Veren jatkuvuus

On matematiikka , kaksi kahden topologinen käsitteitä ja ylempien hemicontinuity ja alempi hemicontinuity mahdollistavat laajentaa käsite jatkuvuus on funktio on multifunctions . On toiminnallinen analyysi toinen tyyppi hemicontinuity on määritelty operaattoreille on Banach tilaa sen topologinen kaksi ja erityisesti operaattoreille on Hilbert tilaa itsessään.

Määritelmät

Olkoon ja B kaksi topologinen tilat , Γ moniarvoista toiminto - tai "fit" - ja in B , joka on sanoen sitä täytäntöönpano on on joukko osajoukkojen B ja on piste .

Kirjeenvaihto Γ sanotaan

• hemicontinues superiorly vuonna josminkä tahansa avoimen V sisältää Γ ( ), on olemassa naapurustossa U on siten, että V on Γ ( x ) kaikille x ja U  ;
• hemicontinuous inferiorly vuonna josmissä tahansa avoimessa V , joka vastaa Γ ( ), on olemassa naapurustossa U on siten, että V täyttää Γ ( x ) kaikille x ja U  ;
• Jatkuvalla on, jos se on hémicontinue, on sekä ylä- että alapuolella;
• suljetuilla arvoilla (vastaavasti kompakti, tai lähes kompakti), jos kaikki Γ ( a ) ovat suljettuja (vastaavasti kompakteja , vastaavasti lähes kompakteja ).

The: n kaavio on joukko

Gr(Γ): ={(klo,b)∈AT×B∣b∈Γ(klo)}.{\ displaystyle {\ rm {Gr}} (\ Gamma): = \ {(a, b) \ in A \ kertaa B \ mid b \ sisään \ Gamma (a) \}.}

Tietenkin Γ sanotaan hémicontinue superiorly ja inferiorly hémicontinue tai jatkaa kun itään missään vaiheessa .

Esimerkkejä

• Mikä tahansa vakio kirjeenvaihto on jatkuva (joten kompaktin jatkuvan vastaavuuden rakentaminen sinänsä ja sulkeutumattomien arvojen kanssa on helppoa).
• ℝ: n vastaavuus correspond: ssä määritetään parametrilla Γ ( x ) = {0}, jos x ≤ 0, ja Γ ( x ) = [0, 1], jos x > 0 (jonka muunnos on esitetty vastapäätä), on alempi puolipintainen, mutta ei suurempi , koska se on sulkenut arvoja, mutta sen kuvaaja ei ole suljettu ( vrt § ”suljettu kuvaajan lauseen” alla ). Tarkemmin sanottuna: se ei ole puolijatkuva pisteen 0 yläpuolella, koska avoin] –1, 1 [sisältää Γ (0), mutta ei sisällä Γ ( x ), jos x > 0.
• Määrittämä by ( x ) = {0}, jos x <0 ja Γ ( x ) = [0, 1], jos x ≥ 0 (jonka muunnos on esitetty alla ) on ylempi puoli jatkuva, mutta ei alempi puoli - jatkuva kohdassa 0, koska avoin] 0, 1 [täyttää Γ (0), mutta ei täytä Γ ( x ), jos x <0.
• Jos kaikki Γ ( ) ovat yksisikiöisten , toisin sanoen, jos Γ ( ) = { f ( )} joidenkin kartta f välillä ja B  :
  • Γ on ylivoimaisesti puoli jatkuva vain ja vain, jos se on alempi, ja tämä vastaavuuden contin jatkuvuus vastaa kartan f jatkuvuutta .
  • vastaavuuden graafi Γ on yhtä suuri kuin kartan f graafi (sen vuoksi on helppo rakentaa of in ℝ: n vastaavuuksia, pienikokoisilla arvoilla ja suljetulla kuvaajalla, jotka eivät ole puolijatkuvia ei ylä- eikä alapuolella).

Ominaisuudet

Ominaisuudet

• Γ on ylivertaisesti puoli jatkuva vain ja vainmissä tahansa avoimessa V ja B , pisteiden joukko x siten, että Γ ( x ) on sisällytetty V on avoin jataikaikki suljettu F ja B , pisteiden joukko X siten, että Γ ( x ) vastaa F on suljettu .
• Γ on alempi puoli jatkuva vain ja vainmissä tahansa avoimessa V ja B , pisteiden joukko x siten, että Γ ( x ) vastaa V on avoin jataikaikki suljettu F ja B , pisteiden joukko X siten, että Γ ( x ) on sisällytetty F on suljettu .

Erityisesti :

• x- joukko, jolle Γ ( x ) on vapaa, on suljettu ensimmäisessä tapauksessa ja avoin toisessa;
• jos kuvaaja r on auki silloin r on pienempi puolijatkuvan (koska tahansa pisteen y ja B , joukko x siten, että y ∈ r ( x ) on auki). Päinvastoin on väärä, mutta jos Γ on alempi puolijarruton ja jos d on jatkuva poikkeama B: llä , kaikkien r > 0: n kohdalla seuraavan vastaavuuden kaavio on avoin: x ↦ { y ∈ B | d ( y , Γ ( x )) < r } (jossa sopimuksella d ( y , ∅) = + ∞ ).

Toiminnot

Tietyissä oletuksissa tai rajoituksissa hemikontinuiteetti säilyy tavallisilla toimenpiteillä.

• Ylempi tai alempi hemikontinuiteetti säilyy koostumuksella , erityisesti rajoituksella .
• Γ on puolivälissä jatkuva pisteen a alapuolella vain ja vain, jos sen sulkeminen Γ  : x ↦ Γ ( x ) on.
• Kun B on normaali , jos Γ on puolijatkuva pisteen a yläpuolella , niin Γ on myös.
• Kun B on paikallisesti kupera tila  :
  • jos Γ on puolivälissä jatkuva pisteen a alapuolella, niin sen kupera verhokäyrä co (Γ): x ↦ co (Γ ( x )) on myös;
  • jos Γ on puolijatkuvaa pisteen a yläpuolella ja jos suljettu kupera verhokäyrä co (Γ ( a )) on kompakti, niin co (Γ) ja co (Γ) ovat myös puoliksi jatkuvia pisteen a yläpuolella .
• Alempi hemikontinuiteetti säilyy mielivaltaisilla liitoksilla , ja ylempi hemikontinuiteetti säilyy rajallisilla liitoksilla.
• Ylempi hemikontinuiteetti säilyy rajallisilla risteyksillä , mutta ei alemmalla hemikontinuiteetilla. Alempi puoli jatkuvuus säilyy kuitenkin leikkaamalla minkä tahansa avoimen kuvaajan vastaavuuden kanssa.
• Kaikki tuotteet säilyttävät sen , että ne ovat erittäin puolipitkät ja lähes kompaktit (tai pienikokoiset) arvot , ja lopputuotteet säilyttävät alemman puoli jatkuvuuden.

Suljetun kaavion lause

Kuvaajan tiiviys tai sulkeutumisominaisuudet ovat läheisesti sidoksissa ylempään hemikontinuiteettiin.

Voimme ensin yleistää klassisen lauseen kompaktin jatkuvasta kuvasta  :

Jos Γ: A → B on erittäin puolipitkä ja lähes kompaktien arvojen kanssa ja jos A on lähes kompakti, niin the: n graafi on lähes kompakti (myös Γ ( a ): n yhdistys ).

Kaikki kirjeenvaihto, jonka kaavio on suljettu, on ilmeisesti suljettujen arvojen kanssa. Yläpuolinen jatkuvuus varmistaa vastavuoroisen - jatkuvien funktioiden ominaisuuden analogisen arvon erillisessä tilassa olevilla arvoilla - ja päinvastoin, kaavion sulkeminen varmistaa ylemmän puolipidon jatkuvuuden olettaen, että kompakti on:

Olkoon Γ: A → B kirjeenvaihto.

• Jos Γ jatkuu ylivoimaisesti ja suljettuina ja jos B on säännöllinen , kaavio Γ suljetaan A × B: nä .
• Jos the: n kaavio on suljettu ja jos B on lähes kompakti, niin Γ on korkeampi puoliksi jatkuva.

Esittelyt

• Oletetaan, että Γ on erittäin puolijatkuvaa ja lähes kompakteja arvoja ja että A on lähes kompakti.
  • Kokous K of Γ ( ) on lähes kompakti joko ( U i ) i ∈ I avoin peite on K . Kukin lähes kompakti Γ ( ) kuuluu rajallinen alaperheen ( U i ) i ∈ I , jonka me tarkoittavat O on liiton. Kvasi-kompakti kuuluu avoin O on siis rajallinen alaperheen ( O : n ) on ∈ F . Kokouksessa J on I on , kun lukemassa F on sitten valmis, ja ( U i ) i ∈ J kattaa K .
  • Kuvaaja Γ itsessään on lähes kompakti: se on liitto Δ ( ), jossa Δ on vastaavuus on x B on määritelty Δ ( ) = { } x Γ ( ).
• Oletetaan, että Γ on ylivoimaisesti puolijatkuva ja suljettujen arvojen kanssa ja että B on säännöllinen, ja osoitetaan, että Gr: n (Γ) komplementti on avoin, eli kaikkien sen pisteiden läheisyys. Olkoon ( a , b ) ∉ Gr (Γ); on olemassa B kahteen erillään aukkoa, V , joka sisältää suljetun Γ ( ) ja W , joka sisältää kohdan b . Avoin V sisältää Γ ( a ) sisältää siten Γ ( x ) kaikille x : lle tietyn avoimen U: n, joka sisältää a: n . Avoin U × W , joka sisältää ( a , b ), irrotetaan sitten Gr: stä (Γ).
• Oletetaan, että Gr (Γ) on suljettu ja että B on lähes kompakti. Tällöin ém jatkuu ylivoimaisesti, koska jokaiselle suljetulle F: lle B : lle x: n joukko G siten, että meets ( x ) kohtaa F: n, on suljettu A: ssa . Todellakin, A × B : n projektio A: lle on suljettu kartta ja G on tämän heijastuksen mukaan kuva suljetusta ( A × F ) ∩Gr (Γ): sta.

Voimme päätellä:

Lause  -  Jos B on kompakti, kaavio Γ: A → B on suljettu vain ja vain, jos Γ on ylivertaisesti puolijatkuva ja suljettujen arvojen kanssa.

Sarjakuvaus

Edellä olevissa määritelmissä ja ominaisuudet ovat puhtaasti topologinen, mutta useimmat kirjoittajat rajoittua tapauksessa metristä tiloja (tyypillisesti: osat on Euclidean tiloja ).

Oletamme tässä osassa, että A ja B ovat mitattavissa .

Kuvaaja suljetaan sitten jos ja vain jos se on peräkkäin suljettu , eli jos kaikki suppeneva sekvenssit n → on ja b n → b on B siten, että b n ∈ r ( n ), meillä on b ∈ r ( a ).

Sama periaate kuvaa hemikontinuiteetin sekvenssien suhteen:

Vastaavuus Γ: A → B on

1. erittäin puolipitkän jatkuva ja kompakteilla arvoilla vain ja vain, jos kaikilla sekvensseillä a n → a kohdassa A ja b n ∈ Γ ( a n ) sekvenssillä ( b n ) on kiinnitysarvo kohdassa in ( a );
2. alaosastaan Puolijatkuvalla jos ja vain jos, ja mikä tahansa sekvenssi n → on ja kaikki b ∈ r ( ), on olemassa alasekvenssi ( n k ) ja ( n ) ja b k ∈ r ( n k ) , kuten että b k → b .

Esittely

1. :
   • ⇒: oletetaan, että Γ on erittäin puolijatkuva ja kompaktien arvojen kanssa ja että a n → a ja b n ∈ Γ ( a n ). Menettämättä yleisyyttä A: n ainoat elementit ovat a n ja a . Edellisen §: n ominaisuuden mukaan the: n graafi on sitten kompakti, joten tässä kuvaajassa sekvenssillä ( a n , b n ) on tarttuvuusarvo ( c , b ) ja c = a, täten b ∈ Γ ( a ).
   • ⇐: oletetaan, että sekvenssien kunto on varmistettu.
     • hemicontinuity: anna F suljettu B ja G pisteiden joukko x siten, että Γ ( x ) vastaa F . Osoittaa, että G on suljettu, tarkista, että mikä tahansa sekvenssi ( n ) kanssa arvoja G , joka suppenee , raja on enintään G . Voit tehdä tämän, valita minkä tahansa luonnollinen luku n b n ∈ Γ ( n ) ∩ F . Mikä tahansa arvo tarttuvuuden ( b n ) sitten F ja siellä oleteta Γ ( ), niin ∈ G .
     • kompakti arvot: Jokaisella pisteellä on , Γ ( ) on numeroituvasti kompakti ja siksi kompakti .
2. :
   • ⇒: Oletetaan, että Γ on alempi puolittainen ja a n → a , ja kiinnitä a b ∈ Γ ( a ). Tahansa kokonaisluku k > 0, pallo B ( b , 1 / k ) täyttää Γ ( x ) minkä tahansa x tarpeeksi lähellä , täyttää siten Γ ( n ) minkä tahansa n suurempi kuin tietty n k . Valitsemalla lisäksi ( n k ) tiukasti kasvava, me siis rakentaa alasekvenssi ( n k ) ja ( n ) ja b k ∈ r ( n k ) ∩ B ( b , 1 / k ).
   • ⇐: mukaan vastakkaisilla oletetaan, että Γ ei ole puolijatkuvan alle pisteen ja me rakentaa sekvenssin n → ei täyttää ehdon. Anna V: n avautua, joka kohtaa Γ ( a ) b: ksi , mutta siten, että mikä tahansa pallo B ( a , 1 / n ) sisältää a a n: n, jonka kuva ei ole V: n kanssa . Sitten, mille tahansa alasekvenssi ( n k ) ja ( n ) ja kaikki b k ∈ r ( n k ), sekvenssi ( b k ) on arvot komplementti naapuruston V on b , niin ne suppenee ei b .

Kaikkien osien topologiat

Jos B on mitattavissa, Γ: A → B, jossa ei ole tyhjiä kompakteja arvoja, on jatkuva vastaavuussuhteena vain ja vain, jos se on jatkuva arvonmuutoksena B: n ei-tyhjien tiivistysten joukossa , jolla on etäisyys Hausdorffista .

B- osien joukossa on myös topologioita, jotka luonnehtivat ylemmän ja alemman puolivälin jatkuvuutta.

Toiminnallinen analyysi

Antaa olla Banach avaruus ja sen topologinen kaksi . Sillä ja asetamme: V{\ displaystyle V}V′{\ displaystyle V ^ {\ prime}}x∈V{\ displaystyle x \ sisään V}x′∈V′{\ displaystyle x ^ {\ prime} \ muodossa V ^ {\ prime}}

⟨x′,x⟩: =x′(x){\ displaystyle \ langle x ^ {\ prime}, x \ rangle: = x ^ {\ prime} (x)}.

Operaattorin (ei välttämättä lineaarinen) ja in sanotaan olevan puolijatkuvan , jos sen rajoitukset segmentit ovat jatkuvia heik- * , toisin sanoen, jos kaikki , karttaAT{\ displaystyle A}V{\ displaystyle V}V′{\ displaystyle V ^ {\ prime}}V′{\ displaystyle V ^ {\ prime}} (x,y,z)∈V3{\ displaystyle (x, y, z) \ muodossa V ^ {3}}

[0,1]→R:t↦⟨AT(x+ty),z⟩{\ displaystyle [0,1] \ to \ mathbb {R}: t \ mapsto \ langle A (x + ty), z \ rangle}

on jatkuva.

Hilbert-tilan käyttäjä sinänsä

Erityisesti Hilbert-avaruuden operaattori sinänsä (kanonisesti identifioitu ) on puoliksi jatkuva, jos ja vain jos kaikki , karttaAT{\ displaystyle A}H{\ displaystyle H}H′{\ displaystyle H '}(x,y,z)∈H3{\ displaystyle (x, y, z) \ muodossa H ^ {3}}

[0,1]→R:t↦⟨AT(x+ty),z⟩{\ displaystyle [0,1] \ to \ mathbb {R}: t \ mapsto \ langle A (x + ty), z \ rangle}

on jatkuva, missä 〈·, ·〉 tarkoittaa pisteen tuloa . H{\ displaystyle H}

Huomautuksia ja viitteitä

1. Tai jostain naapurustossa V of Γ ( ) .
2. tai avoin U, joka sisältää a .
3. (en) Charalambos D.Aliprantis ja Kim C.Border, Ääretön ulottuvuusanalyysi: Hitchhikerin opas , Springer ,2007, 3 ja  toim. ( 1 st  toim. 1994), 703  s. ( ISBN  978-3-540-32696-0 , lue verkossa ) , luku .  17 ("Kirjeenvaihto").
4. vastaesimerkki on järjestetty kaksi jatkuvaa karttoja ja B siten, että joukko pisteitä, joissa ne yhtyvät ei ole auki.
5. (in) George Xian Zhi Yuan , tutkimus Minimax eriarvoisuutta ja Applications Taloustieteen Variational eriarvoisuus , AMS , ai.  "Memoirs of American Mathematical Society" ( n o  625)1998( lue verkossa ) , s.  26, Lause 1.7.
6. (sisään) Anton Badev ja Matthew Hoelle, "  Kirjeenvaihto  " , s.  5 .
7. (sisään) Efe A. Ok , Element of Order Theory ( lue verkossa ) , "Liite: Pohjustus topologisista tiloista" , s.  22, prop. 1.7.7.
8. Tai edes vain T 3 .
9. Näkyvissä (sisään) Efe A.Ok , Real Analysis with Applications Economics , PUP ,2007, 802  Sivumäärä ( ISBN  978-0-691-11768-3 , lue verkossa ) , luku .  E (”Jatkuvuus II”) , s.  287-305 metristen tilojen tapauksessa.
10. Ellet korvaa joskus käsitettä Suite kyseisessä on yleistynyt Suite , kuten Aliprantis ja Border 2007 .
11. Riittää olettaa, että niillä on laskettavissa olevat asuinalueiden perustat ja erotettu toisistaan .
12. (in) Angel de la Fuente , matemaattiset menetelmät ja mallit Economists , UPC ,2000, 835  Sivumäärä ( ISBN  978-0-521-58529-3 , luettu verkossa ) , s.  108-114.
13. (in) Erwin Klein ja Anthony C. Thompson , teoria vastaavuustaulukko: Sisältää Hakemukset Matemaattinen taloustiede , John Wiley & Sons ,1984.
14. Tapauksessa, jossa V on refleksiivinen Banach- tila (tunnistettavissa sen kaksoisarvolla), heikot ja heikot * topologiat ovat yhtä suuret.
15. Brezis 1966 .

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Nashin tasapaino
• Diferentiaalinen osallisuus  (in)
• Kakutanin kiinteän pisteen lause
• Browder-Minty-lause
• Lause maksimista  (en)
• Michaelin valintalause
• Vietoris-topologia  (in)
• Tilaa topologia

Ulkoiset linkit

• (en) Guillermo Ordoñez, "  Huomautuksia ylemmästä puolijohdon jatkuvuudesta  " , julkaisusta Penn Arts & Sciences ,2006.
• (en) Tigran A. Melkonyan, "  Johdatus funktioihin, sekvensseihin, metrisiin ja topologisiin tiloihin, jatkuvuuteen, puolipidikkeeseen ja hemikontinuiteettiin  " , Nevadan yliopisto, Reno ,2007.
• (en) Chris Shannon, ”  Economics 204 / Lecture 7  ” , UC Berkeley , Economics Laboratory Software Archive ,elokuu 2011.

Bibliografia

• (en) Jean-Pierre Aubin ja Arrigo Cellina, differentiaaliset inkluusiot, asetetut kartat ja elinkelpoisuusteoria , Grundl. der Math. Wiss. , lento. 264, Springer, 1984.
• (en) Jean-Pierre Aubin ja Hélène Frankowska , Set-Valued Analysis , Basel, Birkhäuser,1990( lue verkossa ).
• Claude Berge , Espaces topologiques, functions multivoques , 1959 - (en) Topologiset tilat: Sisältää moniarvoisten toimintojen, vektoritilojen ja kuperuuden käsittelyn , luku . VI on Google Books .
• Haïm R. Brezis , ”  Yksitoikkoiset operaattorit  ”, Choquet-seminaari - aloite analyysiin , t.  5, n o  2 (1965-1966),1966, artikkeli n o  10 ( lue verkossa ).
• (en) Klaus Deimling, Moniarvoiset differentiaaliyhtälöt , Walter de Gruyter , 1992 [ lue verkossa ]
• (en) Andreu Mas-Colell , Michael D. Whinston ja Jerry R. Green, Microeconomic Theory , OUP , 1995, s.  949-951 .
• (en) Ernest Michael  (en) , "Continuous selections" , julkaisussa Klaus P. Hart, Jun-iti Nagata ja Jerry E. Vaughan, Encyclopedia of General Topology , Elsevier,2004( ISBN  978-0-08053086-4 , lue verkossa ) , s.  107-109.
• (en) Hôǹg Thái Nguyêñ , M. Juniewicz ja J. Ziemińska , "  CM- valitsijat vastakkain puolipuheiden monitoimilaitteiden ja eräiden sovellusten voimakkaasti epälineaarisille sulkeumille  " , Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen , voi.  19, n °  22000, s.  381-393 ( lue verkossa ).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">