Noetherin normalisoituminen

In kommutatiivinen algebra , lemman Noether normalisointi , koska saksalainen matemaatikko Emmy Noether , on kuvaus rajallinen tyyppi algebran on elin .

Kommutatiivinen algebra on kiinnitetty äärellisen on elin (kommutatiivinen) K .

Osavaltiot

Noetherin normalisointilema : Algebra sisältää polynomien alaryhmässä ja on äärellinen . $AT$ ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ pistettä, X_ {d}]}$

Vastaavasti: On olemassa positiivinen tai nolla kokonaisluku d ja rajallinen injektio Homomorfismi on K -algebras Toisin sanoen, on olemassa niin, että mikä tahansa elementti on A kirjoitettu yhdistelmänä polynomeilla riippuvainen . ${\ displaystyle u: K [X_ {1}, \ pisteitä, X_ {d}] \ koukkuvarsi A.}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ pisteet, a_ {n} \ kohteessa A}$ ${\ displaystyle a = u (P_ {1}) a_ {1} + \ cdots + u (P_ {n}) a_ {n}}$ ${\ displaystyle P_ {1}, \ pisteet, P_ {n} \ muodossa K [X_ {1}, \ pisteet, X_ {d}]}$

Huomautukset

Kokonaisluku d on yhtä suuri kuin Krull ulottuvuus on . Jos A on integroitu , se on myös aste A: n rungon ylittäminen K: n yli .
On porrastettu versio Noetherin n normalisointi lemman: Olkoon BE valmistunut algebran yli kentän K , syntyy rajallinen määrä homogeenisen elementtejä tiukan positiivista astetta. Tällöin on olemassa positiivinen tai nolla kokonaisluku d ja K- asteisten algebrojen äärellinen injektiivinen homomorfismi.

{\ displaystyle K [X_ {1}, \ pisteitä, X_ {d}] \ koukkusarja A.}

Äärellinen homomorfismi merkitsee sitä, että jokainen elementti on on kokonaisluku yli , eli se täyttää polynominen suhde tyyppiä ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ pisteitä, X_ {d}] \ - A}$ ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ pistettä, X_ {d}]}$

{\ displaystyle a ^ {n} + P_ {n-1} a ^ {n-1} + \ pistettä + P_ {0} = 0}

kanssa . ${\ displaystyle P_ {i} \ muodossa K [X_ {1}, \ pisteitä, X_ {d}]}$

Luonnos todisteesta

Esitämme A : n polynomirenkaan osamääränä ideaalilla I, jonka voimme olettaa olevan nollasta poikkeava. Olemme mielivaltaisesti valita nollasta poikkeava elementti on I . Etsimme Muuttujanvaihdolla niin että muuttujat , P on yhtä ainoaa . Tämä muutos muuttuja on mahdollista , jossa on sopiva, kun K on ääretön. Tämä oli alkuperäinen todiste Noetheristä . Jos K on äärellinen (tai mielivaltainen), Nagatan ajatuksena on harkita tyypin muuttujien muutoksia luonnollisten kokonaislukujen sekvenssillä, joka kasvaa hyvin nopeasti. Kun tämä muuttujien muutos on löydetty, meillä on ${\ displaystyle K [T_ {1}, \ pisteitä, T_ {n}]}$ ${\ displaystyle P (T_ {1}, \ pisteitä, T_ {n})}$ ${\ displaystyle T_ {1} \ mapsto X_ {1}, \ pisteet, T_ {n-1} \ mapsto X_ {n-1}}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ pisteet, X_ {n-1}, T_ {n}}$ $T_ {n}$ ${\ displaystyle T_ {i} \ mapsto T_ {i} - \ lambda T_ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in K}$ ${\ displaystyle T_ {i} \ mapsto T_ {i} + T_ {n} ^ {m_ {i}}}$ $puolivälissä}$

{\ displaystyle K [X_ {1}, \ pisteet, X_ {n-1}] / (I \ cap K [X_ {1}, \ pisteet, X_ {n-1}]) \ A}

joka on injektoiva ja rajallinen. Sitten lopetetaan toistuminen n: llä .

Esimerkkejä

Algebran on valmis ta-polynomin algebran , generoidaan moduuli 1 ja Y . ${\ displaystyle K [X, Y] / (Y ^ {2} -X ^ {3} -1)}$ $K [X]$
Algebra on rajallinen polynomien alialgraan nähden (se syntyy moduulina 1: llä ja X: llä ). ${\ displaystyle K [X, 1 / X] = K [X, Y] / (XY-1)}$ ${\ displaystyle K [X + 1 / X]}$
Joko . Sitten homomorfismi , joka lähettää T: n x + y: n yli ( X: n kuva osamäärässä A ), on injektoiva ja äärellinen. ${\ displaystyle A = K [X, Y] / (XY)}$ ${\ displaystyle K [T] \ - A}$

Geometrinen merkitys

Mikä tahansa affininen algebrallinen jakotukki K: n yläpuolella on affiinisen avaruuden äärellinen (haarautunut) peite (ts. Affiniiniin liittyy surjektiivinen äärellinen morfismi ). ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {K} ^ {d}}$
Edellä esitetyt myöntää projektiivinen analoginen: mikä tahansa projektiivisen moninaiset ulottuvuus d yli K on äärellinen (haarautunut), joka peittää on projektiivisen tilaa . ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {K} ^ {d}}$

Erillinen jatke

Oletetaan, että A on olennainen. Normalisointilemman antama injektio indusoi fraktioiden kenttien rajallisen laajenemisen . Kun K on nollaominaisuus, laajennus on automaattisesti erotettavissa . Yleisessä tapauksessa meillä on: ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ pisteitä, X_ {d}] \ koukku oikealle A}$ ${\ displaystyle K (X_ {1}, \ pisteet, X_ {d}) \ - \ mathrm {Frac} (A)}$

Aina on olemassa injektiivinen äärellinen homomorfismi, joka indusoi erotettavan äärellisen jatkeen (tarvittavissa olosuhteissa, jotka ovat K: n erotettavissa oleva (transsendenttinen) jatke ). ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ pisteitä, X_ {d}] \ koukku oikealle A}$ ${\ displaystyle K (X_ {1}, \ pisteet, X_ {d}) \ - \ mathrm {Frac} (A)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Frac} (A)}$

Geometrinen kannalta, mitä tahansa affiinisia algebrallinen erilaisia V sisältää geometrisesti alennetussa ulottuvuus d myöntää morfismi valmiin surjective , joka on enemmän yleisesti erotettavissa (eli on olemassa avoin tiheä U on sellainen, että rajoitus on pinnoite levitteitä (in) ). ${\ displaystyle f: V \ to \ mathbb {A} _ {K} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {K} ^ {d}}$ ${\ displaystyle f: f ^ {- 1} (U) \ U}$

Sama väite pysyy voimassa korvaamalla V projektiivisellä lajikkeella (integroitu ja geometrisesti pienennetty) ja affiininen tila projisoidulla tilalla.

Yleistys

Jos on äärellinen tyyppiä kommutatiivinen rengas integroi R ja joka sisältää R , niin on olemassa f on R , ei-nolla, ja rajallinen injektio Homomorfismi ja R -algebras jälkeen lokalisointi

{\ displaystyle R_ {f} [X_ {1}, \ pisteitä, X_ {d}] \ koukkuvarsi A_ {f}}

Tällaista homomorfismia ei yleensä ole R: llä (harkitse esimerkiksi ja ). ${\ displaystyle R = K [X]}$ ${\ displaystyle A = R_ {X} = R [1 / X]}$

Esimerkkejä sovelluksista

Oletetaan, että myös elin, niin on äärellinen laajennus on K . Se on muoto Hilbertin nollalauseesta . Todellakin, yllä olevan esityksen alla voimme helposti nähdä, että K [ X 1 ,…, X d ] on myös kenttä. Tämä tarkoittaa, että d = 0 ja siksi A on valmis K: lla .
Oletetaan, että A integroituu. Sitten mitä tahansa A: n pääideaalia varten meillä on: ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle \ dim (A / {\ mathfrak {p}}) + \ dim A _ {\ mathfrak {p}} = \ himmeä}$ Erityisesti, mihin tahansa maksimaalinen ihanteellinen ja , paikallinen rengas on ulottuvuus . ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle A _ {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle \ himmeä A}$
Oletetaan, että on Cohen-Macaulayn , niin on vapaa rajallinen sijoitus renkaan polynomien K [ X 1 , ..., X d ]. Tämä johtuu siitä, että A on sitten paikallisesti vapaa äärellisestä sijasta K [ X 1 ,…, X d ]: ssä ja Quillen-Suslinin lauseesta .
Antaa olla äärellinen tyyppi morfismi välillä Noetherian järjestelmiä . Oletetaan, että f on hallitseva ( ts. F ( X ) on tiheä Y: ssä ). Sitten kuva f sisältää avoimen tiheän osan Y: stä . $f: X \ - Y$

Itse asiassa se voidaan helposti vähentää tapaukseen, jossa X, Y vastaavat integraalisia domeeneja A, R ja R ovat A: n alijäämä . Mukaan yleisen muodon normalisoinnin lemman, on olemassa h on R nollasta poikkeava ja äärellinen injektio homomorfismi . Sitten päätellään helposti kuin kuva f sisältää Y: n suuren avoimen (ei-tyhjän) D ( h ): n . Tämä tulos johtaa todisteeseen Chevalleyn lauseesta rakennettavien osien kuvasta .

{\ displaystyle R_ {h} [X_ {1}, \ pisteet, X_ {d}] \ - A_ {h}}

Olkoon BE Jacobson rengas . Olkoon B olla -algebra äärellisen tyyppi. Niin jokaiselle maksimaalinen ihanteellinen ja B , käänteinen kuva on maksimaalinen ihanteellinen . Se voidaan helposti vähentää tapaukseen, jossa B on äärellinen tyyppi A: lla (ja sisältää) A: n . Siitä päätetään valmis injektio . Joten $A$ $f$ $[$ $X$ $1$ $,\dots,$ $X$ $d$ $]$ on kenttä ja d = 0. Tästä seuraa, että $A$ $f$ on kenttä. Koska $A$ on Jacobsonin, havaitsemme, että $f$ on käänteinen ja siksi $A$ on kenttä. ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle A \ cap {\ mathfrak {m}}}$
${\ displaystyle A_ {f} [X_ {1}, \ pistettä, X_ {d}] \ - B_ {f} = B}$
Voimme helposti päätellä yllä olevasta ominaisuudesta, että mikä tahansa äärimmäisen tyyppinen algebra Jacobson-renkaan päällä on Jacobsonin.
Mikä tahansa geometrisesti integraali algebrallinen jakotukki X on birkaarinen affiinisen avaruuden hyperpintaan . Tämä tarkoittaa, että X sisältää vapaan aukon, joka on isomorfinen affiinisen avaruuden hyperpinnan aukolle.

Historia

Jotkut kirjoittajat pitävät tätä lemmaa Hilbertin kanssa . Mukaan Judith D. Sally , jälkimmäinen vain antoi valmistunut versio, joka on peräisin algebrallinen geometria, ja jos mitään rajallinen tyyppiä algebrat yli äärettömän kentän näkyy ensimmäistä kertaa todistetta 1926 artikkelissa. Mukaan Noether .

Huomautuksia ja viitteitä

(De) E. Noether , " Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p " , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , voi. 1926,1926, s. 28-35 ( lue verkossa ).
(en) Serge Lang , Algebra , Addison-Wesley ,1984, 2 nd ed. , "X, §4" [ yksityiskohdat painoksista ] .
(in) David J. Benson , Polynomi invariants rajallinen ryhmiä , ai. "Lontoo Mathematical Society Merkille Play Series" ( n o 190)1993, Lause 2.2.7.
(in) Masayoshi Nagata , Paikallinen renkaat , New York, Interscience Pubi.,1962, I, § 14.
(in) Irena Swanson ja Craig Huneke (de) , Ideaalien, renkaiden ja moduulien integraali sulkeminen , al. "Lontoo Mathematical Society Merkille Play Series" ( n o 336)2006, Lause 4.2.2.
(sisään) Kiran Kedlaya (de) , "Affiinisten tilojen löyhemmät kannet positiivisilla ominaisuuksilla", julkaisussa J. Algebraic Geom. , lento. 14, 2005, s. 187-192.
Nagata 1962 , I.14.4.
(in) David Eisenbud , Vaihdannainen Algebra tähdäten algebrallinen geometria , Springer , ai. " GTM " ( n o 150)1995, 785 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-94269-8 , lue verkossa ), Seuraus 13.4.
(fi) Winfried Bruns et Jürgen Herzog, Cohen-Macaulayn renkaat , ai. "Cambridge Studies in Advanced Mathematics" ( n o 39),1993( lue verkossa ), Ehdotus 2.2.11.
(vuonna) Judith D. Sally , "Noether Normalization" , Bhama Srinivasan ja Judith D. Sally (toim.), Emmy Noether, Bryn Mawr: Symposiumin tukema matematiikan naisten yhdistys Emmy Noetherin 100. kunniaksi. Syntymäpäivä DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5547-5_3 .