Raaka malli

Drude malli (nimetty fyysikko Paul Drude ), jota joskus kutsutaan vaimennetun elektroni malli , on mukaelma tehty 1900 ja kineettisen teorian kaasuja ja elektronien metallien (löydettiin 3 vuotta aikaisemmin, vuonna 1897, JJ Thomson ). Tarkastelemalla metallin elektroneja klassisiksi pistehiukkasiksi, jotka rajoittuvat näytteen kaikkien atomien määrittelemään tilavuuteen, saadaan kaasu, joka on mukana kokonaisliikkeessä (joka on päällekkäin hiukkasten yksittäisten liikkeiden kanssa) sähköisellä ja magneettisella ja hidastui tässä liikkeessä törmäyksillä. Druden suunnittelemat törmäykset ovat törmäyksiä atomien sydämissä. Vaikka se perustuu oletuksiin, jotka on hylätty (puhtaasti klassinen kuvaus elektronien liikkeestä ), se voi selittää useita metallien ominaisuuksia , kuten sähkönjohtavuuden , lämmönjohtavuuden ja Hall-vaikutuksen .

Elektrokineettinen lähestymistapa

Mallilausunto

Oletetaan, että vain elektronit johtavat sähköä. Ne ovat varauksen kantajia q = - e ja massa m e :

q = - e ≃ 1,602 x 10 -19 C (ks Elementary lataus );
m e ≃ 9,109 × 10 −31 kg .

Joten dynaamisesta näkökulmasta elektroni noudattaa seuraavaa lakia:

{\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {vb}} - \ Gamma {\ vec {vb}}}

tai

v on elektronin nopeus metreinä sekunnissa ( m s −1 );
F v on Lorentzin voima, joka ilmaistaan newtoneina (N), E on sähkökenttä ja B magneettikenttä ;
${\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {v}} = q ({\ vec {\ mathrm {E}}} + {\ vec {v}} \ wedge {\ vec { \ mathrm {B}}})}}$
Γ on empiirinen kitkakerroin, joka ilmaistaan kilogrammoina sekunnissa ( kg s −1 ).

Se on ensimmäisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö .

Huomaa, että tämä on edelleen totta muun tyyppisille varauksen kantajia, kuten elektroni reiät on kide tai ioneja on suolaliuosta .

Aikavakio ja nopeusrajoitus

Oletetaan, että elektronilla on alkunopeus v 0ja että sähkökenttä on tasainen ja vakio, E 0 . Joten yllä olevan differentiaaliyhtälön ratkaiseminen johtaa:

{\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ vec {v}} _ {0} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} + \ vasen (1-e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \ oikea) \ cdot {\ frac {q} {\ Gamma}} {\ vec {\ mathrm {E}}} _ {0}}

tai

${\ displaystyle \ tau = {\ frac {m _ {\ mathrm {e}}} {\ Gamma}}}$ on aikavakio, järjestelmän vaimennusominaisuus;
${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {l}} = {\ frac {q} {\ Gamma}} {\ vec {\ mathrm {E}}} _ {0}}$ on rajoittava nopeus, johon elektroni pyrkii.

Sähköinen johtavuus

Voimme liittää kitkakertoimen elektronien tilavuustiheyteen N e ja elektroniseen johtavuuteen σ 0 :

{\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {\ mathrm {N_ {e}} e ^ {2}} {\ sigma _ {0}}}}

Voimme myös päätellä aikavakion:

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {\ sigma _ {0} m _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {N_ {e}} e ^ {2}}}}

Suuruus

Ja puhdas kupari (σ 0 = 5,98 x 10 7 S m -1 ), oletamme, että meillä on yksi johtuminen elektroni atomia kohti, eli tiheyden ρ m = 8,96 x 10 3 kg m -3 , moolimassa M = 63,5 g mol-1 ja Avogadro-luku N A = 6,02 × 10 23 mol −1 , meillä on:

N e = ρ m N A / M = 8,49 × 10 28 m −3

ja niin

τ ≃ 2.499 9 × 10 −14 s

Sinimuotoisen sähkökentän tapaus

Jos nopeudet ovat hitaita verrattuna valon nopeuteen (ei-relativistinen tapaus), magneettikentän vaikutus on vähäinen verrattuna sähkökentän vaikutukseen. Joten meillä on:

{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {v}} \ simeq q {\ vec {\ mathrm {E}}}}

ja dynaamisesta yhtälöstä tulee:

{\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} + \ Gamma {\ vec {v}} = q {\ vec {\ mathrm {E}}}}

Jos sähkökenttä on sinimuotoinen

{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {E}}} (t) = \ sin (\ omega t) {\ vec {\ mathrm {E}}} _ {0}}

silloin differentiaaliyhtälön ratkaisu on monimutkaisessa kirjoituksessa:

{\ displaystyle {\ vec {\ alleviivattu {v}}} (t) = {\ frac {q} {\ Gamma + i \ omega m _ {\ mathrm {e}}}} {\ vec {\ mathrm {E }}} (t)}

Silloin meillä on monimutkainen sähkönjohtavuus pulssin (siis taajuuden ) mukaan:

{\ displaystyle {\ alleviiva {\ sigma}} (\ omega) = \ sigma _ {0} {\ frac {1} {1 + i \ omega \ tau}}}

Alustavat oletukset

Malli perustuu seuraaviin oletuksiin :

Järjestelmä rinnastetaan joukko n varaus elektronien - e tilavuusyksikköä kohden, laitettiin väliaineeseen kohdassa hiukkasten massa m ilman niiden välistä vuorovaikutusta.
Voimme klassisesti kuvata elektroneja.
Elektronit törmäävät törmäyksiin. Todennäköisyys läpikäymään välinen törmäys t ja t + d t annetaan , jossa τ on keskimääräinen aika kahden peräkkäisen törmäykset, jota kutsutaan myös relaksaatioaika. ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ tau}}}$

Törmäyksiä, johon elektronit altistetaan olivat Drude silmiin törmäykset Atomiydinten on kidehilan . Todellisuudessa näitä kutsutaan elektronien ja fononien törmäyksiksi .

Törmäysten läsnäolo johtaa kitkan viskositeetin voimakkuuteen , jossa p on elektronin liikemäärä. ${\ displaystyle - {\ frac {\ mathbf {p}} {\ tau}}}$

Sitten meillä on Ohmin lakia soveltamalla

{\ displaystyle \ mathbf {j} = \ sigma \ mathbf {E}}

johtavuuden ilmaisu:

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {ne ^ {2} \ tau} {m}}}

Tasavirran johtavuus

Katsotaan, että sähkökenttä E kiihdyttää elektroneja tasaisesti kahden törmäyksen välisellä aikavälillä. Tämän ajan kuluttua törmäyksen jälkeen ne ovat tilastollisesti rento alkuperäiseen kineettiseen tilaansa.

Kullakin i : llä elektronilla on siis milloin tahansa kirjoitettu nopeus v i

{\ displaystyle v_ {i} = v_ {0i} + \ vasen ({{- e \ mathrm {E} t_ {i}} \ yli m _ {\ mathrm {e}}} \ oikea)}

missä v 0 i > on elektronin i alkunopeus viimeisen iskun lopussa ja t i tämän jälkeen kulunut aika. Elektroneja kuvaava keskinopeus (yleisen keskiarvon merkityksessä) on:

{\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ langle v_ {i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ langle v_ {0i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} + \ left \ langle {{-e \ mathrm {E} t_ {i}} \ over m _ {\ mathrm {e}}} \ right \ rangle _ {\ mathrm {stat}}}

Kuten (hypoteesi täysin satunnaisista iskuista, joiden loppunopeudet jakautuvat nollakeskiarvon ympärille) ja (ergodinen hypoteesi), saadaan kaava ${\ displaystyle \ langle v_ {0i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = 0}$ ${\ displaystyle \ langle t_ {i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ tau}$

{\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ langle v_ {i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = {{- e \ mathrm {E} \ tau} \ over m_ { \ mathrm {e}}}}

Päätellään sähkönjohtovirran tiheyden ilmaisu

{\ displaystyle j = (- ne) \ langle v \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = {{ne ^ {2} \ mathrm {E} \ tau} \ yli m _ {\ mathrm {e}}} }

ja johtavuus

{\ displaystyle \ sigma _ {0} = {{ne ^ {2} \ tau} \ yli m _ {\ mathrm {e}}}}

Voimme näyttää plasmataajuuden kirjoittamalla: ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {p}}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {0} = (\ tau \ cdot \ varepsilon _ {0}) \ omega _ {\ mathrm {p}} ^ {2}}

AC-johtavuus

Dielektrisen vakion ja johtokyvyn suhde

Sähkömagneettisen kentän johtokyvyn laskemiseksi aloitetaan Maxwellin yhtälöistä , nimittäin

Laki	Matemaattinen ilmaisu
"Coulombin laki"	${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathrm {D} = \ rho}$
"Ampèren laki"	${\ displaystyle \ nabla \ wedge \ mathrm {H} - {{\ partituali \ matrm {D}} \ yli {\ osittainen t}} = \ matrm {J}}$
"Faradayn laki"	${\ displaystyle \ nabla \ wedge \ mathrm {E} + {{\ partituali \ mathrm {B}} \ yli {\ osittainen t}} = 0}$
"Magneettisten monopolien puuttuminen"	${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathrm {B} = 0}$

Näistä yhtälöistä johdetaan suhde johtavuuden σ ja dielektrisen vakion ε välillä:

{\ displaystyle \ varepsilon \ cdot \ left ({\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \ oikea) -k ^ {2} = i \ omega \ mu _ {0} \ sigma }

Johtokyvyn laskeminen

Jos kuvaamme elektronikaasua sen tiheysmatriisilla ρ (P, Q), tämä tarkistaa evoluutioyhtälön:

{\ displaystyle {d_ {t} \ rho (\ mathrm {P}, \ mathrm {Q}) \ mathrm {P}} = \ {\ mathrm {H}, \ rho \ mathrm {P} \} _ {\ mathrm {Q}, \ mathrm {P}} + \ Sigma _ {+} - \ Sigma _ {-}}

missä edustaa Poissonin hakasulkua sekä lähteen ja tuhon termejä. Oletetaan nyt, että Hamiltonin H = H 0 + H 1 ja että ρ = ρ 0 + ρ 1 , missä H 1 ja ρ 1 edustavat perturbatiivisia termejä. Alkuperäinen yhtälö kirjoitetaan sitten uudelleen muotoon: ${\ displaystyle \ {\} _ {\ mathrm {P}, \ mathrm {Q}}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {+}, \ Sigma _ {-} ~}$

{\ displaystyle {d_ {t} \ rho (\ mathrm {P}, \ mathrm {Q}) \ mathrm {P} _ {\ alpha}} = \ {\ mathrm {H} _ {0}, \ rho _ {1} \ mathrm {P} \} _ {\ mathrm {Q}, \ mathrm {P}} + \ {\ mathrm {H} _ {1}, \ rho _ {0} \ mathrm {P} _ { \ alpha} \} _ {\ mathrm {Q}, \ mathrm {P}} - {{\ rho _ {1} \ mathrm {P} _ {\ alpha}} \ yli \ tau} ~}

Huomattamalla ρ 1 P β: n ja H 0 : n ρ 0 P β : n riippumattomuus Q α: n kanssa (varausten jakautumisen homogeenisuus ja häiriöttömän Hamiltonin avaruuden muuttumattomuus), häiriintyneen jakauman ensimmäisen asteen ratkaisu on kirjoitettu:

{\ displaystyle \ left (-i \ omega + {\ frac {1} {\ tau}} \ right) \ rho _ {1} \ mathrm {P} _ {\ alpha} = (ik _ {\ beta} x_ {\ alpha} + \ delta _ {\ alpha \ beta}) e \ mathrm {E} _ {\ alpha} \ vasen ({\ frac {\ partituali \ rho _ {0}} {\ osallinen \ mathrm {P} _ {\ beta}}} \ oikea)}

Ottamalla pitkän aallonpituuden likiarvo (ja siten k pieni) löydämme johtavuuden muodon:

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {\ varepsilon _ {0} \ tau \ omega _ {\ mathrm {p}} ^ {2}} {- i \ omega \ tau +1}}}

Metallin lämmönjohtavuus

Nykyinen kuljetusyhtälö (ts. Hiukkaskuljetus) tulisi kaksinkertaistaa lämmönsiirtoyhtälöllä :

{\ displaystyle j _ {\ mathrm {q}} = - \ kappa \ nabla \ mathrm {T}}

saamme sitten, että lämpö- ja sähkönjohtavuuden suhde on suoraan verrannollinen lämpötilaan, suhteellisuuskerroin on merkitty Lorenzin luvulla : ${\ displaystyle {\ kappa \ over {\ sigma}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {L} = {\ frac {\ kappa} {\ sigma \ mathrm {T}}} = {\ frac {3} {2}} \ vasen ({\ frac {k _ {\ mathrm { b}}} {e}} \ oikea) ^ {2}}

Tämä suhteellisuuslaki tunnetaan nimellä Wiedemannin ja Franzin laki .

Edellä esitetty numeerinen tulos on noin puolet kokeellisesti saaduista arvoista. Liikenneteorian ja kvanttimallin käyttö antaa pääsyn arvoon, joka on lähempänä todellisuutta suhdeluvulle (eli Lorenzin numerolle), jolloin saatu arvo on: ${\ displaystyle {\ kappa \ over {\ sigma \ mathrm {T}}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {L} = {\ frac {\ kappa} {\ sigma \ mathrm {T}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {3}} \ vasen ({\ frac {k_ {\ mathrm {b}}} {e}} \ oikea) ^ {2}}

Bibliografia

F. Ossart ja JM Courty , LP322: Sähkömagnetismi aineessa: Luentotiedot , UPMC ,2007( lue verkossa [PDF] )
" Chap. 5 sähköjohtoa ” [PDF] , osoitteessa edu.upmc.fr ( katsottu 16. marraskuuta 2015 )
Vincent Renvoizé ( ohjaaja ) Et ai. , PC-PC-fysiikka *: koko vuoden 2014 ohjelma korjattujen harjoitusten muodossa , Montreuil, Pearson , coll. "Valmistelukurssi",2014, 404 Sivumäärä ( ISBN 978-2-326-00037-7 , lue verkossa ) , s. 186-188

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Nernst-Einsteinin laki
Elastisesti sitoutunut elektroni

Ulkoiset linkit

Geneviève Tulloue, " Varautuneen hiukkasen liike materiaalisessa väliaineessa " , fysiikan animoiduista hahmoista (sciences.univ-nantes.fr) (käytetty 16. marraskuuta 2015 )