Vuonna matematiikka The paradoksi Burali-Forti , julkaistiin vuonna 1897, osoittaa rakentamisen, joka johtaa tietyissä teorioita sarjaa tai teorioihin liian naiivi tyyppien erään antinomy, toisin sanoen, että teoria on ristiriitainen (sanomme epäjohdonmukaisia tai epäjohdonmukainen ). Lyhyesti sanottuna hän toteaa, että koska voimme määrittää ordinaaliryhmän ylärajan , jos kaikkien ordinaalien joukko on olemassa, voimme määritellä järjestysnumeron, joka on ehdottomasti suurempi kuin kaikki ordinaalit, mikä on ristiriita.
Tämän vuoksi väitteessä käytetään järjestyskäsitteitä, toisin sanoen lähinnä hyvää järjestystä : se on teknisempi kuin Russellin paradoksi , vaikka hänen argumenttinsa ei olekaan niin kaukana jälkimmäisestä, joka on yksinkertaisempi. Ymmärtää ja muodostaa. Burali-Forti-paradoksi on kuitenkin ensimmäinen joukko teoriaparadokseja, joka on julkaistu kuusi vuotta ennen Russellin paradoksia, ja Georg Cantor raportoi siitä kirjeenvaihdossaan yhdessä suurimman kardinaalin paradoksin kanssa.(tunnetaan nimellä Cantorin paradoksi), samoina vuosina. Lisäksi Burali-Forti-paradoksi tuo suoraan esiin järjestyksen käsitteen eikä kuulumisen (vaikka nykyään nämä kaksi käsitystä olisivat samansuuntaisia ordinaalien kanssa, kuten ne määritellään joukko-teoriassa). Joten joidenkin teorioiden epäjohdonmukaisuus on todettu johtamalla suoraan Burali-Forti-paradoksi. Näin John Barkley Rosser osoitti vuonna 1942 epäjohdonmukaisuus yksi ensimmäisistä versioista uusi perusta , jonka Willard Van Orman Quine .
Paradoksissa käytetään järjestyskäsitystä , joka on luonnollinen kokonaisluvun käsitteen yleistys, koska se edustaa hyvää järjestystä . Mihin tahansa hyvään järjestykseen yhdistämme yhden ja vain yhden järjestyksen, jolla on "sama" järjestysrakenne. Luvut ovat äärellisiä ordinaaleja. Luonnollisten lukujen joukko on hyvin järjestetty, ja sen järjestysmerkki on yleensä merkitty ω. Järjestysluvun käsite eroaa kardinaalinumerosta heti, kun siirrymme äärettömyyteen (erillisissä äärettömissä ordinaaaleissa voi olla sama kardinaali).
Joista käsitteestä johtuvista syistä tiedämme, että joukko tilauksia on itsessään hyvin järjestetty luonnollisella tavalla. Jos myönnämme, että kaikkien ordinaalien joukko on olemassa, osoitamme, että sulkemisominaisuuksien takia, joita tällainen joukko välttämättä todentaisi, tätä hyvää järjestystä vastaava järjestysmäärä olisi tiukasti suurempi kuin kunkin sen elementin. Siksi kohtaamme ristiriitaa: siihen liittyvän järjestyksen on oltava ehdottomasti suurempi kuin itsensä.
Jos haluat sanoa enemmän, meidän on oltava hieman tarkempia hyvien tilausten ja tavallisten ominaisuuksien suhteen . Ensinnäkin voimme määritellä käsitteen järjestysisomorfismista. Kaksi hyvin järjestettyä sarjaa ( , < ) ja ( B , < B ) on isomorfinen, jos on olemassa bijektio f välillä ja B , joka kuljettaa järjestyksessä rakenne, eli yhä bijektio päässä in B :
x < A y ⇔ f ( x ) < B f ( y ).Järjestysmerkki on, jos haluat, hyvä järjestys "isomorfismiin asti"; puhumme joskus tilaustyypistä . Laskematta muodollisiin yksityiskohtiin ordinaalit tulisi määritellä siten, että mistä tahansa hyvästä järjestyksestä tälle hyvälle järjestykselle on olemassa yksi ja vain yksi järjestysnumero.
Käyttökelpoinen käsite noin hyvä tilauksia, joiden avulla ne voidaan verrata, on, että on alkaa osa tai ensimmäinen segmentti . Kutsumme alkaa jakso tai alkusegmentin järjestyksessä olevista ( E , <) (päätämme tiukassa järjestyksessä) osajoukko F ja E , ja jos se sisältää osan E , sisältää kaikki pienemmät tekijät:
x ∈ E ⇒ (∀ y < x ) y ∈ F .Puhdas ylempi sarja , jossa oli ( E , <) on ei-tyhjä ylemmät ja erilainen kuin kaikki E . Hyvin järjestetyn sarjan tyhjä alkuosa on hyvin järjestetty sille rajoitetulla järjestyksellä. Kahden hyvän tilauksen vertaamiseksi voimme sanoa, että hyvin järjestetty joukko ( A , < A ) on ehdottomasti pienempi kuin hyvin järjestetty joukko ( B , < B ), kun ( A , < A ) on isomorfinen ( B , < B ). Tämä suhde on tiukka järjestys , se on transitiivinen, kahden koostumuksen mukaan pelissä, ja heijastamaton .
Ehdotus (heijastamaton). Hyvin järjestetty sarja ei voi olla isomorfinen jollekin omasta lähtöosastaan.Tämä ehdotus osoitetaan induktiolla hyvässä järjestyksessä pelissä (toisin sanoen olennaisesti käyttämällä hyvin hyvän järjestyksen määritelmää).
Cantorille johtuen olennainen ominaisuus on trikotomia . Siinä todetaan, että jos rajoitamme edellisen tiukan järjestyksen tavallisiin määräyksiin, se määrittelee kokonaisjärjestyksen (tai että se määrittelee kokonaisjärjestyksen hyville luokille aina isomorfismiin asti, mikä tarkoittaa samaa).
Ehdotus (trikotomia). Annetaan kaksi hyvin järjestettyä sarjaa ( A , < A ) ja ( B , < B ),Tämä ominaisuus osoitetaan käyttämällä määritelmän periaatetta induktiolla hyvässä järjestyksessä.
Siksi olemme osoittaneet, kuinka kokonaisjärjestys määritetään ordinaalisarjassa: järjestysmerkki α on ehdottomasti pienempi kuin järjestysluku β, jos se on isomorfinen β: n varsinaiselle alkuosalle. Mutta tämä tilaus on myös hyvä tilaus. Anna A: n todellakin joukko ordinaaleja ja A: n alkuaine α . Osoitetaan, että kaikilla A: n pienemmillä tai yhtä suurilla asteikoilla kuin a: lla olevalla isomorfismilla on pienempi jäsen, joka on A: n pienin elementti .
Ehdotus (pienin elementti). Kaikilla ei-tyhjillä ordinaalisilla sarjoilla on pienempi elementti.Sarja ordinaaleja on siis luonnollisesti hyvin järjestetty: kaikilla sen tyhjillä osajoukoilla on pienempi elementti. Voimme johtaa tähän ryhmään rajoittuvan Burali-Forti-paradoksin pyytämällä sitä tarkistamaan nämä kaksi sulkeutuvaa ominaisuutta (ensimmäinen riittää itse asiassa):
Hyvän järjestyksen ( E , <) seuraaja on hyvä järjestys , joka saadaan lisäämällä E : n loppuun " uusi " eli e , ts . Että mikä tahansa E: n alkio on ehdottomasti pienempi kuin e . Se on määritelmän mukaan tiukasti suurempi kuin hyvä järjestys ( E , <). Kaikki hyvät seuraaja tilauksia ( E , <) ovat tietenkin isomorfinen, ja sen vuoksi me voimme määritellä seuraaja järjestysasteikko.
Ensimmäinen ominaisuus varmistaa, että tilausten joukosta saatu hyvä järjestys on suurempi tai yhtä suuri kuin kaikki sen elementit, ja toinen, että jos se myös tyydyttää ensimmäisen, se on ehdottomasti ylivoimainen, koska se on parempi kuin seuraaja jokainen sen osa.
Kaikkien ordinaalien joukko varmistaisi välttämättä nämä kaksi sulkeutuvaa ominaisuutta, joten sitä ei voi esiintyä paradoksaalisen rangaistuksen alla. Ominaisuus "olla järjestysnumero" on nyt voitava määrittää virallisesti. Ymmärtämisen aksioomamallin rajoittamaton käyttö johtaa siis ristiriitaan.
Aivan kuten Russellin paradoksissa, jonka lisäksi sillä on tietyllä tavalla looginen rakenne (kyseessä on diagonaalinen päättely), Burali-Forti-paradoksi ratkaistaan rajoittamalla ymmärryksen aksiomien kaaviota . Jos noudatamme järjestyksen luonnollista määritelmää, määriteltäisimme sen hyvässä järjestyksessä olevan isomorfismin luokaksi edellisessä kappaleessa kuvatulle järjestysisomorfismille. Mutta ymmärtämisjärjestelmän rajoituksen vuoksi isomorfinen luokka ei ole joukko. Yhden elementin järjestyksessä isomorfinen luokka ryhmittelee jo kaikki singletonit (mukana tyhjä suhde tiukkana järjestyksenä). Vuoteen aksiooma reunion , meillä olisi asetettu kaikkien sarjaa, siis Russellin paradoksi, jonka ymmärtäminen järjestelmään.
On kuitenkin mahdollista rakentaa yhdenmukaisesti edustaja kutakin isomorfista luokkaa kohti: nämä ovat von Neumannin ordinaaleja . Sitten voimme määritellä joukko-teorian kielellä ominaisuuden "olla järjestysnumero" (von Neumannin järjestys on transitiivinen joukko, jonka jäsenet järjestävät hyvin). Voimme siis puhua luokan ja vihkikaavoista. Ei ole enää mitään ristiriitaa, Burali-Forti-paradoksi kääntää:
ordinaalien luokka on oikea luokka .Burali-Fortin paradoksi julkaistiin ensimmäisen kerran artikkelissa tämän kirjoittajan vuodelta 1897, mutta eri muodossa kuin missä se on kuvattu edellä. Kaikki viittaa kuitenkin siihen, että Cantor tunsi tämän paradoksin aikaisemmin. Päivämäärä 1895 tai kirje David Hilbertille vuodelta 1896 mainitaan usein viitteinä. Näyttää siltä, että Philip Jourdain edisti heitä ensin. Lainaamme usein Felix Bernsteinin , joka oli Cantorin opiskelija, vuonna 1905 julkaisemaa artikkelia , mutta tämä viittaa Jourdainiin. Esimerkiksi Jean Cavaillès lainaa Bernsteinia. Vaikka nämä päivämäärät ovat todennäköisiä, vuodelta 1896 peräisin olevaa kirjettä ei ole löydetty. Hilbertille lähettämässään kirjeessä vuodelta 1897 Cantor selittää suurimman kardinaalin paradoksin, mutta viittaamalla alefisarjaan, jonka ordinaalit indeksoivat. Voimme siis ajatella, että hän tuntee myös Burali-Fortin paradoksin, varsinkin kun kirje todistaa hänen edistyneestä tilanteestaan. Joka tapauksessa 1890-luvun lopulla, Göttingenissä, Burali-Forti-paradoksi ja Cantorin analyysi siitä tuli Hilbertille ja hänen seurueelleen, mukaan lukien Zermelo, tiedoksi.
Burali-Forti ilmoittaa vuoden 1897 muistiinpanonsa ensimmäisestä virkkeestä alkaen, että tämän muistiinpanon päätavoitteena on osoittaa, että on olemassa transfiniittisiä lukuja, jotka eivät ole vertailukelpoisia, toisin sanoen osoitettu trikotomian ominaisuuden (katso yllä) kieltäminen. Cantorin julkaisema ja julkaistu samana vuonna, muutama kuukausi Burali-Forin muistiinpanon jälkeen. Tämän tuloksen todistamiseksi Burali-Forti esittelee käsityksen täydellisesti järjestetystä joukosta , jonka hän virheellisesti ajattelee vahvemmaksi kuin hyvin järjestetyn sarjan (jonka Cantor esitteli vuonna 1883). Sitten hän määrittelee ordinaalit täydellisesti järjestettyjen sarjojen järjestystyypeiksi. Se tilaa "ordinaaliensa" luokan seuraavasti: järjestetty joukko ( A , < A ) on ehdottomasti pienempi kuin järjestetty joukko ( B , < B ), jos ( A , < A ) injektoidaan ( B , < B ), mutta ei kasvavaa bijektiota, mikä "todellisten" ordinaalien kohdalla vastaa yllä kuvattua alkuosan järjestystä. Sitten hän osoittaa, että jos oletetaan, että tämä järjestys on täydellinen (trikotomian ominaisuus), niin "tavallisten" luokka (hänen mielestään) on täysin järjestetty. Ei voida perustella induktiolla täydellisessä järjestyksessä, mutta tämä käsitys riittää, jotta Burali-Forti pystyy osoittamaan, että hänen määrittelemänsä ordinaalit eivät ole isomorfisia yhdelle oikeasta aloitusosasta, vaikka tämä onkin väärä tilauksia yleensä, ja kuten hän itse huomaa, mielestään oikeiksi tilauksiksi (hieman eri muodossa). Koska Burali-Forti ajattelee kuitenkin, että täydelliset tilaukset ovat hyviä tilauksia, hän voi silti päätellä, että trikotomiaominaisuus on heille väärin.
Burali-Forin päättely on siis edellä kuvattu, vaikka viimeksi mainittu ei soveltaisi sitä oikeaan käsitteeseen ja tekee siksi väärän johtopäätöksen "todellisista" hyvistä tilauksista, mutta vain tilauksista. Täydellinen tai mitä hän uskoo olla oikeita tilauksia. Burali-Forin tavanomaisia järjestyksiä, jotka liittyvät täydellisiin tilauksiin, ei todellakaan ole täysin järjestetty. Yksinkertaisesti, sen todistusta ei voida pitää hyväksyttävänä, sitä ei voida muodostaa kohtuullisessa joukko-teoriassa, koska se siirretään sellaisenaan oikeisiin ordinaaleihin, joiden tulos on väärä.
Muutaman samana vuonna samassa lehdessä julkaistun rivin muistiinpanossa (katso viitteet) Burali-Forti itse huomauttaa, että hän oli väärässä määritellessään hyvää järjestystä ja että täydellisen järjestyksen käsite on itse asiassa heikompi kunnossa Cantorin mielessä. Kiinnostavasti hän ei tee siitä johtopäätöksiä, paitsi että "lukija voi tarkistaa, mitkä huomautukseni ehdotukset [...] myös hyvin järjestetyt luokat vahvistavat". Hänen ajatuksensa, kuten jo sanottiin, pätee kuitenkin ongelmitta hyviin tilauksiin ja siten Cantorin mielestä tavallisiin papereihin, ja näyttää siltä, että tämä oli selvää melko nopeasti matemaatikoille, jotka olivat kiinnostuneita näistä ongelmista, mikä tekee Burali- Forti-paradoksi on joukko-teorian ensimmäinen tunnettu paradoksi huolimatta siitä, että Cantor saattoi tietää sen ennen vuotta 1897.
Määritelmät, joita Burali-Forti käyttääTäydelliset tilaukset näyttävät tuskin selänneen Burali-Forin muistiinpanoa. Tämä käsite on joka tapauksessa selvästi vähemmän hyödyllinen kuin hyvä järjestys ja siihen liittyvä induktioperiaate. Seuraavat määritelmät ovat siis lähinnä historiallisesti kiinnostavia. Emme noudata Burali-Forin terminologiaa tarkasti, vaikka se pysyikin riittävän ymmärrettävänä nykyaikaiselle lukijalle.
Kutsutaan täysin järjestetyssä joukossa olevan elementin seuraajaa pienimmäksi tämän elementin tiukoista ylärajoista: sitä ei välttämättä ole, mutta jos se on olemassa, se on todellakin ainutlaatuinen. Kutsutaan samalla tavalla elementin edeltäjää suurimmaksi tämän elementin tiukasta alarajasta (jos sellainen on).
Burali-Forti ajattelee virheellisesti, että hyvin järjestetty joukko ( E , <) on täysin järjestetty joukko, joka täyttää seuraavat kaksi ominaisuutta:
Täysin järjestettyjen joukkojen määrittämiseksi se lisää kolmannen ominaisuuden:
Miksi esitellä tämä kolmas ominaisuus? Burali-Forti antaa esimerkin järjestyksestä, joka täyttää kaksi ensimmäistä, mutta ei seuraavaa: riittää, kun päätetään kokonaislukujen kopio, jota seuraa kopio päinvastaisessa järjestyksessä, {0} × N ∪ {1 } × Z - leksikografisesti määrätty muodolliseksi. Jos otamme tämän järjestyksen seuraajan, sen, joka saadaan lisäämällä elementti "loppuun", {0} × N ∪ {1} × ( Z - ∪ {1}), on muodollinen, saadaan isomorfinen järjestys. Siksi emme voi toivoa osoittavan alkulohkon määrittelemien järjestettyjen joukoiden vertailujärjestyksen epäreflektiivisyyttä, ja vaikka Burali-Forti ei käytä tätä, sen on silti pystyttävä rakentamaan tiukka yläraja.
Toisaalta yllä oleva esimerkki ei täytä kolmatta ominaisuutta. Heti kun kolmas ominaisuus on varmistettu, järjestys ei voi olla isomorfinen seuraajalleen. Joko alkuperäisessä järjestyksessä ei ollut suurempaa elementtiä, mutta seuraavalla järjestyksellä on välttämättä yksi, tai sillä oli suurempi elementti, ja tulos saadaan tavanomaisella induktiolla (kokonaisluvuilla) elementteihin pienentämiseen tarvittavien iteraatioiden lukumäärästä ilman edeltäjää (yksi uusi iterointi on välttämätön seuraajajärjestykselle). Tämä osoittaa sen vuoksi, että täydellisesti järjestetyn joukon seuraaja on tiukka yläraja, ominaisuus, joka riittää Burali-Forti-argumentille (joka, muistakaamme, perustelee sen järjettömästi olettaen trikotomian ominaisuuden).
Hyvä tilaus on täydellinen tilaus: jos sitä ei olisi, elementin toistettujen edeltäjien jatko antaisi joukon ilman pienempää elementtiä. Tilaus on täydellinen, kun jokainen elementti elää jollain tavalla luonnollisten numeroiden kopiossa ja kun on pienempi elementti. Tämä ei riitä takaamaan hyvän tilauksen omistajuutta, koska ei ole mitään viitteitä siitä, että nämä kokonaislukujen kopiot ovat itse hyvin järjestettyjä. Esimerkiksi lisäämällä pienempi elementti Z × N: ään (sanastollisesti järjestetty), saadaan täydellinen järjestys, joka ei ole hyvä järjestys.
Löydämme paradoksi Burali-Forti (jälkimmäinen nimeä ei mainita) selitetty erityisen valoisa tavalla kaksi kirjettä Georg Cantor ja Dedekindin päivätty 1899. Cantor antaa ratkaisua, ja jos se ei todellakaan täytä peräisin itsestään selvää näkökulmasta on yhteensopiva joukko-teorian myöhemmän aksiomatisoinnin kanssa.
Cantor erottaa kaksi erilaista selvää monikertaa [ (de) bestimmte Vielheit], joita kutsumme luokiksi tänään .
Cantor kutsuu Ω: ta kaikkien ordinaalien järjestelmäksi. Se palauttaa mieleen trikotomian ominaisuuden ja sen, että Ω: n kaikilla ei-tyhjillä osilla on pienempi elementti. Koska järjestysmerkillä on saman tyyppinen järjestys (on isomorfinen) sitä tiukasti alhaisempien järjestysjoukkojen kanssa, se päättelee, että jos Ω olisi joukko, siis järjestysnumero, se olisi ehdottomasti suurempi kuin itse, jos ristiriita . Cantorille kaikkien ordinaalien luokka Ω on siis epäjohdonmukainen moninaisuus tai ehdottomasti ääretön, toisin sanoen enemmän tai vähemmän Burali-Forti-paradoksin tulkinta Zermelo-Fraenkel -joukkoteoriassa .
Jatkuvien ja epäjohdonmukaisten kerrannaisuuksien välinen ero, ellei se ole kovin muodollinen, ei ole amorfinen ja täysin ad hoc -käsite: Cantor toteaa ominaisuuden, jonka Van Heijenoort toteaa olevan versio korvaavasta aksiomajärjestelmästä , nimittäin että kaksi samanarvoista kerrannaisuutta eli sanoen bijection, ovat joko molemmat sarjat tai molemmat epäjohdonmukaisia. Cantor käyttää sitä osoittamaan, että alefien luokka, ordinaaleilla indeksoitu kardinaalisarja, on myös epäjohdonmukainen, mikä tunnetaan suurimpana kardinaalin paradoksina tai Cantorin paradoksina . On kuitenkin ongelma tietää, kuinka määrittää, onko hyvin määritelty moninaisuus johdonmukainen. Cantor itse kysyy kysymyksen Dedekindille lähettämässään kirjeessäElokuu 1899 : "[…] On mietittävä, mistä tiedän, että hyvin järjestetyt kerrannaisuudet tai sekvenssit, joille annan kardinaalinumerot […], ovat todella" sarjoja " . Cantor ehdottaa uusien aksiomien käyttöönottoa kardinaalien tapauksessa. Mutta jos joukko-teoria ei ole aksiomatisoitu, näyttää vaikealta mennä hyvin pitkälle tähän suuntaan.