Viviani-ikkuna
Viviani ikkuna on algebrallinen käyrä vasemmalle , ja suljetun käyrän , joka määritellään risteyksessä pallo ja pyöreä sylinteri puoli pallon säde ja kulkee pallon keskipisteen.
Vincenzo Viviani ehdotettu 1692 seuraavat arkkitehtoninen ongelma: se oli kysymys lävistyksiä puolipallon kupoli on neljä ikkunaa siten, että jäljellä pintaa kuvun oli quarrable . John Wallis , Gottfried Wilhelm Leibniz ja Jean Bernoulli tutkivat luonnollisesti pyöreiden ikkunoiden yksinkertaista tapausta ja joutuivat tutkimaan sylinterin ja pallonpuoliskon leikkauskäyrää, jolloin tälle käyrälle annettiin nimi "Viviani-ikkuna".
Arkkitehti Paul Andreu suunnitteli Osakan merimuseon kupolin järjestämällä kehykset rinnakkaisten Viviani-kaarien verkon mukaan.
Viviani-ikkunan yhtälöt
Meillä on seuraavat esitykset (säteelle R ):
Suorakulmaisessa yhtälöitä: ja , viimeksi mainitun ilmaisun siitä sylinterin keskusta , säde ja on yhdensuuntainen akselin : .
x2+y2+z2=R2{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2}}x2+y2=Rx{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = Rx}(x,y)=(R2,0){\ displaystyle (x, y) = \ vasen ({\ frac {R} {2}}, 0 \ oikea)}R2{\ displaystyle {\ frac {R} {2}}}z{\ displaystyle z}(x-R2)2+y2=(R2)2{\ displaystyle \ left (x - {\ frac {R} {2}} \ right) ^ {2} + y ^ {2} = \ left ({\ frac {R} {2}} \ right) ^ { 2}}
Karteesinen parametrisointi:
Pallo voidaan parametroida
missä
{x=Rcosθcosφy=Rsyntiθcosφz=Rsyntiφ{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {rcl} x & = & R \ cos \ theta \ cos \ varphi \\ y & = & R \ sin \ theta \ cos \ varphi \\ z & = & R \ sin \ varphi \ end {taulukko}} \ oikea.}-π<θ<π,-π2<φ<π2.{\ displaystyle - \ pi <\ theta <\ pi, - {\ frac {\ pi} {2}} <\ varphi <{\ frac {\ pi} {2}}.}
Siirtämällä sylinterin yhtälöön saadaan:
x2+y2-Rx=R2cosφ(cosφ-cosθ)=0.{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -Rx = R ^ {2} \ cos \ varphi (\ cos \ varphi - \ cos \ theta) = 0.}
Joten ja Viviani-käyrän kokoonpano:
cosφ=cosθ{\ displaystyle \ cos \ varphi = \ cos \ theta}
{x=Rcos2θy=Rsyntiθcosθz=Rsyntiθ{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {rcl} x & = & R \ cos ^ {2} \ theta \\ y & = & R \ sin \ theta \ cos \ theta \\ z & = & R \ sin \ theta \ end {array}} \ oikea.} kanssa -π<θ≤π{\ displaystyle - \ pi <\ theta \ leq \ pi}
Huomautuksia ja viitteitä
Viitteet
-
Ongelman täydellinen kuvaus on D. Lanierin artikkelissa, vrt. infra .
-
Vrt. Chasles, s. 141.
-
Viviani-ikkuna Mathcurve.com-sivustolla
-
Michel Chasles , Historiallinen katsaus geometrian menetelmien alkuperään ja kehitykseen (1837), näytt. Hayez, Bryssel
-
Michel Serres , Leibnitzin järjestelmä ja sen matemaattiset mallit (1968, uusintapaino 2007), toim. PUF, kokoonpano Epimetheus ( ISBN 2130433898 )
-
(fr) Denis Lanier, " Leibniz, uusi analyysi ja geometria tai tutkimus Viviani-ikkunassa " , NUMDAM , Cahiers du seminaire d'histoire des mathematiques, voi. 8,1987(käytetty 28. lokakuuta 2007 ) ,s. 203-227