Finitism on matematiikan filosofia , jossa otetaan huomioon, että matemaattisten objektien valmis . Vertailu voidaan tehdä perinteiseen matemaattiseen filosofiaan, jossa äärettömät matemaattiset objektit (esim. Äärettömät joukot ) ovat yhtä laillisia kuin muut.
Finitistisen matematiikan pääajatus on se, että ei hyväksytä äärettömien esineiden, kuten äärettömien joukkojen, olemassaoloa. Vaikka kaikki luonnolliset luvut hyväksytään olemassa oleviksi, kaikkien luonnollisten numeroiden joukkoa ei pidetä matemaattisena objektina. Siksi kvantisointia äärettömillä domeeneilla ei pidetä merkittävänä. Matemaattinen teoria liittyy usein finitism on primitiivinen rekursiivinen aritmeettinen on Thoralf Skolem .
Äärettömien matemaattisten esineiden käyttöönotto on muutama vuosisata sitten tapahtunut kehitys. Äärettömien esineiden käyttö on ollut kiistanalainen aihe matemaatikoiden keskuudessa . Tämä ongelma uusiutui, kun Georg Cantor vuodelta 1874 esitteli naiivijoukko-teoriaa ja käytti sitä pohjana transfinite-lukuja koskevaan työhönsä . Kun Russellin , Berryn ja Burali-Forin paradoksin kaltaiset paradoksit löydettiin Cantorin naiivista joukko-teoriasta, asiasta on tullut kuuma aihe matemaatikoiden keskuudessa.
Matemaatikot ovat ottaneet erilaisia kantoja. Kaikki sopivat rajallisista matemaattisista kohteista, kuten luonnollisista kokonaisluvuista. Äärettömien matemaattisten esineiden olemassaolosta oli kuitenkin erimielisyyksiä. Yksi kanta oli intuitionistisen matematiikan kanta , jossa LEJ Brouwer oli edeltäjä , joka hylkäsi äärettömien esineiden olemassaolon, ellei niitä rakennettu.
Gödelin lauseiden jälkeisinä vuosina , kun kävi selväksi , ettei matematiikan johdonmukaisuudesta ole mitään toivoa, ja kehittyneiden joukkojen teorioiden , kuten Zermelo-Fraenkelin sarjajoukkojen teorian ja sen johdonmukaisuutta osoittavien todisteiden puuttuessa, useimmat matemaatikot ovat menetti kiinnostuksensa ongelmaan. Useimpia klassisia matemaatikkoja pidetään platonisteina ja he uskovat loputtomien matemaattisten esineiden olemassaoloon.
Leopold Kronecker pysyi vastustajana Cantorin sarjateoriassa:
”Jumala loi luonnolliset luvut, kaikki muu on ihmisen työtä. "
Reuben Goodstein on toinen finitismin kannattaja.
Vaikka hän kielsi sen, suurella osalla Ludwig Wittgensteinin matematiikkateoksesta on voimakas affiniteetti finitismin kanssa.
Jos finitistejä verrataan transfinitisteihin (esimerkiksi Georg Cantorin äärettömyyksien hierarkian kannattajiin ), niin Aristotelesta voidaan luonnehtia tiukaksi finitistiksi. Ennen kaikkea Aristoteles lupasi potentiaalisen äärettömyyden vaihtoehtona tiukan finitismin ja todellisen äärettömyyden välillä .