Kertominen skalaarilla

In matematiikan , kertomalla skalaari on yksi perus ulkoisen lait määrittävät vektori tila on lineaarialgebran (tai yleisemmin, eli moduuli on yleisesti algebran ).

Jos K on kommutatiivinen elin , joka määrittää vektori tila E on K edellyttää olemassa ulkoista koostumuksen laki, täytäntöönpano on K x E on E . Kuva on pari (À, v ), joka voidaan merkitä À v tai À ∙ v , on kertomalla vektori v , jonka skalaari À. Erikoistapauksena E voidaan pitää yhtä suurena kuin Kitse, ja kertominen skalaarilla voi olla yksinkertaisesti ruumiin kertominen. Kun E on yhtä suuri kuin K n , sitten kertomalla skalaari on yleensä se, että määritellään jokaista komponenttia .

Vektoritilan määritelmän mukaan kertolasku skalaarilla täyttää seuraavat ominaisuudet:

• Kertoimella 1 ei muuteta vektoria:

1v=v{\ displaystyle 1v = v} ;

• oikea jakelu :

∀(λ,μ)∈K2,∀v∈E,(λ+μ)v=λv+μv{\ displaystyle \ forall (\ lambda, \ mu) \ in K ^ {2}, \ quad \ forall v \ E, \ quad (\ lambda + \ mu) v = \ lambda v + \ mu v} ;

• jakelu vasemmalla:

∀λ∈K,∀(u,v)∈E2,λ(u+v)=λu+λv{\ displaystyle \ forall \ lambda \ K, \ quad \ forall (u, v) \ E ^ {2}, \ quad \ lambda (u + v) = \ lambda u + \ lambda v} ;

• assosiatiivisuus  :

∀(λ,μ)∈K2,∀v∈E,(λμ)v=λ(μv){\ displaystyle \ forall (\ lambda, \ mu) \ in K ^ {2}, \ quad \ forall v \ E, \ quad (\ lambda \ mu) v = \ lambda (\ mu v)} ;

• kertomalla 0: lla saadaan nollavektori  :

∀v∈E,0v=0E{\ displaystyle \ forall v \ in E, \ quad 0v = 0_ {E}} ;

• kertomalla –1: llä saadaan päinvastainen  :

∀v∈E,(-1)v=-v.{\ displaystyle \ kaikki v \ E: ssä, \ quad (-1) v = -v.}

Tässä + tarkoittaa joko kentän tai vektoriavaruuden lisäystä tapauksen mukaan ja 0 on kentän K neutraali elementti , kun taas 0 E on nollavektori. Yhdistäminen tai piste vastaa kertomista skalaarilla tai ruumiin sisäistä kertolaskua.

Kertominen ei-nolla-skalaarilla λ määrittelee lineaarisen kartan E: stä E: hen , jota kutsutaan homotetiksi suhteella λ. Kun E on euklidinen vektoriavaruus ( K = R ), laajennukset voidaan tulkita supistuksina tai venytyksinä.

Katso myös

• Matrix-tuote
• Tuote (matematiikka)

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista "  Scalar multiplication  " ( katso kirjoittajaluettelo ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">