Trooppinen matematiikka
Trooppinen matemaattinen tai trooppinen geometria , ovat matematiikan vastaava tutkimus modifioidun järjestelmän määrittelemällä uudelleen ja kertolaskua (ja sen vuoksi muiden toimintojen). Kaksi trooppista algebraa on määritelty: min-plus-algebra, joka on määritelty vähimmäissumman lisäämistä ja lisäämistä varten kertomiseen, ja max-plus- algebra , joka on määritelty suurimmalla mahdollisella lisäyksellä ja lisäyksellä kertolaskuun.
Trooppinen matematiikka on saanut nimensä kunniaksi niiden Brasilian keksijä , Imre Simon . Jean-Éric Pin pitää trooppisen adjektiivin käyttöä Dominique Perrinillä , kun taas Imre Simon itse sen Christian Choffrutin. Termillä trooppinen ei ole muuta merkitystä kuin viitata Brasiliaan.
Puolet kehosta max-plus
Joukko R todellinen määrä, joka on varustettu toiminnan suurin ja lisäksi on kommutatiivinen puoli - kenttä rakenne .
Matematiikkaoperaattorit
- Trooppinen lisäys määritellään seuraavasti:
⊕{\ displaystyle \ oplus}
klo⊕b=enint(klo,b){\ displaystyle a \ oplus b = \ max (a, b)}
.
Kahden numeron trooppisen lisäyksen tulos on siten näiden suurin. Joten .
2⊕3=enint(2,3)=3{\ displaystyle 2 \ oplus 3 = \ max (2,3) = 3}![2 \ oplus 3 = \ max (2,3) = 3](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd44c75577741ef31dcb86840f2c7a3d403f1e78)
- Trooppinen lisääntyminen (tai trooppinen tuote) (tai ) määritellään seuraavasti:
⊙{\ displaystyle \ odot}
⊗{\ displaystyle \ otimes}
klo⊙b=klo+b{\ displaystyle a \ odot b = a + b}
.
Kahden numeron trooppisen kertolaskun tulos on siis niiden tavanomainen summa. Joten .
2⊙3=2+3=5{\ displaystyle 2 \ odot 3 = 2 + 3 = 5}![2 \ odot 3 = 2 + 3 = 5](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c629d251eaabfbdcaf7589272cd741eb5f7563eb)
Operaattorin ominaisuudet
Trooppinen lisäys , kuten lisäksi tavallista, kommutatiivinen ja assosiatiivinen . Siinä ei ole neutraalia elementtiä ; jos työskentelemme sisään , neutraali elementti on silloin ; todellakin . Ei ole mitään elementtiä, joka vastaisi tiettyä elementtiä: sitä varten se on välttämätöntä .
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
R∪{-∞}{\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty \}}
-∞{\ displaystyle - \ infty}
klo⊕(-∞)=enint(klo,-∞)=klo{\ displaystyle a \ oplus (- \ infty) = \ max (a, - \ infty) = a}
klo⊕x=enint(klo,x)=(-∞){\ displaystyle a \ oplus x = \ max (a, x) = (- \ infty)}
klo=x=(-∞){\ displaystyle a = x = (- \ infty)}![{\ displaystyle a = x = (- \ infty)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1a11561a3a79fcbdd7efa8527e1bf209a91085)
Trooppinen kertominen , kuten kertominen tavallista, kommutatiivinen ja assosiatiivinen . Se on jakautuva suhteessa trooppiseen lisäykseen . Luku 0 on neutraali elementti trooppisessa kerronnassa. Työskentelemme imukykyisen elementin saamiseksi . Imukykyinen elementti on silloin . Todellakin . Jokaisella elementillä on käänteinen trooppinen lisääntyminen, koska todellakin .
⊕{\ displaystyle \ oplus}
R∪{+∞}{\ displaystyle \ mathbb {R} \ kuppi \ {+ \ infty \}}
+∞{\ displaystyle + \ infty}
klo⊕(+∞)=enint(klo,+∞)=+∞{\ displaystyle a \ oplus (+ \ infty) = \ max (a, + \ infty) = + \ infty}
klo⊙(-klo)=0{\ displaystyle a \ odot (-a) = 0}![a \ odot (-a) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d51787e667c5cb8c4beea69447d036209e84b6)
Rakenteesta puuttuu ensimmäisen lain neutraali elementti ja ensimmäisen lain symmetrisen elementin olemassaolo niin, että rakenne on runko. Sitten puhumme puolirungosta .
(R,⊕,⊙){\ displaystyle (\ mathbb {R}, \ oplus, \ odot)}
(R,⊕,⊙){\ displaystyle (\ mathbb {R}, \ oplus, \ odot)}![(\ mathbb {R}, \ oplus, \ odot)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ebb91404e294024551489dd8d814420d5d811a9)
Trooppinen voima
Trooppinen teho , huomattava , jossa reaaliluku ja n luonnollinen luku, vastaa tavallista kertolasku. Todellakin,
klo⊙ei{\ displaystyle a ^ {\ odot n}}![{\ displaystyle a ^ {\ odot n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22b7f53176733e4deb050802fdda719f4db0dd8)
klo⊙ei=klo⊙⋯⊙klo⏞ei aika=klo+⋯+klo⏞ei aika=ei×klo{\ displaystyle a ^ {\ odot n} = \ overbrace {a \ odot \ cdots \ odot a} ^ {n {\ text {times}}} = \ overbrace {a + \ cdots + a} ^ {n {\ teksti {kertaa}}} = n \ kertaa a}![{\ displaystyle a ^ {\ odot n} = \ overbrace {a \ odot \ cdots \ odot a} ^ {n {\ text {times}}} = \ overbrace {a + \ cdots + a} ^ {n {\ teksti {kertaa}}} = n \ kertaa a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8449829a9e2fefcc1d6b0987b5ba3ee3785a49a2)
.
Täten trooppinen polynomi 2 muuttujassa
klo⊙x⊕b⊙y⊕vs.{\ displaystyle a \ odot x \ oplus b \ odot y \ oplus c}![{\ displaystyle a \ odot x \ oplus b \ odot y \ oplus c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab201b71b698847d599d1b3b92e0bc05573c43d6)
kirjoitetaan tavallisemmilla merkinnöillä,
enint(klo+x,b+y,vs.){\ displaystyle \ max (a + x, b + y, c)}![{\ displaystyle \ max (a + x, b + y, c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8688143a33ab3f5b091ec2763321de75668cb8)
Puolet kehosta min-plus
Toinen kehon puolirakenne määritellään ottamalla minimiksi enimmäisarvon sijaan ensimmäinen laki.
Trooppiset polynomit
Sijoitamme itsemme min-plus-puolirunkoon. Trooppinen polynomi on toiminto , joka voidaan ilmaista trooppinen summa on äärellinen määrä monomi ehdot. Jokainen monomiaali on vakion ja joukosta otettujen muuttujien trooppinen tuote . Täten trooppinen polynomi on F on affineaaristen lineaaristen muunnosten äärellisen perheen minimimäärä, jossa muuttujilla on lineaariset kertoimet; se on kovera , jatkuva ja paloittain lineaarinen funktio :
F:Rei→R{\ displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}
X1,...,Xei{\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}![{\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac794f5521dcce89913085a6d566e7cdb615dbb0)
F(X1,...,Xei)=(VS1⊗X1⊗klo11⊗⋯⊗Xei⊗kloei1)⊕⋯⊕(VSs⊗X1⊗klo1s⊗⋯⊗Xei⊗kloeis)=min{VS1+klo11X1+⋯+kloei1Xei,...,VSs+klo1sX1+⋯+kloeisXei}.{\ displaystyle {\ begin {tasattu} F (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) & = \ vasen (C_ {1} \ otimes X_ {1} ^ {\ otimes a_ {11}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {n} ^ {\ otimes a_ {n1}} \ right) \ oplus \ cdots \ oplus \ left (C_ {s} \ otimes X_ {1} ^ {\ otimes a_ {1s}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {n} ^ {\ otimes a_ {ns}} \ oikea) \\ & = \ min \ {C_ {1} + a_ {11} X_ {1} + \ cdots + a_ {n1} X_ {n}, \; \ ldots, \; C_ {s} + a_ {1s} X_ {1} + \ cdots + a_ {ns} X_ {n} \}. \ end {tasattu}}}![{\ displaystyle {\ begin {tasattu} F (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) & = \ vasen (C_ {1} \ otimes X_ {1} ^ {\ otimes a_ {11}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {n} ^ {\ otimes a_ {n1}} \ right) \ oplus \ cdots \ oplus \ left (C_ {s} \ otimes X_ {1} ^ {\ otimes a_ {1s}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {n} ^ {\ otimes a_ {ns}} \ oikea) \\ & = \ min \ {C_ {1} + a_ {11} X_ {1} + \ cdots + a_ {n1} X_ {n}, \; \ ldots, \; C_ {s} + a_ {1s} X_ {1} + \ cdots + a_ {ns} X_ {n} \}. \ end {tasattu}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945ef575435e334a50572e62d936493d81433199)
Pistejoukkoa, jossa trooppinen polynomi F ei ole erotettavissa, kutsutaan sen trooppiseksi hyperpinnaksi ja merkitään (analogisesti algebrallisten jakokanavien kanssa . Vastaavasti on joukko pisteitä, joissa F: n ehtojen vähimmäistaso saavutetaan vähintään 2 termillä.
V(F){\ displaystyle \ mathrm {V} (F)}
V(F){\ displaystyle \ mathrm {V} (F)}![{\ displaystyle \ mathrm {V} (F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106b5230121985e2de94033b7aab7c1036ccb577)
Sovellus: etäisyyksien laskeminen kaaviossa
Elementti lisätään R: ään ja koko rakenne saadaan min-plus; voidaan käyttää näin määriteltyä rakennetta lyhimmän etäisyyden laskemiseen kaaviossa.
+∞{\ displaystyle + \ infty}![+ \ infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddbb0e4420a7e744cf71bd71216e11b0bf88831)
Me edustaa kuvaajan korjauskerrointa n pisteiden mukaan matriisi , joka antaa etäisyyttä kunkin kärkipisteen: jos kärkipiste i liittyy kärki j sitten elementti on yhtä suuri paino reunan ( i , j ), jos solmut i ja j eivät ole yhteydessä toisiinsa, vastaavat sitten ääretöntä (meillä on ).
AT=(kloi,j){\ displaystyle A = (a_ {i, j})}
kloi,j{\ displaystyle a_ {i, j}}
kloi,j{\ displaystyle a_ {i, j}}
kloi,i=0{\ displaystyle a_ {i, i} = 0}![a _ {{i, i}} = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b156d2a892ef1df345b080e4a52143e1d70a62)
Joten i: n ja j: n välinen etäisyys enintään yhden kärjen läpi on:
mink∈{1,⋯,ei}(kloi,k+klok,j)=⨁k∈{1,⋯,ei}kloi,k⊙klok,j{\ displaystyle \ min _ {k \ in {1, \ cdots, n \}} (a_ {i, k} + a_ {k, j}) = \ bigoplus _ {k \ sisään \ {1, \ cdots , n \}} a_ {i, k} \ odot a_ {k, j}}![\ min _ {{k \ sisään \ {1, \ cdots, n \}}} (a _ {{i, k}} + a _ {{k, j}}) = \ bigoplus _ {{k \ sisään \ {1, \ cdots, n \}}} a _ {{i, k}} \ odot a _ {{k, j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb146a63c4ef5edba08891b5c28095fdfcc1d992)
Tämä vastaa matriisituotetta min-plus-rakenteessa. Niin laskea pituus on lyhin polku kärkipisteen toiseen, meillä on korkeintaan n vaiheet, kaaviossa, on riittävää laskea tehon n on tämän rakenteen.
Viitteet
-
Tämä on keksijän Imre Simonin määrittelemä trooppinen matematiikka verkossa Scientific Commons -sivustolla
-
Ilia Itenberg, " Johdatus trooppiseen geometriaan » ,P. 2
-
Jean-Éric Pin, "Tropical Semirings" , julkaisussa J. Gunawardena, Idempotency (Bristol, 1994) , Cambridge, Cambridge University Press,1998, s. 50-69.
-
Imre Simon, "Tunnistettavissa olevat joukot kerrannaisilla trooppisessa semiringissä" , julkaisussa Computer Science Mathematical Fundations (Carlsbad, 1988) , Springer, coll. "Lecture Notes in Computer Science" ( n o 324),
1988( lue verkossa ) , s. 107–120.
-
Mathoverflow, 2011, Mikä trooppinen on trooppisessa algebrassa? on Mathoverflow
-
David Speyer ja Bernd Sturmfels , " trooppinen matematiikka ", Mathematics Magazine , voi. 82, n ° 3,2009, s. 163–173 ( DOI 10.1080 / 0025570X.2009.11953615 , lue verkossa ).
Katso myös
Bibliografia
- Ilia Itenberg, " Trooppiset oikeudet ", Matematiikan kuvat , CNRS,2011( lue verkossa )
- (en) Diane Maclagan ja Bernd Sturmfels, Johdatus trooppiseen geometriaan , Providence (RI), American Mathematical Society, Coll. " Jatko Studies in Mathematics " ( n o 161)huhtikuu 2015, 363 Sivumäärä ( ISBN 978-0-8218-5198-2 , lue verkossa )
- Ilia Itenberg, Grigory Mikhalkin ja Eugenii Shustin, trooppinen algebrallinen geometria , Basel, Birkhäuser, coll. "Oberwolfach Seminars" ( n o 35)2009( ISBN 978-3-0346-0047-7 , OCLC 310400815 )
- Dima Grigoriev, " Trooppiset differentiaaliyhtälöt ", Advances in Applied Mathematics , voi. 82,javier 2017, s. 120–128 ( DOI 10.1016 / j.yam.2016.08.002 , arXiv 1502.08010.pdf )
- Dima Grigoriev , " Trooppiset toistuvat sekvenssit ", Advances in Applied Mathematics , voi. 116,2020, Artikkeli n o 102012 ( DOI 10,1016 / j.aam.2020.102012 , arXiv 1807,10714 )
- Antoine Chambert-Loir , " Kun geometria muuttuu trooppinen " Pour la Science , n o 492,lokakuu 2018, s. 26-33
- (de) Hannah Markwig , ” Tropische Geometrie” , Katrin Wendland , Annette Werner (toim.), Facettenreiche Mathematik , Wiesbaden, Vieweg + Teubner Verlag,2011( ISBN 978-3-8348-1414-2 )
Aiheeseen liittyvät artikkelit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">