Amoeba (matematiikka)

On matematiikka , ja erityisemmin monimutkainen analyysi , amoeba on geometrinen kuvio, joka liittyy polynomin useita monimutkaisia muuttujia . Ameballa on sovelluksia algebrallisessa geometriassa , erityisesti trooppisessa geometriassa .

Määritelmä

Anna funktion

{\ displaystyle \ mathrm {Loki}: \ vasen ({\ mathbb {C}} \ taaksepäin vinoviiva {0 \} \ oikea) ^ {n} \ - \ mathbb {R} ^ {n}}

määritellään joukko kaikki n- tuplat ei-nolla kompleksiluvut, ja arvot Euclidean tilan , jolla on kaava ${\ displaystyle z = (z_ {1}, z_ {2}, \ pisteitä, z_ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$

{\ displaystyle \ mathrm {Lokki} (z_ {1}, z_ {2}, \ pisteitä, z_ {n}) = (\ ln | z_ {1} |, \ ln | z_ {2} |, \ pisteitä, \ ln | z_ {n} |). \,}

(missä ln tarkoittaa luonnollista logaritmia ). Jos p ( z ) on polynomi monimutkaisia muuttujia, sen amoeba määritellään kuva on joukko nollia on p funktion Log, toisin sanoen, että: $ei$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {p}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {p} = \ vasen \ {\ mathrm {Log} (z) \ ,:, z \ sisään \ vasen ({\ mathbb {C}} \ käänteinen \ {0 \} \ oikea) ^ {n}, p (z) = 0 \ oikea \}. \,}

Amoebas määriteltiin vuonna 1994 kirjan Israelin Gelfand , AV Kapranov ja Andrei Zelevinsky (in) .

Ominaisuudet

Jokainen ameba on suljettu kokonaisuus ;
Mikä tahansa kytketty komponentti on komplementti on kupera ; ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ taaksepäin viiva {\ mathcal {A}} _ {p}}$
Kahden muuttujan polynomin ameban pinta-ala on rajallinen;
Dimensiossa 2 olevalla ameballa on äärettömän pitkät "lonkerot", jotka lähestyvät eksponentiaalisesti nopeasti asymptoottisiin linjoihin .

Ronkin-toiminto

Ronkin toiminto , joka liittyy polynomin p ( z = ( z 1 , ..., z n )) (tässä n monimutkaisia muuttujia), kulkee kohti , ja on määritelty $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle N_ {p} (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi i) ^ {n}}} \ int _ {\ mathrm {Log} ^ {- 1} (x)} \ ln | p (z) | \, {\ frac {dz_ {1}} {z_ {1}}} \ wedge {\ frac {dz_ {2}} {z_ {2}}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ frac {dz_ {n}} {z_ {n}}},}

missä on vektori , joka vastaa $x$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ pisteitä, x_ {n})}$

{\ displaystyle N_ {p} (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int _ {[0,2 \ pi] ^ {n}} \ ln | p ( z) | \, d \ theta _ {1} \, d \ theta _ {2} \ cdots d \ theta _ {n},}

missä . ${\ displaystyle z = \ left (e ^ {x_ {1} + i \ theta _ {1}}, e ^ {x_ {2} + i \ theta _ {2}}, \ pisteitä, e ^ {x_ { n} + i \ theta _ {n}} \ oikea)}$

Ronkin-funktio on kupera ja tarkentaa amoeba-komplementin jokaista liitettyä komponenttia . $p (z)$

Esimerkiksi Ronkin funktio monomi , jossa on ${\ displaystyle p (z) = az_ {1} ^ {k_ {1}} z_ {2} ^ {k_ {2}} \ pisteitä z_ {n} ^ {k_ {n}}}$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$

{\ displaystyle N_ {p} (x) = \ log | a | + k_ {1} x_ {1} + k_ {2} x_ {2} + \ cdots + k_ {n} x_ {n}. \,}

Ameban luuranko

Jos me korvata määrittelyssä funktion Log luonnollisen logaritmin jonka logaritmi pohja b , ja teemme b pyrkivät kohti ääretöntä, osoitamme, että ameeba sopimukset kohti joukko nollia siihen liittyvän toiminnon p jäljellä R n ja korvaamalla polynomi trooppisella analogilla , jolle monomiaalien summat korvataan muodon ilmaisujen maksimilla (nämä lausekkeet ovat polynomin monominaalien Ronkin-funktioita). Tämän seurauksena tämä sarja, jota kutsutaan ameban luurangoksi , muodostuu suorista osista. ${\ displaystyle ax ^ {m} y ^ {n}}$ ${\ displaystyle b + mx + ny}$

Viitteet

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista " Amoeba (matematiikka) " ( katso kirjoittajaluettelo ) .

(in) IM Gelfand , MM Kapranov ja AV Zelevinsky , diskriminantti JOTKA ja moniulotteinen taustatekijät , Boston, MA, Birkhauser, 1994, 523 Sivumäärä ( ISBN 0-8176-3660-9 ).
Itenberg 2007 , s.3
(in) Martin Guest , UK-Japani 2004 talvella koulun geometria ja analyysi kohti quantum theory. Luentoselitykset koulusta, University of Durham, Durham, Iso-Britannia, 6. – 9. Tammikuuta 2004 , voi. 30, Yokohama, Keion yliopisto, matematiikan laitos,2004, 24–36 Sivumäärä , "Monimutkaisten ja trooppisten käyrien amoebat".
Chambert-Loir 2018

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Trooppinen matematiikka

Bibliografia

(en) Ilia Itenberg, Grigory Mikhalkin ja Eugenii Shustin , Tropical algebraic geometry , voi. 35, Basel, Birkhäuser,2007, 103 Sivumäärä ( ISBN 978-3-7643-8309-1 , lue verkossa )
(in) Oleg Viro , " Mikä on. . . Amoeba? ” , Notices of the American Mathematical Society , voi. 49, n o 8,2002, s. 916–917 ( lue verkossa )
(en) Thorsten Theobald , ” Computing amoebas ” , Exp. Matematiikka. , voi. 11,2002, s. 513–526 ( DOI 10.1080 / 10586458.2002.10504703 , lue verkossa ).
Antoine Chambert-Loir , ” Kun geometria muuttuu trooppinen ” Pour la Science , n o 492,lokakuu 2018, s. 26-33

Ulkoiset linkit

Trooppiset oikeudet , sivustolla Images of Mathematics .