Vaiheittainen toiminto

Yksinkertainen funktio on numeerinen funktio , jonka kuva koostuu äärellinen määrä todellinen (tai mahdollisesti kompleksi ) arvot ;
Porrasfunktio on yksinkertainen funktio määritellään on mitattavissa tila ja joka on itse mitattavissa toiminto ;
Vaihe toiminto on askel funktio määritelty joukko todellisia ja joiden arvot (todellinen) on vakio väliajoin : ne ovat siis toimintoja paloittain vakiona .

Kolmessa merkityksessä kukin näistä funktioista voidaan ilmaista lineaarisena (siten äärellisenä) yhdistelmänä ominaisfunktioista .

Näillä toiminnoilla on tärkeä rooli integraatioteoriassa :

järjestetään toimintoja varten Lebesgue kiinteä ;
portaat toimintoja varten Riemannin ja Kurzweilin-Henstock kiinteä .

Yhteinen ominaisuus

Ominaisuus - Funktio on yksinkertainen vain ja vain, jos se on ominaisfunktioiden lineaarinen yhdistelmä.

Todiste

Tarve :

Olkoon $f olla$ yksinkertainen funktio ja on k n arvot voi kestää. Olkoon k tarkoittavat vastavuoroinen kuva on {a k } , joka on . Koska A k ovat kaksi kerrallaan irtoamista , niin kaikille x : lle $f$ : n määritelmän alueella : ${\ displaystyle A_ {k} = f ^ {- 1} ({a_ {k}})}$

{\ displaystyle f (x) = \ summa _ {k = 1} ^ {N} a_ {k} 1_ {A_ {k}} (x).}

Vaiheittaisten toimintojen osalta huomataan, että A k on mitattavissa, koska $f: n$ oletetaan olevan.

Riittävyys:

Olkoon n joukkoa B k funktio $f, jonka$ määrittelee

{\ displaystyle f (x) = \ summa _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} 1_ {B_ {k}} (x)}

jossa annetaan n arvot b k .

Koska x voi samanaikaisesti kuulua useisiin B k (kun leikkauspisteet eivät ole tyhjä), määrä eri arvoja, jotka $f$ voi rajoittaa 2 n . Joten $f$ on yksinkertainen toiminto.

Toiminnoille yksinkertainen (vastaavasti porrastettu , portaikko ), seuraavat ominaisuudet johtuvat määritelmä ja edellisen ominaisuus:

Yksinkertainen funktio on muodon ominaisfunktioiden lineaarinen yhdistelmä

{\ displaystyle f (x) = \ summa _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} (x)}

jossa

1

, ...,

n

on äärellisen sekvenssin joukkoja ja

1

, ...,

n

on rajallinen sekvenssi arvoja ℝ (tai ℂ).

Edellisen relaation avulla ilmaistujen mahdollisten esitysten joukossa on tietty (kutsutaan kanoniseksi ), jolle
- joukot $A k$ ovat kaksi tai kaksi disjointia,
- arvot $a k$ ovat erilliset eivätkä nollat,
- $n = 0$ vain ja vain, jos $f = 0$ .
Kahden yksinkertaisen funktion summa tai tulo tai todellisen (tai kompleksin) yksinkertaisen funktion tulo ovat aina yksinkertaisia funktioita.
Yksinkertaisten funktioiden joukko muodostaa ℝ (tai ℂ) - kommutatiivisen algebran ja vielä enemmän vektoriavaruuden .
Kanonisen esityksen joukot $A$ $k$ ovat mitattavissa porrastetulle toiminnolle , joka on siis mitattavissa ja määritelty mitattavissa olevassa tilassa . ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$

Porrastettujen toimintojen tiheys

Lause -

Mikä tahansa positiivinen mitattavissa toiminto on yksinkertainen raja , joka yhä sekvenssin porrastettu toimintoja.
Mikä tahansa mitattavissa oleva toiminto on yksinkertainen vaiheistettujen toimintojen raja.
Mikä tahansa rajattu mitattava toiminto on tasainen funktioiden raja .

Esittely

1 : Olkoon $f$ positiivinen mitattava funktio. Tahansa luonnollinen luku $n$ , $[0, + \infty]$ on jaettu $n n = 2 2 n + 1$ osa-välein määritelty

{\ displaystyle I_ {n, k} = \ vasen [{\ frac {k-1} {2 ^ {n}}}, {\ frac {k} {2 ^ {n}}} \ oikea [}

kun

1 \leq k \leq N n - 1

{\ displaystyle I_ {n, N_ {n}} = [2 ^ {n}, + \ infty].}

Me määrittelemme mitattavissa sarjaa $n$ $,$ $k$ $=$ $f$ $-1$ $($ $I$ $n$ $,$ $k$ $)$ varten $1 \leq$ $k$ $\leq$ $N$ $n$ .

Toimintojen sarja

{\ displaystyle f_ {n} = \ summa _ {k = 1} ^ {N_ {n}} {\ frac {k-1} {2 ^ {n}}} {\ mathbf {1}} _ {A_ { n, k}}}

on sitten kasvamassa ja yksinkertaisesti yhtenee $f: ään$ .

2 välittömästi päätellä 1 , koska positiiviset ja negatiiviset osat mitattavissa funktion mitattavissa.

3 : positiiviselle funktiolle $f, jota$ rajoittaa $y > 0$ , kohdassa 1 kehitetty rakenne antaa meille mahdollisuuden todeta tämä

{\ displaystyle | f (x) -f_ {n} (x) | \ leq 2 ^ {- n}}

heti

2 n > y

. Siksi yhtenäinen lähentyminen on tyydyttävä.

Mitä tahansa rajoitettua toimintoa varten kohdassa 2 esitetty hajoaminen antaa meille mahdollisuuden päättää.

Vaiheittaisen toiminnon integrointi

In mittaus teoria , määritellään kiinteä positiivisen vaiheen funktio on yksi ensimmäisistä johtavat vaiheet määritelmän kiinteä suhteessa positiivinen mittaus .

Anna olla mitattu tila . Kaikelle, mitä määrittelemme ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle A \ paikassa {\ mathcal {A}},}$

${\ displaystyle \ int 1_ {A} \, d \ mu = \ mu (A).}$

Positiiviselle porrastetulle toiminnolle integraalin lineaarisuus asettaa seuraavan suhteen: ${\ displaystyle f (x) = \ summa _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} (x),}$

${\ displaystyle \ int f \, d \ mu = \ summa _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}).}$

Jotta tälle suhteelle annettaisiin määritelmän tila, on suositeltavaa varmistaa sen johdonmukaisuus tarkistamalla, että positiivisen porrastetun funktion integraali on riippumaton sen esityksestä ominaisfunktioiden lineaarisen yhdistelmän muodossa.

Esittely

Eri tavalla riittää sen tarkistaminen ${\ displaystyle \ summa _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} = 0 \ Rightarrow \ summa _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}) = 0.}$ Mitään n -tuple $ε$ elementtien yhtä kuin ± 1, huomautus $B ε$ risteyksessä $k$ $ε$ $k$ , jossa $k$ $+ 1$ merkitsee joukon $k$ ja $k$ $-1$ nimeää sen komplementaarisen on $X$ . Siksi $B$ $ε$ ovat kaksi tai kaksi disjoittia, joista kukin $A$ $k$ on niiden liitos, joiden $ε$ $k$ $= 1$ , ja sen mitta on näiden $B$ $ε: n mittojen$ summa . Hypoteesi ${\ displaystyle \ summa _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} = 0}$ sitten kirjoitettu uudelleen ${\ displaystyle \ sum _ {\ varepsilon} a _ {\ varepsilon} {\ mathbf {1}} _ {B _ {\ varepsilon}} = 0 {\ text {with}} a _ {\ varepsilon} = \ summa _ {\ varepsilon _ {k} = 1} a_ {k},}$ että on kaikkien $ε$ , $B ε$ on tyhjä tai $ε$ on nolla. Joten meillä on ${\ displaystyle \ summa _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}) = \ summa _ {\ varepsilon} a _ {\ varepsilon} \ mu (B _ {\ varepsilon} ) = 0.}$

Sitten tarkistamme, että tämä kartta ∫ on lineaarinen ja että se kasvaa (jos $f \leq g,$ sitten $\int f d μ \leq \int g d μ$ ) heti, kun $μ$ on positiivinen mitta .

Erityistapauksessa, jossa $X$ on todellinen segmentti, joka toimitetaan Lebesgue-mittarilla , ∫ määritetään erityisesti porrastetuille funktioille ja täyttää Chasles-suhteen .

Segmentin portaikkotoiminnon integraali

Vaiheittaiset toiminnot ovat Lebesgue'n integraatioteorian kannalta, mitä porrastetut toiminnot ovat Riemannin tai Kurzweil-Henstockin integraatiolle.

Esimerkiksi, tietyssä tapauksessa, jossa $1$ $, ...,$ $n$ ovat vierekkäisiä välein sama pituus $Δ$ , ja jossa $i$ ovat arviointien funktion $g$ keskellä välein $i$ , ilmaisu on Riemannin summan erityistapaus . ${\ displaystyle I_ {n} = \ Delta \ summa _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}$

Yleensä tietyllä aikavälillä portaikkotoimintoja voidaan pidentää 0: lla yli ℝ kokonaisluvun, mikä antaa mahdollisuuden päästä eroon intervallista ja harkita yksittäisiä toimintoja.

Huomautuksia

Portaikkotoiminnossa joukot $A k$ ovat rajallisen määrän välien yhdistelmä.
$I$ $n$ on myös approksimaatio, jota käytetään yleisesti integraalin numeerisessa laskennassa , joka tunnetaan paremmin keskipistemenetelmän nimellä .