyle y_ {0} \ sisään \ operaattorin nimi {int} \, {\ mathcal {R}} (F)}.

Tämä monitoiminnon avaamisen käsite on itse asiassa identtinen metrisen säännöllisyyden kanssa .

Me sanomme, että on mitoiltaan säännöllinen vuonna , ja nopeuden , jos on naapurustossa on vuonna siten, että kaikille , meillä on F{\ displaystyle F}(x0,y0)∈G(F){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ muodossa {\ mathcal {G}} (F)} μ>0{\ displaystyle \ mu> 0}W{\ displaystyle W}(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}X×Y{\ displaystyle X \ kertaa Y}(x,y)∈W{\ displaystyle (x, y) \ W}

d⁡(x,F-1(y))⩽μd⁡(y,F(x)).{\ displaystyle \ operaattorin nimi {d} {\ bigl (} x, F ^ {- 1} (y) {\ bigr)} \ leqslant \ mu \, \ operaattorin nimi {d} {\ bigl (} y, F (x ) {\ bigr)}.}

Muistamme, että etäisyys joukkoon on määritelty ja että tämä on arvoinen jos . P{\ displaystyle P}d⁡(x,P): =inf{‖x-x′‖:x′∈P}{\ displaystyle \ operaattorin nimi {d} (x, P): = \ inf \ {\ | x-x '\ |: x' \ in P \}}+∞{\ displaystyle + \ infty}P=∅{\ displaystyle P = \ lakkaus}

Avoin ja metrisesti säännöllinen monitoiminto  -  Jos on monitoimilaite ja jos , seuraavat ominaisuudet vastaavat: F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}(x0,y0)∈G(F){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ muodossa {\ mathcal {G}} (F)}

1. F{\ displaystyle F}on metrisesti säännöllinen nopeudella ,(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}μ{\ displaystyle \ mu}
2. F{\ displaystyle F}avataan kurssilla .(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}τ=1/μ{\ displaystyle \ tau = 1 / \ mu}

Määritykset

Ja monimutkainen neliöjuuri ja monimutkainen logaritmi , kutsumme määritys rajoitus väitteen vastaavan arvon. Tarkemmin sanottuna neliöjuurelle määritetään seuraavasti: θ{\ displaystyle \ theta}

z=|z|eiθ/2,(θ∈[θ0,θ0+2π[){\ displaystyle {\ sqrt {z}} = {\ sqrt {| z |}} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta / 2}, \ quad (\ theta \ in [\ theta _ {0}, \ theta _ {0} +2 \ pi [)}

millä tahansa määritystä kuvaavalla kulmalla. θ0{\ displaystyle \ theta _ {0}}

Samoin kompleksisen logaritmin määritys saadaan:

Hirsi⁡z=ln⁡|z|+iθ,(θ∈]θ0,θ0+2π]){\ displaystyle \ log {z} = \ ln {| z |} + {\ rm {i}} \ theta, \ quad (\ theta \ in] \ theta _ {0}, \ theta _ {0} +2 \ pi])}

Argumentin rajoittamista puoliavoin väliin ] –π, π] kutsutaan logaritmin päämääräksi .

Huomaa, että määrättyyn saakka kompleksinen neliöjuurifunktio ja kompleksilogaritmi ovat holomorfisia toimintoja koko kompleksitasolla lukuun ottamatta puolilinjaa, joka alkaa origosta ja kulmassa x-akseliin nähden. Päämäärityksen tapauksessa nämä kaksi toimintoa ovat holomorfisia . Negatiivisen reaaliakselin epäjatkuvuus on esitetty alla olevissa kahdessa kuvassa. θ0{\ displaystyle \ theta _ {0}}VS∖]-∞,0]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ taaksepäin viiva] - \ infty, 0]}

• Tärkein määritys

• Kuva 1: Kuva kompleksisen logaritmin päämäärityksestä.

• Kuva 2: Kuva kompleksisen neliöjuuren päämäärityksestä.

Soveltaminen todellisten integraalien laskemiseen

Tietyn määrityksen huomioon ottaminen mahdollistaa jäännöslauseen avulla tiettyjen todellisten integraalien laskemisen, joita muuten olisi vaikea laskea.

Huomaa  : Seuraavaa käytetään usein, kuten alla olevassa esimerkissä näkyy . za=ealog(z){\ displaystyle z ^ {\ alpha} = \ mathrm {e} ^ {\ alpha \ mathrm {log} (z)}}

Esimerkki monimutkaisesta logaritmista

Tehtävä  : Laske seuraava integraali:

Minä=∫0+∞xklo1+x2dx{\ displaystyle I = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {x ^ {a} \ yli 1 + x ^ {2}} \ mathrm {d} x}

varten . |klo|<1{\ displaystyle | a | <1}

Ratkaisu  : otetaan huomioon kuvassa 3 esitetty muoto ja seuraava logaritmin määritys: y{\ displaystyle \ gamma}

log(z)=ln⁡|z|+iθ,(θ∈[0,2π[){\ displaystyle \ mathrm {log} (z) = \ ln | z | + {\ rm {i}} \ theta, \ quad (\ theta \ in [0,2 \ pi [)}

(ääriviiva "ympäröi" sen vuoksi valitsemamme määrityksen epäjatkuvuutta), saamme: Minä=π2cos⁡(kloπ/2).{\ displaystyle I = {\ frac {\ pi} {2 \ cos (a \ pi / 2)}}.}

Kehitys

Funktion f määritellään on kaksi yksinkertaista napaa ( ) sekä indeksi + 1 suhteen (varten ja ). Äärirajoilla ja The residylause siis antaa meille: f(z)=zklo1+z2{\ displaystyle f (z) = {z ^ {a} \ yli 1 + z ^ {2}}}z1,2=±i{\ displaystyle z_ {1,2} = \ pm i}y{\ displaystyle \ gamma}ϵ<1{\ displaystyle \ epsilon <1}R>1{\ displaystyle R> 1}ϵ→0{\ displaystyle \ epsilon \ - 0}R→∞{\ displaystyle R \ to \ infty}

Minä∗=∫yf(z)dz=2iπ(Res(f,+i)+Res(f,-i)).{\ displaystyle I ^ {*} = \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z = 2 {\ rm {i}} \ pi \ vasen (\ mathrm {Res} (f, + { \ rm {i}}) + \ mathrm {Res} (f, - {\ rm {i}}) \ oikea).}

Hajottamalla kaareva integraali sen neljään pääosaan ja soveltamalla arviointilemaa osoittamaan, että integraali pitkin ja pitkin pyrkii kohti nollaa rajalla, se pysyy: yϵ{\ displaystyle \ gamma _ {\ epsilon}}yR{\ displaystyle \ gamma _ {R}}

Minä∗=limϵ→0,R→∞(∫y1f(z)dz+∫y2f(z)dz).{\ displaystyle I ^ {*} = \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to infty} \ left (\ int _ {\ gamma _ {1}} f (z) \ mathrm {d} z + \ int _ {\ gamma _ {2}} f (z) \ mathrm {d} z \ oikea).}

Yllä valittua määritystä käyttämällä meillä on

zklo=eklolog(z)=eklo(ln⁡|z|+iθ)=|z|kloeikloθ.{\ displaystyle z ^ {a} = \ mathrm {e} ^ {a \ mathrm {log} (z)} = \ mathrm {e} ^ {a (\ ln | z | + {\ rm {i}} \ theta)} = | z | ^ {a} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} a \ theta}.}

Lopulta , matkan varrella , argumentti pyrkii nollaan; polun varrella väite pyrkii , joten meillä on: ϵ→0{\ displaystyle \ epsilon \ - 0}y1{\ displaystyle \ gamma _ {1}}θ{\ displaystyle \ theta}y2{\ displaystyle \ gamma _ {2}}2π{\ displaystyle 2 \ pi}

limϵ→0,R→∞∫y1|z|kloekloiθ1+z2dz=Minä{\ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to infty} \ int _ {\ gamma _ {1}} {| z | ^ {a} \ mathrm {e} ^ {a {\ rm { i}} \ theta} \ yli 1 + z ^ {2}} \ mathrm {d} z = I}

ja

limϵ→0,R→∞∫y2|z|kloeikloθ1+z2dz=∫+∞0xkloe2ikloπ1+x2dx=-Minäe2ikloπ.{\ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to infty} \ int _ {\ gamma _ {2}} {| z | ^ {a} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i }} a \ theta} \ yli 1 + z ^ {2}} \ mathrm {d} z = \ int _ {+ \ infty} ^ {0} {x ^ {a} \ mathrm {e} ^ {2 { \ rm {i}} a \ pi} \ yli 1 + x ^ {2}} \ mathrm {d} x = -I \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} a \ pi}.}

Joten meillä on:

Minä∗=Minä(1-e2ikloπ).{\ displaystyle I ^ {*} = I (1- \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} a \ pi}).}

Jää meidän laskea kautta jäännösten funktion  : Minä∗{\ displaystyle I ^ {*}} ±i{\ displaystyle \ pm i}

Res(f,+i)=limz→+i(z-i)f(z)=iklo2i=ekloiπ/22i{\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, + {\ rm {i}}) = \ lim _ {z \ - + {\ rm {i}}} (z - {\ rm {i}}) f ( z) = {{\ rm {i}} ^ {a} \ yli 2i} = {\ mathrm {e} ^ {a {\ rm {i}} \ pi / 2} \ yli 2 {\ rm {i} }}}

ja

Res(f,-i)=-e3kloiπ/22i{\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, - {\ rm {i}}) = {- \ mathrm {e} ^ {3a {\ rm {i}} \ pi / 2} \ yli 2 {\ rm { i}}}}

missä olemme käyttäneet, että valitussa määrityksessä + i: n (resp. –i ) argumentti on (resp. ). Siksi saamme: π/2{\ displaystyle \ pi / 2}3π/2{\ displaystyle 3 \ pi / 2}

Minä∗=π(eikloπ/2-e3ikloπ/2){\ displaystyle I ^ {*} = \ pi \ vasen ({\ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} a \ pi / 2}} - \ mathrm {e} ^ {3 {\ rm {i }} a \ pi / 2} \ oikea)}

ja lopuksi  : 0<|klo|<1{\ displaystyle 0 <| a | <1}

Minä=πeikloπ/2-e3ikloπ/21-e2kloiπ=π2cos⁡(kloπ/2).{\ displaystyle I = \ pi {\ frac {{\ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} a \ pi / 2}} - \ mathrm {e} ^ {3 {\ rm {i}} a \ pi / 2}} {1- \ mathrm {e} ^ {2a {\ rm {i}} \ pi}}} = {\ frac {\ pi} {2 \ cos (a \ pi / 2)}} .} Tämä kaava pysyy totta , siirtymällä rajaan tai klassisella laskelmalla.klo=0{\ displaystyle a = 0}  

Esimerkki monimutkaisesta neliöjuuresta

Tehtävä  : Laske seuraava integraali jäännösmenetelmällä  :

Minä=∫1+∞dxxx2-1{\ displaystyle I = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}

(toiminto on standardoitu leikkaamalla pitkin todellista akselia, joka yhdistää -1: een ja 1: een .) -∞{\ displaystyle - \ infty}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Ratkaisu  : integraalilla on antiviraalinen aine (nimittäin ), ja siksi meillä on heti . Tämä sama tulos saadaan, kun kuvassa 4 esitetty muoto on päinvastainen ja käytetään: -klotkloei[(x2-1)-1/2]{\ displaystyle - \ mathrm {atan} \ vasen [\ vasen (x ^ {2} -1 \ oikea) ^ {- 1/2} \ oikea]}Minä=π2{\ displaystyle I = {\ pi \ yli 2}}y{\ displaystyle \ gamma}

z2-1=z-1z+1{\ displaystyle {\ sqrt {z ^ {2} -1}} = {\ sqrt {z-1}} {\ sqrt {z + 1}}}

Tuotteen ensimmäisen tekijän osalta harkitsemme seuraavaa määritystä:

z-1=|z-1|eiθ1/2,θ1∈[0,2π[{\ displaystyle {\ sqrt {z-1}} = {\ sqrt {| z-1 |}} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta _ {1} / 2}, \ quad \ theta _ {1} \ sisään [0,2 \ pi [},

toisen osalta tarkastelemme päämääritystä:

z+1=|z+1|eiθ2/2,θ2∈[-π,π[{\ displaystyle {\ sqrt {z + 1}} = {\ sqrt {| z + 1 |}} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta _ {2} / 2}, \ quad \ theta _ {2} \ sisään [- \ pi, \ pi [}.

näissä määrityksissä toiminto on holomorfinen päällä . VS∖(]-∞,-1]∪[+1,∞[){\ displaystyle \ mathbb {C} \ taaksepäin vinoviiva vasemmalle (] - \ infty, -1] \ kuppi [+1, \ infty [\ oikea)}

Kehitys

Funktion f määritellään on kolme singulariteetteja: kaksi haaroituspisteissä ( ± 1 ) ja yksinkertainen napa (alkuperä), joka on ainoa singulariteetti nollasta indeksi suhteessa muodon; äärirajoilla ja The residylause siis antaa meille: f(z)=1zz2-1{\ displaystyle f (z) = {1 \ yli z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}}}ϵ→0{\ displaystyle \ epsilon \ - 0}R→∞{\ displaystyle R \ to \ infty}

Minä∗=∫yf(z)dz=2iπRes(f,0) {\ displaystyle I ^ {*} = \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z = 2 {\ rm {i}} \ pi \ mathrm {Res} (f, 0) ~}

ja niin meillä onRes(f,0)=limz→0z⋅f(z)=1i{\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, 0) = \ lim _ {z \ to 0} z \ cdot f (z) = {1 \ yli i}}Minä∗=2π.{\ displaystyle I ^ {*} = 2 \ pi.}

Hajottamalla kaareva kiinteä osaksi seitsemään pääosista ja soveltamalla arvio lemman osoittamaan, että kiinteä pitkin , ja yleensä nollan raja, meillä on jäljellä: yϵ{\ displaystyle \ gamma _ {\ epsilon}}yϵ′{\ displaystyle \ gamma _ {\ epsilon} '}yR{\ displaystyle \ gamma _ {R}}

Minä∗=limϵ→0,R→∞(∑i=14∫yif(z)dz){\ displaystyle I ^ {*} = \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to infty} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {4} \ int _ {\ gamma _ {i} } f (z) \ mathrm {d} z \ oikea)}

rajalla polun varrella argumentti pyrkii kohti nollaa kahdessa määrityksessä, polun varrella argumentti pyrkii kohti (vastaavasti nollaa) ensimmäiselle määritykselle (vastaavasti päämääritykselle), polulle, johon argumentti pyrkii kohti kahden määrityksen ja puolesta , väite pyrkii kohti (vastaavasti ) ensimmäistä määritystä (tai päämääritystä). ϵ→0{\ displaystyle \ epsilon \ - 0}y1{\ displaystyle \ gamma _ {1}}θ{\ displaystyle \ theta}y2{\ displaystyle \ gamma _ {2}}2π{\ displaystyle 2 \ pi}y3{\ displaystyle \ gamma _ {3}}π{\ displaystyle \ pi}y4{\ displaystyle \ gamma _ {4}}π{\ displaystyle \ pi}-π{\ displaystyle - \ pi}

Siksi meillä on huomauttamalla symbolisesti (tai vastaavasti ) ensimmäisen määrityksen argumentti (tai päämääritys): θ1{\ displaystyle \ theta _ {1}}θ2{\ displaystyle \ theta _ {2}}

limϵ→0,R→∞∫y1dzz|z-1|eiθ1/2|z+1|eiθ2/2=∫1+∞dxx(x2-1)=Minä{\ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to infty} \ int _ {\ gamma _ {1}} {\ mathrm {d} z \ over z {\ sqrt {| z-1 |} } \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta _ {1} / 2} {\ sqrt {| z + 1 |}} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta _ {2} / 2}} = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x {\ sqrt {(x ^ {2} -1)}}} = I }

jossa osalle . Meillä on myös: θ1=θ2=0{\ displaystyle \ theta _ {1} = \ theta _ {2} = 0}y1{\ displaystyle \ gamma _ {1}}

limϵ→0,R→∞∫y2f(z)dz=∫1+∞dxx(x2-1)=-∫+∞0dxxx2-1=Minä{\ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to \ infty} \ int _ {\ gamma _ {2}} f (z) \ mathrm {d} z = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x {\ sqrt {(x ^ {2} -1)}}} = = \ int _ {+ \ infty} ^ {0} {\ mathrm {d} x \ over x {\ sqrt {x ^ {2} -1}}} = I}

kanssa , ja . Lopuksi meillä on myös: θ1=2π{\ displaystyle \ theta _ {1} = 2 \ pi}θ2=0{\ displaystyle \ theta _ {2} = 0}eiπ=-1{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ pi} = - 1}

limϵ→0,R→∞∫y3f(z)dz=-∫0-∞dxx(x2-1)=Minä{\ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to infty} \ int _ {\ gamma _ {3}} f (z) \ mathrm {d} z = - \ int _ {0} ^ { - \ infty} {\ mathrm {d} x \ yli x {\ sqrt {(x ^ {2} -1)}}} = I} limϵ→0,R→∞∫y4f(z)dz=∫-∞0dxx(x2-1)=Minä{\ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to infty} \ int _ {\ gamma _ {4}} f (z) \ mathrm {d} z = \ int _ {- \ infty} ^ {0} {\ mathrm {d} x \ over x {\ sqrt {(x ^ {2} -1)}}} = I}

missä käytimme kahdessa edellisessä yhtälössä, että funktio on tasainen ja että integraali päällä on yhtä suuri kuin integraali päällä . ]-∞,1]{\ displaystyle] - \ infty, 1]}[1,∞[{\ displaystyle [1, \ infty [}

Joten meillä on: ja lopuksi odotetusti.4Minä=Minä∗{\ displaystyle 4I = I ^ {*}}Minä=π2{\ displaystyle I = {\ pi \ yli 2}}  

Riemannin pinnat

Tehoton teoria moniarvoisista funktioista monimutkaisen muuttujan toiminnoille korvataan nykyaikaisessa matematiikassa Riemannin pinnalla määritetyllä abstraktimmalla (käsittelemättömän) funktion käsitteellä .

Tämä näkökulma koostuu moniarvoisen funktion määrittelyalueen tarkastelemisesta monimutkaisempaa tasoa monimutkaisemmana kohteena: ulottuvuuden 1 monimutkaisena jakoputkena .

Huomautuksia ja viitteitä

1. Aubin ja Frankowska 2009 , s.  33.
2. Dany-Jack Mercier, Kilpailujen perusteiden hankinta , voi.  1, julkaisukirja,2012, s.  104.
3. Aubin ja Frankowska 2009 .
4. Migórski, Ochal ja Sofonea 2012 , s.  54. Smithson 1965 , s.  682, Smithson 1975 , s.  283, Borges 1967 , s.  452 ja Joseph 1980 varaus karsinta "suljettu" ja multifunctions (minkä tahansa topologinen avaruus) siten, että mikä tahansa suljettu ja , on suljettu ja , joka ulottuu käsite suljetun sovellus on multifunctions . Joseph 1980 , s.  166 määrittelee edelleen paikallisesti suljetun monitoimilaitteen : F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}AT{\ displaystyle A}X{\ displaystyle X}F(AT){\ displaystyle F (A)}Y{\ displaystyle Y}
   • (en) Raymond E. Smithson, ”  Moniarvoisten toimintojen joitain yleisiä ominaisuuksia  ” , Pacific J. Math. , voi.  12, n o  21965, s.  681-703 ( lue verkossa ) ;
   • (en) RE Smithson, "  Subcontinuity for multifunctions  " , Pacific J. Math. , voi.  61, n o  1,1975, s.  283-288 ( lue verkossa ) ;
   • (en) Carlos JR Borges , ”  Tutkimus moniarvoisista toiminnoista  ” , Pacific J. Math. , voi.  23, n o  3,1967, s.  451-461 ( lue verkossa ) ;
   • (en) James E. Joseph, ”  Monitoiminnot ja käänteisjoukot  ” , Canad. Matematiikka. Sonni. , voi.  23, n °  21980, s.  161-171 ( DOI  10.4153 / CMB-1980-022-3 ).
5. Vrt. Aubin ja Frankowska 2009 , s.  38 tai Migórski, Ochal ja Sofonea 2012 , s.  53 tai uudestaan:
   • Casimir Kuratowski , ”  Puolijatkuvat toiminnot suljettujen joukkojen tilassa  ”, rahasto. Matematiikka. , voi.  18,1932, s.  148-159 ( lue verkossa ) ;
   • (en) Claude Berge ( kääntänyt  ranskasta EM Patterson), Topologiset tilat: mukaan lukien moniarvoisten toimintojen, vektoritilojen ja kuperuuden käsittely [  Espaces topologiques, functions multivoques  ]], Dover ,1963( lue verkossa ) , s.  109 ;
   • (en) RT Rockafellar ja R. Wets, Variational Analysis , Springer, et ai.  ”Grund. matematiikka. Wiss. "( N- o  317),1998( lue verkossa ) , s.  193.
6. johtuen (in) C. Ursescu, "  monitoiminäppäintä jossa kupera suljettu kaavio  " , Tšekkoslovakian Mathematical Journal , Voi.  25, n °  3,1975, s.  438-441ja (en) SM Robinson, "  Säännöllisyys ja vakaus kuperille moniarvoisille funktioille  " , Operations Research Mathematics , voi.  1, n o  21976, s.  130-143 ( DOI  10.1287 / nummi 1.2.130 ).
7. sisältö Tämän osan on johdettu § 2.3.2 (in) JF Bonnans ja A. Shapiro, häiriöt Analyysi optimointiongelmat , New York, Springer,2000( lue verkossa ).
8. Tässä avoimet ja suljetut valitukset ovat ristiriidassa . Silti niitä käytetään niin.
9. Puhumme tässä singulariteetista termin laajassa merkityksessä (ja siksi paitsi eristetyssä singulariteetissa ), toisin sanoen, että funktio ei ole analyyttinen singulariteetissa, vaan että kaikki avoimet alueet, jotka eivät ole tyhjiä singulariteetista, sisältävät ainakin yksi piste, jolle funktio on analyyttinen. Vrt. (En) John H. Mathews ja Russel W. Howell, matematiikan ja tekniikan monimutkainen analyysi , Jones & Bartlett  (en) ,1997, 3 ja  toim. ( lue verkossa ) , s.  232.

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Päähaara (matematiikka)
• Liitäntäpiste
• Jäännös äärettömään
• Likimääräinen valintalause
• Michaelin valintalause

Bibliografia

 : tämän artikkelin lähteenä käytetty asiakirja.

• (en) Jean-Pierre Aubin ja Hélène Frankowska , Set-Valued Analysis , Springer ,2009( 1 st  ed. 1990 Birkhäuser ) ( lue rivi )
• (en) Jean-Pierre Aubin ja Arrigo Cellina, Differential Inclusion , Berliini, Springer, coll.  "  Grund. matematiikka. Wiss.  "( N- o  264)1984( lue verkossa ) , "Set-Valued Maps"
• (en) Stanisław Migórski, Anna Ochal ja Mircea Sofonea, epälineaariset osallisuudet ja hemivariaatioerot , Springer,2012( lue verkossa )
• Murray R. Spiegel ( trans.  Vuodesta Englanti), monimutkaisia muuttujia , New York / Montreal / Paris, MacGraw-Hill / Ediscience, ai.  "  Schaum  (in)  ",1973, 314  Sivumäärä ( ISBN  2-7042-0020-3 , lue verkossa )