Brunt-Väisälän taajuus

Brunt-Väisälä (tai Brunt-Vaisala ) taajuus on värähtelytaajuus, joka on siirretty pystysuorassa nesteen hiukkanen stabiilissa ympäristössä noin alkuasentoonsa parametrisoituina David Brunt ja Vilho Väisälä . Se vastaa painovoima-aallon taajuutta, jolla on erittäin tärkeä rooli geofysikaalisten virtausten energianvaihdossa , erityisesti ilmakehän dynamiikassa ja fyysisessä merentutkimuksessa . Esimerkiksi muiden parametrien joukossa Brunt-Väisälän taajuus säätelee kumpupilvien tai altocumulus lenticularis -kadun korkeutta ja etäisyyttä vuorista alavirtaan, samoin kuin avomeren turpoavien harjujen välillä .

Teoria

Brunt-Väisälän värähtelyn ja taajuuden käsite syntyy soveltamalla toista Newtonin kolmesta laista stabiilisti vertikaalisesti kerrostuneessa väliaineessa. Kerrostuneiden nesteiden värähtelyluonne voidaan selittää ajattelemalla nestepartikkelia, jonka tiheys kasvaa syvyyden mukana. Kun se siirretään pystysuoraan tasapainotilasta, sen tiheys muuttuu suuremmaksi tai heikommaksi kuin ympäröivä neste ja ilmestyy ylimääräinen palautumisvoima, painovoima tai Archimedean työntövoima ja pyrkii palaamaan takaisin tasapainopisteeseen. Yleensä hiukkanen ylittää tasapainon palatessaan, koska voima on aiheuttanut kiihtyvyyden. Tämä ylläpitämä ilmiö laukaisee värähtelyn, jonka taajuus on:

{\ displaystyle N \ equiv {\ sqrt {- {\ frac {g} {\ rho _ {\ theta}}}} {\ frac {d \ rho _ {\ theta}} {dz}}}}}

missä on paikallinen painovoiman kiihtyvyys , on paketin siirtymä ja potentiaalitiheys määritellään tiheydeksi, jonka nestepaketti siirtyi adiabaattisesti vertailupaineessa (valitaan usein baariksi l'-maan ilmakehän tapauksessa). $g$ ${\ displaystyle dz}$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ theta}}$ $p _ {{0}}$

Jotta ideaalikaasu , olemme tasa: missä on tiheys , paine ja adiabaattinen indeksi ilman. Tavallisilla termodynaamisilla muuttujilla voimme siis kirjoittaa ${\ displaystyle \ rho _ {\ theta} = \ rho \ kertaa \ vasen ({\ frac {p_ {0}} {p}} \ oikea) ^ {\ frac {1} {\ gamma}}}$ $\ rho$ $s$ ${\ displaystyle \ gamma = {7 \ yli 5}}$

{\ displaystyle N_ {GP} = {\ sqrt {g \ left ({\ frac {1} {\ gamma}} {\ frac {d \ ln {p}} {dz}} - {\ frac {d \ ln {\ rho}} {dz}} \ oikea)}}}

Tämän taajuuden laskeminen on yksi tapa tietää ilman vakaus:

värähtely tapahtuu vain ja vain , toisin sanoen, jos neliöjuuren alla oleva luku on positiivinen ja neliöjuuri on siis todellinen . Tämä edellyttää, että se on negatiivinen, mikä johtaa siihen, että tiheysgradientti on negatiivinen (väliaineen kerrostumisen on oltava sellainen, että tiheys pienenee korkeuden mukana); muuten juuren alla oleva luku on negatiivinen ja neliöjuuri on puhdas kuvitteellinen luku . Fyysinen tulkinta on, että värähtely haihtuu, kuten tapahtuu nesteessä, jonka kerrostuminen ei ole vakaa ja jossa tapahtuu konvektiota : siirtyvä paketti muuttuu esimerkiksi vähemmän tiheäksi kuin ympäristö ja kiihtyy samaan suuntaan kuin alkuperäinen siirtymä ( ei värähtelyä); ${\ displaystyle \ scriptstyle N ^ {2}> 0}$ ${\ displaystyle \ käsikirjoitus (d \ rho / dz)}$
kyllä , vakaus on "neutraali", koska se tarkoittaa, että tiheydessä ei ole vaihtelua. Siirretty paketti pysyy uudella korkeudella (ilmakehässä) tai syvyydessä (meressä) siirron jälkeen. ${\ displaystyle \ käsikirjoitus N = 0}$

Ilmassa

Tiheys riippuu suoraan ilmapaketin lämpötilasta ja vesihöyrypitoisuudesta . Antaa lämpötilan mahdollinen . Yhtälöstä tulee tässä ympäristössä: ${\ displaystyle \ textstyle \ theta}$

{\ displaystyle N \ equiv {\ sqrt {{\ frac {g} {\ theta}} {\ frac {d \ theta} {dz}}}}}

, missä on korkeus maanpinnasta.

z

Tyypillisessä maapallon ilmakehässä N: n arvo on 0,012 s −1 . Värähtelyjakso on luokkaa kahdeksan minuuttia. ${\ displaystyle \ textstyle 2 \ pi / N}$

Brunt-Väisälän kaavan esittely ilmakehässä Teoreettinen malli

Osoitetaan, että vakaassa ilmamassassa ilmapaketti, jolle häiriö on aiheutunut, värähtelee pystysuoraan taajuudella N, jonka määrittelee:

{\ displaystyle N = {\ sqrt {{g \ over \ theta (z)} \ kertaa {\ partituali \ theta (z) \ over \ osittainen z}}}}

missä on potentiaalilämpötila korkeudessa z . Sitten määritellään Froude-luku, joka johdetaan tässä osiossa perustetusta yhtälöstä. Tämä Froude-luku ennustaa estävän ilmiön olemassaolon (tai olemattomuuden). Seuraava yksityiskohtainen esittely perustuu viitteeseen. ${\ displaystyle \ theta (z)}$

Tarkastellaan pinnan säätötilavuutta S korkeuden z ja korkeuden z + δ z välillä, jossa δ z on äärettömän pieni määrä . Oletetaan, että paine korkeudessa z on p (z) ja korkeudessa z + δ z , paine on p (z + δ z) . Olkoon ρ ilman tiheys. Ilmapaketin massa on siis m = ρ S δ z . Lentopakettiin kohdistuvat voimat ovat:

alapinnan paine: p (z) S

yläpinnan paine: - p (z + δ z) S

painovoima: - g ρ S δ z

Lentopakettiin kohdistuva voima on siis:

{\ displaystyle \ delta F = p (z) Sp (z + \ delta z) Sg \ rho S \ delta z}

Lentopaketin kiihtyvyys a on siis:

{\ displaystyle ma = F = p (z) Sp (z + \ delta z) Sg \ rho S \ delta z}

Saamme siten (huomataan, että δ z on äärettömän pieni):

{\ displaystyle \ rho S \ delta za = p (z) S- \ vasen (p (z) + {\ osittainen p \ yli \ osittainen z} \ delta z \ oikea) Sg \ rho S \ delta z}

Voimme yksinkertaistaa ja siksi:

{\ displaystyle \ rho a = - {\ osittainen p \ yli \ osittainen z} -g \ rho}

Olkoon ρ₀ lisäksi ulkoilman tiheys. Meillä on

{\ displaystyle p (z + \ delta z) = p (z) - \ rho _ {0} g \ delta z}

Siksi,

{\ osittainen p \ yli \ osittainen z} = - g \ rho _ {0}

Lopuksi,

{\ displaystyle \ rho a = g \ rho _ {0} -g \ rho}

Ja niin:

{\ displaystyle a = g {\ rho _ {0} - \ rho \ over \ rho}}

Käytämme ihanteellista kaasulakia . Meillä on

{\ displaystyle p = \ rho (C_ {p} -C_ {v}) T}

missä T on ilmapaketin absoluuttinen lämpötila ja Cp ja Cv ovat ominaislämmityksiä vakiopaineessa tai -tilavuudessa. Siksi,

{\ displaystyle \ rho = {p \ yli (C_ {p} -C_ {v}) T}}

Paine ilmapaketti po on yhtä suuri kuin paine ulkoisen ympäristön s . Olkoon T₀ ulkolämpötila. Siksi :

{\ displaystyle \ rho _ {0} = {p \ over (C_ {p} -C_ {v}) T_ {0}}}

Siksi saamme:

{\ displaystyle a = g {p / T_ {0} -p / T \ yli p / T}}

Siksi,

{\ displaystyle a = g {T-T_ {0} \ yli T_ {0}}}

Ilma on piimaakaasu ja siksi:

{\ displaystyle {C_ {p} \ yli C_ {v}} = \ gamma = {7 \ yli 5}}

Määritämme potentiaalilämpötilan seuraavasti: $\ theta$

{\ displaystyle \ theta = T \ vasen ({p_ {mer} \ yli p} \ oikea) ^ {\ gamma -1 \ yli \ gamma}}

Mahdollinen lämpötila on siis se lämpötila, ilman paketti olisi, jos se oli pakattu adiabaattisesti standardin paine merenpinnan tasolla. Koska ilma paketti paine on sama kuin ulkoinen paine, jos ja ovat vastaavien mahdollisia ilman lämpötila paketti ja ulkoilmasta, meillä on: $\ theta$ $\ theta _ {0}$

{\ displaystyle {\ theta \ over T} = {\ theta _ {0} \ over T_ {0}} = \ left ({p_ {mer} \ over p} \ right) ^ {\ gamma -1 \ over \ gamma}}

Siksi saamme:

{\ displaystyle a = g {\ theta - \ theta _ {0} \ over \ theta _ {0}}}

Tarkemmin sanottuna kirjoitamme:

{\ displaystyle a (z) = g {\ theta (z) - \ theta _ {0} (z) \ over \ theta _ {0} (z)}}

Samoin:

{\ displaystyle a (z + \ delta z) = g {\ theta (z + \ delta z) - \ theta _ {0} (z + \ delta z) \ over \ theta _ {0} (z + \ delta z)}}

Siksi,

{\ displaystyle a (z + \ delta z) -a (z) = g {\ theta (z + \ delta z) - \ theta _ {0} (z + \ delta z) \ over \ theta _ {0} (z + \ delta z)} - g {\ theta (z) - \ theta _ {0} (z) \ over \ theta _ {0} (z)}}

Siksi,

{\ displaystyle a (z + \ delta z) -a (z) = g \ left ({\ theta (z + \ delta z) \ over \ theta _ {0} (z + \ delta z)} - {\ theta (z) \ over \ theta _ {0} (z)} \ oikea)}

Lentopaketti on nouseva adiabaattisesti ja siksi: ja siksi: ${\ displaystyle \ theta (z + \ delta z) = \ theta (z) = \ theta}$

{\ displaystyle a (z + \ delta z) -a (z) = g \ theta \ left ({1 \ over \ theta _ {0} (z + \ delta z)} - {1 \ over \ theta _ { 0} (z)} \ oikea)}

Panemme merkille tämän ja siksi: ${\ displaystyle \ theta \ approx \ theta _ {0} (z)}$

{\ displaystyle a (z + \ delta z) -a (z) \ noin - {1 \ yli \ theta _ {0}} g {\ osittainen \ theta _ {0} (z) \ yli \ osittainen z} \ delta z}

Oletetaan nyt, että se ei riipu z: stä ja on siksi yhtenäinen. Määritämme määrän N² seuraavasti: ${\ displaystyle {1 \ over \ theta (z)} \ kertaa {\ partituali \ theta (z) \ over \ osittainen z}}$

{\ displaystyle {g \ over \ theta (z)} \ kertaa {\ partituali \ theta (z) \ over \ osittainen z} = N ^ {2}}

Siksi meillä on ensimmäinen arvio:

{\ displaystyle a (z + \ delta z) -a (z) = - N ^ {2} \ delta z}

Panemme merkille, että:

{\ displaystyle a (z + \ delta z) = a (z) + a '(z) \ delta z + \ delta z \ \ epsilon}

missä ε on äärettömän pieni luku. Siksi saamme:

{\ displaystyle a (z) + a '(z) \ delta z + \ delta z \ epsilon -a (z) = a (z + \ delta z) -a (z) = - N ^ {2} \ delta z}

Joukko on hyperreaaliluku on kenttä ja sen vuoksi voimme jakaa yllä mainitun yhtälön mukaan Az ja siksi, ${\ displaystyle ^ {*} {\ mathbb {R}}}$

{\ displaystyle a '(z) + \ epsilon = -N ^ {2}}

Eliminoimalla ε, joka on äärettömän pieni, saadaan näin:

{\ displaystyle a '(z) = - N ^ {2}}

Integroimalla tämä yhtälö saadaan siis:

{\ displaystyle a (z) = - N ^ {2} z + vakio}

Meillä on sama ${\ displaystyle \ forall h \ kohteessa {\ mathbb {R}}}$

{\ displaystyle a (z + h) = - N ^ {2} (z + h) + vakio}

ja niin :

${\ displaystyle a (z + h) -a (h) = - N ^ {2} h}$

Määritelmän mukaan:

{\ displaystyle a (z + h) = {d ^ {2} (z + h) \ over dt ^ {2}} \ qquad a (z) = {d ^ {2} z \ over dt ^ {2} }}

Sitten saadaan seuraava lineaarinen differentiaaliyhtälö :

{\ displaystyle {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = a (z + h) -a (z) = - N ^ {2} h}

Tämän differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on kirjoitettu:

{\ displaystyle h (t) = a \ cos (Nt) + b \ sin (Nt)}

missä a ja b ovat 2 vakiota lähtöolosuhteista riippuen.

Oletetaan, että kun t = 0 , ilmapaketin pystysuuntainen nopeus on w ja h = 0 . Yllä olevan differentiaaliyhtälön ratkaisu on kirjoitettu:

{\ displaystyle h (t) = {w \ yli N} \ sin (Nt)}

Maksimitaipuma korkeus ilmapaketti on w / N . Näin ollen, kun ilman massan horisontaalista nopeutta u kohtaa vuori, jonka korkeus on h> u / N , ilmamassa ei voi ylittää vuori ja me on, että läsnä on esto ilmiö ylävirran. Estoilmiön olemassaolon tai olemattomuuden kriteeri määräytyy Froude- meteorologisen luvun arvon perusteella, joka määritetään seuraavasti:

{\ displaystyle Fr = {u \ yli Nh}}

Jos Froude-luku on suurempi kuin 1, estoa ei ole ja muuten esto on olemassa.

Määrä N määritetään seuraavasti:

{\ displaystyle N = {\ sqrt {{g \ over \ theta (z)} \ kertaa {\ partituali \ theta (z) \ over \ osittainen z}}}}

kutsutaan Brunt-Väisälän taajuudeksi .

Digitaalinen sovellus

Vakiotilanteessa adiabaattinen gradientti on g / C_p = 9,75 K / km ja meillä on d T / dz = - 6,5 K / km . Joten meillä on

{\ displaystyle {d \ theta \ over dz} = 9,75–6,5 = 3,25 kt / km}

Siksi saamme:

{\ displaystyle N = {\ sqrt {9.81 \ kertaa 3,25 \ 10 ^ {- 3} \ yli 287,15}} = 0,012 s ^ {- 1}}

Meressä

Meressä, in situ tiheys riippuu lämpötilasta T , suolapitoisuus S ja paine p : . $\ käsikirjoitus \ rho$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho (T, S, p (z))}$

Tiheyden vaihtelu ei ole lineaarinen lämpötilan kanssa (suolattoman veden suurin tiheys on 4 ° C ja tiheys muuttuu yhtäkkiä pintajäässä muun muassa). Kun nestepartikkelia siirretään vertikaalisesti adiabaattisesti (ts. Ilman T: n ja S: n muuttamista), tason muutoksesta johtuva tiheyden muutos on: ${\ displaystyle \ textstyle \ delta \ rho}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ delta z}$

${\ displaystyle \ delta \ rho = \ rho _ {0} \ gamma {\ frac {dp} {dz}} \ delta z}$

Tai:

${\ displaystyle \ textstyle \ gamma = {\ frac {1} {\ rho _ {0}}} {\ frac {\ partituali \ rho} {\ osittainen p}}}$ on puristettavuus;
${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {dp} {dz}}}$ on paineen p vaihtelu syvyyden z kanssa kohti pintaa;
${\ displaystyle \ textstyle \ rho _ {0}}$ on keskimääräinen tiheys ( Boussinesqin likiarvon vuoksi yleensä niin, että hiukkasen liikkuessa kohti pintaa ( ) tiheys pienenee ( koska koska z on suunnattu pintaa kohti). ${\ displaystyle \ textstyle \ rho _ {0} = 1 \ 027 {\ frac {kg} {m ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ delta z> 0}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ delta \ rho <0}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {dp} {dz}} <0}$

Juuri tätä paineen muokkaamaa tiheyttä on verrattu ympäröivään tiheyteen, jotta saadaan Brünt-Väisälän taajuus:

${\ displaystyle N ^ {2} = - g \ vasen (g \ rho _ {0} \ gamma + {\ frac {1} {\ rho _ {0}}} {\ frac {\ partituali \ rho} {\ osittain z}} \ oikea)}$

Tämä kaava voidaan kirjoittaa myös paikallisesti viitattuun potentiaalitiheyteen : ${\ displaystyle \ textstyle \ sigma _ {z_ {ref}} \ equiv \ rho (T, S, p (z_ {ref}))}$

${\ displaystyle N ^ {2} (z) = - {\ frac {g} {\ rho _ {0}}} \ vasen ({\ frac {\ partituali \ sigma _ {z}} {\ osittainen z}} \ oikea)}$

Ominaisuudet

Gravitaatioaaltojen on useita ominaisuuksia, jotka tulkitaan niiden taajuus, joista voimme todeta:

näiden aaltojen etenemissuunta riippuu pakotuksen taajuudesta ja myös paikallisesta Brunt-Väisälän taajuudesta (paikallinen tiheyskerrostus);
vaihe nopeus (nopeus aaltorintaman etenemisen) ja ryhmä nopeus (nopeus, jolla aalto energiaa siirretään) sisäisten aallot ovat kohtisuorassa.

Käyttämällä Boussinesqin approksimaatio , voimme löytää hajonta suhde aaltojen tuottamat:

${\ displaystyle \ omega = \ pm N \ cos {(\ Theta)}}$ missä käytetään viritystaajuutta, on Brunt-Väisälän taajuus ja etenemisvektorin kulma vaakatasoon nähden. $\ omega$ $EI$ $\ Theta$

Bibliografia

Holton, James R., Johdatus Dynamic Meteorology, 4 th edition , New York, Academic Press, 535 s. ( ISBN 978-0-12-354015-7 ja 0-12-354015-1 , lukea verkossa ) , s. 50 - 53
Lighthill, J., Aallot nesteissä , Cambridge University Press,1978
Mowbray, DE ja BSHRarity, ” Teoreettinen ja kokeellinen tutkimus vaiheen kokoonpanon sisäisen aallot pieni amplitudi tiheys ositettu neste ”, Journal of Fluid Mechanics , n o 28,1967, s. 1-16
Rogers, RR ja Yau, MK, lyhyen radan Cloud fysiikan, 3 th edition , Butterworth-Heinemann,1. st tammikuu 1989, 304 Sivumäärä ( ISBN 0-7506-3215-1 ) , s. 30-35EAN 9780750632157
Tritton, DJ, fyysisen nesteen dynamiikka. 2 toinen painos , Oxford University Press,1988

Huomautuksia ja viitteitä

Rogers ja Yau, s. 33-35
(in) James R Holton, Johdatus dynaaminen meteorologia (neljäs painos) , vol. 88, Amsterdam, Elsevier Academic Press, 2004, 526 Sivumäärä ( ISBN 0-12-354015-1 , lue verkossa ) , s. 52
(sisään) GK Vallis, Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics , Cambridge,2006

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Ulkoinen linkki

Hydrodynamiikan laboratorio, “ Sisäiset painovoima-aallot ” , École Polytechnique (Ranska) (käytetty 23. lokakuuta 2008 ) .