Rauzy-fraktaali

Fraktaali Rauzy (tai maskuliininen "jonka Rauzy fraktaali") on luku fraktaali liittyy vaihdosta Tribonacci: , , . Tämän tutkimuksen suoritti vuonna 1981 Gérard Rauzy , jonka tarkoituksena oli yleistää Fibonacci-substituution dynaamiset ominaisuudet . Tämä fraktaali yleistyy muihin kolmikirjaimisiin korvauksiin, jolloin syntyy muita mielenkiintoisten ominaisuuksien sisältäviä lukuja (tason säännöllinen laatoitus, itsesamankaltaisuus 3 homoteettisessa osassa jne.). s(1)=12{\ displaystyle s (1) = 12}s(2)=13{\ displaystyle s (2) = 13}s(3)=1{\ displaystyle s (3) = 1}

Määritelmät

Sana ääretön Tribonacci on rakennettu mukaan kyseinen substituutio Tribonacci: , , . Vuodesta 1 peräkkäiset Tribonacci-sanat ovat siis: s(1)=12{\ displaystyle s (1) = 12}s(2)=13{\ displaystyle s (2) = 13}s(3)=1{\ displaystyle s (3) = 1}

• t0=1{\ displaystyle t_ {0} = 1}
• t1=12{\ displaystyle t_ {1} = 12}
• t2=1213{\ displaystyle t_ {2} = 1213}
• t3=1213121{\ displaystyle t_ {3} = 1213121}
• t4=1213121121312{\ displaystyle t_ {4} = 1213121121312}

Se osoittaa, että siitä , joten nimi " Tribonacci ". ei>2{\ displaystyle n> 2}tei=tei-1tei-2tei-3{\ displaystyle t_ {n} = t_ {n-1} t_ {n-2} t_ {n-3}}

Tarkastellaan nyt tilaa , joka on varustettu orthonormaalilla viitekehyksellä. Rauzy fraktaali rakennetaan sitten seuraavasti: R3{\ displaystyle R ^ {3}}

1) Tulkitse Tribonaccin äärettömän sanan kirjainsekvenssi avaruusyksikkövektoreiden jaksona säännön mukaisesti: (1 = suunta x, 2 = suunta y, 3 = suunta z).

2) Rakenna sitten "portaikko" piirtämällä tämän vektorisekvenssin saavuttamat pisteet. Esimerkiksi ensimmäiset kohdat ovat:

• 1⇒(1,0,0){\ displaystyle 1 \ Rightarrow (1,0,0)}
• 2⇒(1,1,0){\ displaystyle 2 \ Rightarrow (1,1,0)}
• 1⇒(2,1,0){\ displaystyle 1 \ Rightarrow (2,1,0)}
• 3⇒(2,1,1){\ displaystyle 3 \ Rightarrow (2,1,1)}
• 1⇒(3,1,1){\ displaystyle 1 \ Rightarrow (3,1,1)}

jne. Jokainen piste voidaan värittää vastaavan kirjaimen arvon mukaan, jotta korostettaisiin samanlaisuutta.

3) Projisoi sitten nämä pisteet supistuvaan tilaan (taso, joka on kohtisuorassa näiden pisteiden yleiseen etenemissuuntaan nähden, yksikään heijastetuista pisteistä ei pääse äärettömyyteen). Rauzy-fraktaali on tämän sarjan sulkeminen.

Ominaisuudet

• Voidaan peittää kolme kopioita itsestään, pienensivät muun , ja jossa ratkaisu : .k{\ displaystyle k}k2{\ displaystyle k ^ {2}}k3{\ displaystyle k ^ {3}}k{\ displaystyle k}k3+k2+k-1=0{\ displaystyle k ^ {3} + k ^ {2} + k-1 = 0}k=13(-1-217+3333+17+3333)=0.54368901269207636{\ displaystyle \ scriptstyle {k = {\ frac {1} {3}} (- 1 - {\ frac {2} {\ sqrt [{3}] {17 + 3 {\ sqrt {33}}}}} + {\ sqrt [{3}] {17 + 3 {\ sqrt {33}}}}) = 0,54368901269207636}}
• Vakaa palojen vaihdolla. Saamme saman kuvan muuttamalla kolmen kopion paikkaa.
• Liittyvät ja yksinkertaisesti liittyvät. Ei reikää.
• Säännöllinen päällystys käännöksellä: Voi tasoittaa koneen käännöksellä, ajoittain.
• Matriisi Tribonacci korvaaminen on niin tunnusomainen polynomi , sen ominaisarvot on todellinen numero , kutsutaan Tribonacci vakio , joka on Pisot numero , ja kaksi konjugaattikompleksit ja kanssa .x3-x2-x-1{\ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}β=1,8392{\ displaystyle \ beta = 1.8392}a{\ displaystyle \ alfa}a¯{\ displaystyle {\ bar {\ alpha}}}aa¯=1/β{\ displaystyle \ alpha {\ bar {\ alpha}} = 1 / \ beta}
• Sen raja on fraktaali ja Hausdorffin ulottuvuus on 1,0933 (ratkaisu ).2|a|3s+|a|4s=1{\ displaystyle 2 | \ alpha | ^ {3s} + | \ alpha | ^ {4s} = 1}

Vaihtoehdot ja yleistys

Minkä tahansa Pisot-tyyppisen ja unimodulaarisen substituution suhteen, joka tarkistaa lisäksi tietyn ehdon, jota kutsutaan sattumaksi (näyttää aina olevan todennettu, näyttää siltä), voimme rakentaa samanlaisen joukon, jota kutsutaan substituution Rauzy-fraktaaliksi . Ne ovat kaikki samanlaisia ​​ja tuottavat alla oleville esimerkeille jaksollisen tilan laatoituksen.

• s (1) = 12, s (2) = 31, s (3) = 1

• s (1) = 12, s (2) = 23, s (3) = 312

• s (1) = 123, s (2) = 1, s (3) = 31

• s (1) = 123, s (2) = 1, s (3) = 1132

Viitteet ja lähdeluettelo

1. G. Rauzy, algebralliset numerot ja korvaukset, Bulletin of the Mathematical Society of France, 110: 147-178, 1982
2. A.Messaoudi, Rauzy Fractal Frontier and Complex Number System, Acta Arithmetica, 2000

Katso myös

• Luettelo fraktaaleista
• Tribonacci-sviitti

Ulkoiset linkit

• Rauzy-fraktaali, esittely ja ominaisuudet, kirjoittanut Anne Siegel
• Rauzy-fraktaalien topologiset ominaisuudet
• Korvausten geometria, Pierre Arnoux ja Anne Siegel, 2004