Mediaani (tilastot)

In todennäköisyys teoria ja tilastoja , mediaani on arvo, joka erottaa pohjan puoli ylhäältä puoli joukko ( näyte , populaatio , todennäköisyysjakauma ). Mediaani on siis intuitiivisesti kokonaisuuden keskipiste. Se on sarjan keskeinen suuntausindikaattori . Voimme määrittää mediaanin joukolle ei-numeerisia arvoja, kunhan voimme valita kriteerin näiden arvojen järjestykselle.

Laskentamenetelmä

Yleinen lähestymistapa

Arvoryhmän mediaanin määrittämiseksi riittää, kun järjestät arvot kasvavaan luetteloon ja valitset tämän luettelon keskellä olevan arvon. Järjestetylle n elementin luettelolle, jossa n on pariton, elementin arvo sijainnissa (n + 1) / 2 on mediaani. Jos alkioiden lukumäärä n on parillinen, mikä tahansa arvo elementtien välillä paikoissa (n-1) / 2 ja (n + 1) / 2 on mediaani; käytännössä numeroluettelon tapauksessa useimmiten käytetään näiden kahden keskeisen arvon aritmeettista keskiarvoa .

Monimutkaisuus algoritmin mediaanin laskemiseksi on siis monimutkaisuus lajittelualgoritmi käyttää, nimittäin O ( n log n ) on paras .

Esimerkkejä

7 kokonaisluvun joukko : {12; 5; 6; 89; 5; 2390; 1}. Lajittelun jälkeen, sarja on 1, 5, 5, 6, 12, 89, 2390. Mediaani on 4 : nnen elementin sarjan, jolloin 6: neljä arvoa sarja vähemmän kuin tai yhtä suuri kuin 6, ja neljä suurempi kuin tai yhtä suuri kuin 6.
6 kokonaisluvun joukko: {12; 5; 6; 89; 5; 1}. Lajittelun jälkeen, sarja on 1, 5, 5, 6, 12, 89. Jokainen arvo välillä 3 rd ja 4 : nnen osia tämän sarjan, ollen välillä 5 ja 6, voidaan valita mediaani. Kolme elementtiä on pienempi tai yhtä suuri kuin 5,6 ja kolme on sitä suurempi, joten 5.6 on mediaani, mutta samoin on 5.141, 5.9 tai 5.5. Tätä viimeistä arvoa pidetään yleensä mediaanina, koska se on kahden keskeisen elementin 5 ja 6 aritmeettinen keskiarvo.
Oletetaan, että huoneessa on 21 henkilöä. Jokainen ottaa rahat taskustaan ja asettaa ne pöydälle: 20 ihmistä laski 5 euroa ja viimeinen 10 000 euroa. Mediaani on järjestettyjen luetteloiden 5, 5, 5,…, 5, 10 000 keskeinen elementti, yhdestoista. Siksi se on 5: yksitoista ihmistä omisti vähintään 5 euroa ja yksitoista enintään 5 euroa. Huomaa, että jos rikkain henkilö ei olisi osallistunut, mediaani olisi ollut sama (5 €), mutta keskiarvo olisi muuttunut radikaalisti (5 € 480,95 € sijaan ).
50 Wikipedian käyttäjän nimenomainen kysely paljastaa, että 12 kyselyyn vastanneista sanoo olevansa erittäin tyytyväisiä, 7 erittäin tyytymätöntä, 20 melko tyytyväistä ja muut sanovat olevansa hieman tyytymättömiä. Tämä joukko vastauksia voidaan lajitella lisäämällä tyytyväisyyttä, ja saamme luettelon viisikymmentä kohdetta tässä järjestyksessä: 7 erittäin tyytymätöntä, 11 melko tyytymätöntä, 20 melko tyytyväistä, 12 erittäin tyytyväistä. Kaksi keskeistä osasta, 25 : nnen ja 26 : nnen , on sama arvo: ”melko tyytyväinen”. Tämä arvo on siis kaikkien vastausten mediaaniarvo.

Muu lähestymistapa

Arvoryhmän mediaanin määrittämiseksi riittää laskea kasvavat kumulatiiviset prosenttiosuudet ja otamme sarjan ensimmäisen arvon, jonka kumulatiivinen prosenttiosuus ylittää 50%.

Tämä menetelmä on käytännöllisempi, kun sinulla on suuri määrä arvoja.

Algoritmien tehokkuus

On olemassa lineaarisen monimutkaisuuden algoritmeja (O ( n ): ssä), joten tehokkaampia. Nämä ovat algoritmeja, jotka yleensä tekevät mahdolliseksi määrittää n elementin luettelon k- s elementti (katso Valinta-algoritmi ); k = n / 2 mediaanille. Nämä ovat lajittelualgoritmien mukautuksia, mutta ne ovat tehokkaampia, koska kaikki arvot eivät kiinnosta meitä. Esimerkiksi voimme jakaa ja hallita -algoritmia käyttää vain O ( n ) -operaatioissa; tapauksessa algoritmi QuickSelect- , muutos nopeasti lajitella ( quicksort ), joka on yleensä O ( n ), mutta voi olla O ( n 2 ) pahimmassa tapauksessa.

Käytännössä, jos etsimme n kokonaislukulistan mediaania ja jos onnekas havaita, että maksimiarvo m on pienempi kuin n 2 (tämä havainto maksaa O ( n )), niin laskulajittelu , toteutus erittäin helppoa ja kustannukset, joka on, tässä tapauksessa, O ( m ) toiminnan avulla, jotta saadaan mediaani vähemmän kuin O ( n 2 ) toimintaa. Tämä tapaus koskee erityisesti arvosanoja 20: stä (ilman desimaaleja) luokassa, jossa on enemmän kuin 5 oppilasta (5 neliötä on suurempi kuin 20).

Tilastollinen dispersiomittaus

Kun mediaania käytetään arvojen paikantamiseen kuvailevissa tilastoissa, vaihtelevuuden ilmaisulle on olemassa erilaisia mahdollisuuksia: alue , kvartiilien välinen ja absoluuttinen alue . Koska mediaani on sama arvo kuin toinen kvartiili , sen laskenta on yksityiskohtainen artikkelissa kvartileja .

Mediaanit todennäköisyysjakaumissa

Kaikilla todellisilla todennäköisyysjakaumilla mediaani m täyttää yhtälön:

{\ displaystyle \ operaattorin nimi {P} (X \ leq m) \ geq {\ frac {1} {2}} {\ text {et}} \ operaattorin nimi {P} (X \ geq m) \ geq {\ frac { 1} {2}} \, \!}

ts . jakelutoiminnon suhteen :

F_ {X} (m) = 1- \ lim _ {{x \ - m ^ {-}}} F_ {X} (x).

Joten diffuusille todennäköisyysjakaumalle (jatkuva jakautumistoiminto):

F_ {X} (m) = {\ frac {1} {2}}.

Joidenkin jakaumien mediaanit

Kaikkien symmetristen jakaumien mediaani on yhtä suuri kuin odotukset.

Odotuksen μ ja varianssin σ 2 normaalin jakauman mediaani on μ. Tälle jakaumalle odotus = mediaani = tila .
Jatkuvan tasaisen jakauman mediaani aikavälillä [ a , b ] on ( a + b ) / 2, mikä on myös odotus .
Cauchyn lain mediaani sijaintikriteerillä x 0 ja asteikon parametrilla y on x 0 , sijaintikriteeri.
Eksponentiaalilain mediaani asteikolla λ on 2: n luonnollisen logaritmin jakaminen asteikolla, eli (ln 2) / λ.
Weibull-jakauman mediaani muotokertoimen k ja asteikkokertoimen λ kanssa on λ (log 2) 1 / k .

Mediaanit kuvailevissa tilastoissa

Mediaania käytetään pääasiassa vinoon jakautumiseen, koska se edustaa niitä paremmin kuin aritmeettinen keskiarvo. Harkitse joukkoa {1, 2, 2, 2, 3, 9}. Mediaani on 2, samoin kuin moodi, joka on parempi mitta keskitaipumuksesta kuin aritmeettinen keskiarvo 3,166….

Mediaanin laskenta tehdään yleensä edustamaan erilaisia jakaumia, ja se on helppo ymmärtää ja laskea. Se on myös keskimääräistä vahvempi äärimmäisten arvojen läsnä ollessa.

Teoreettiset ominaisuudet

Optimaalinen ominaisuus

Mediaani on myös keskeinen arvo, joka minimoi absoluuttisten poikkeamien keskiarvon. Aiemmin annetussa sarjassa {1, 2, 2, 2, 3, 9} tämä olisi (1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 7) / 6 = 1,5 eikä 1,944 keskiarvosta, mikä puolestaan minimoi asteen poikkeamat. Todennäköisyysteoriassa arvo c, joka minimoi

E (\ vasen | Xc \ oikea |) \,

on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman mediaani .

Eriarvoisuus, johon liittyy keinoja ja mediaaneja

Jatkuvissa todennäköisyysjakaumissa mediaanin ja odotuksen välinen ero on korkeintaan yksi keskihajonta .

Huomautuksia ja viitteitä

"Mediaanin laskeminen" , Kanadan tilasto .
Fabrice Mazerolle, " mediaani " ,2012(käytetty 13. helmikuuta 2012 ) .
[ (en) Valinta (deterministinen ja satunnaistettu): mediaanin löytäminen lineaarisessa ajassa ]