Jatkuva yhtenäinen laki

Ja n  ≥ 2 n- nnen cumulant yhdenmukaisten lain yli välillä [0, 1] on b n / n , missä b n on n- th Bernoulli numero .

Ominaisuudet

Tilaustilastot

Olkoon X 1 , ..., X n lain U (0, 1) mukainen näyte- iid . Olkoon X ( k ) on k- nnen kertaluvun tilastolliset näytteen. Sitten X ( k ): n jakauma on parametrien k ja n  -  k  + 1 beetajakauma . Odotus on

E[X(k)]=kei+1.{\ displaystyle \ mathbb {E} [X _ {(k)}] = {k \ yli n + 1}.}

Tämä tosiasia on hyödyllinen rakennettaessa Henry-linjaa .

Varianssit ovat

Var⁡(X(k))=k(ei-k+1)(ei+1)2(ei+2).{\ displaystyle \ operaattorin nimi {Var} (X _ {(k)}) = {k (n-k + 1) \ yli (n + 1) ^ {2} (n + 2)}.}

Yhtenäinen ulkonäkö

Todennäköisyys, että yhtenäinen muuttuja putoaa tietyllä aikavälillä, on riippumaton tämän aikavälin sijainnista, mutta riippuu vain sen pituudesta, edellyttäen että tämä intervalli sisältyy lain tukeen. Joten jos X ≈ U ( a , b ) ja [ x , x + d ] on [ a , b ]: n alaintervalli , kun d > 0 on kiinteä, niin

P(X∈[x,x+d])=∫xx+ddyb-klo=db-klo{\ displaystyle \ mathbb {P} \ vasen (X \ sisään \ vasen [x, x + d \ oikea] \ oikea) = \ int _ {x} ^ {x + d} {\ frac {\ mathrm {d} y} {ba}} \, = {\ frac {d} {ba}} \, \!}

joka on riippumaton x: stä . Tämä tosiasia motivoi tämän lain nimitystä.

Vakio yhtenäinen laki

Erityinen tapaus a = 0 ja b = 1 johtaa standardiin yhtenäiseen lakiin , myös U (0, 1). Huomaa seuraava tosiasia: jos u 1 on jaettu tavallisen yhtenäisen jakauman mukaisesti, niin pätee myös u 2 = 1 - u 1 .

Yhtenäinen laki joukosta A

Borelin missä tahansa A- osassa Lebesgue-mitta λ ( A ) on rajallinen ja ehdottomasti positiivinen, yhdistämme todennäköisyysjakauman, jota kutsutaan todennäköisyystiheysfunktion form yhtenäiseksi laiksi A , jonka määrittelee : Rd,{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d},} x∈Rd,{\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {R} ^ {d},}

f(x) = 1λ(AT) χAT(x),{\ displaystyle f (x) \ = \ {\ frac {1} {\ lambda (A)}} \ \ chi _ {A} (x),}

missä χ A on kokoonpanon A osoitintoiminto . Tiheys ƒ on nolla ulkopuolella mutta yhtä kuin vakio 1 / λ ( ) on .

Yksittäistapauksessa käsitelty lähinnä tämä sivu on tapaus, jossa d = 1, ja jossa on aikaväli [ , b ] ja R.{\ displaystyle \ mathbb {R}.}

Kuljetus ja muuttumattomuus

Riittävä ehto  -  laki satunnaismuuttujan Y = T ( X ) , kuva, jonka muutos T , on yhtenäinen muuttuja X on osa on on edelleen yhtenäinen laki T ( ) jos T on, asetetulla merkityksetön lähellä, injektio ja erilainen, ja jos melkein kaikkialla A: lla T: n jakobialaisen absoluuttinen arvo on vakio. Rd,{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d},}

• Jos T on affininen ja bijektiivinen, Y noudattaa yhtenäistä lakia T ( A ): sta .
• Erityisesti, jos T on isometrinen on poistuva muuttumattoman, Y on sama jakauma kuin X .Rd{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}
• Esimerkiksi lehtien isometria, joka on muuttumaton yhtenäinen laki alkuperää kohti keskitetystä yksikköpallosta, sillä edellytyksellä, että lähtövariantti jätetään.Rd{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}
• Toinen esimerkki isometriasta: jos U on tasainen yli arvon [0, 1], myös 1 - U on.
• Jos on murto-osa on x , ja eivät ole injektio tai differentioituva kaikkien [0, 1], mutta täyttävät hypoteeseja edellä, jossa T ([0, 1 [) = [0, 1 [ . Vastaavasti ja toimi jopa U: na . Poistumalla tämän sivun kehyksestä vähän ja merkitsemällä M ( x ) trigonometrisen ympyrän piste, jolla on kiinnitys, voidaan sitten nähdä M ( U ) pisteeksi, joka on piirretty satunnaisesti tasaisesti trigonometriselle ympyrälle. Pisteet ja saadaan sitten kierto kulman 2π (vast. Symmetrisesti suhteessa linjan kanssa ohjaa kulma π ), jotka ovat isometries lähtevät yksikköympyrän muuttumaton. Siksi ei ole yllättävää, että nämä kohdat noudattavat edelleen yksikköympyrän yhtenäistä lakia . Tämä näkyy hyvin erityinen ominaisuus yhdenmukaisen lain: se on haarin mitta on{x}{\ displaystyle \ {x \}}T+,klo(x)={klo+x}{\ displaystyle T _ {+, a} (x) = \ {a + x \}}T-,klo(x)={klo-x}{\ displaystyle T _ {-, a} (x) = \ {kirves \}}{klo+U}{\ displaystyle \ {a + U \}}{klo-U}{\ displaystyle \ {aU \}} e2iπx,{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi x},}M({klo+U}){\ displaystyle M (\ {a + U \})}M({klo-U}){\ displaystyle M (\ {aU \})}R∖Z.{\ displaystyle \ mathbb {R} \ taaksepäin viiva \ mathbb {Z}.}

Seuraus  -  Jos sekvenssi on sekvenssi riippumattomista ja yhdenmukaisista satunnaismuuttujista yli [0, 1] ja sitten sekvenssi on sarja riippumattomia ja yhdenmukaisia ​​satunnaismuuttujia yli [0, 1] . V=(V1,V2,...,Vei){\ displaystyle V = (V_ {1}, V_ {2}, \ pisteitä, V_ {n})}Uk={V1+V2+⋯+Vk},{\ displaystyle U_ {k} = \ {V_ {1} + V_ {2} + \ pistettä + V_ {k} \},}U=(U1,U2,...,Uei){\ displaystyle U = (U_ {1}, U_ {2}, \ pistettä, U_ {n})}

Ehdollinen tieto sen tiedosta, jonka laki sattuu olemaan yhtenäinen laki kohdasta [0, 1], kuten olemme juuri nähneet muutaman rivin yllä. Joten ehdollinen laki siitä , että tiedämme, että ehdottomasti ei riipu siitä, Tällä on kaksi seurausta: Uk,{\ displaystyle U_ {k},}(V1,V2,...,Vk-1)=(klo1,klo2,...,klok-1),{\ displaystyle (V_ {1}, V_ {2}, \ pisteitä, V_ {k-1}) = (a_ {1}, a_ {2}, \ pisteitä, a_ {k-1}),}{klo1+klo2+⋯+klok-1+Vk},{\ displaystyle \ {a_ {1} + a_ {2} + \ pistettä + a_ {k-1} + V_ {k} \},}Uk{\ displaystyle U_ {k}}(V1,V2,...,Vk-1)=(klo1,klo2,...,klok-1){\ displaystyle (V_ {1}, V_ {2}, \ pisteitä, V_ {k-1}) = (a_ {1}, a_ {2}, \ pisteitä, a_ {k-1})}(klo1,klo2,...,klok-1).{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ pistettä, a_ {k-1}).}

• Uk{\ displaystyle U_ {k}} noudattaa yhtenäistä lakia [0, 1];
• Uk{\ displaystyle U_ {k}}on riippumaton heimon syntyy mukaan ja varsinkin, että heimo syntyy mukaan alkaen(V1,V2,...,Vk-1){\ displaystyle (V_ {1}, V_ {2}, \ pisteitä, V_ {k-1})}(U1,U2,...,Uk-1),{\ displaystyle (U_ {1}, U_ {2}, \ pistettä, U_ {k-1}),}σ(V1,V2,...,Vk-1) ⊃ σ(U1,U2,...,Uk-1).{\ displaystyle \ sigma (V_ {1}, V_ {2}, \ pisteet, V_ {k-1}) \ \ supset \ \ sigma (U_ {1}, U_ {2}, \ pisteet, U_ {k- 1}).}

Tämä riittää lopuksi.

Se saattaa vaikuttaa yllättävältä, että muuttujat ja esimerkiksi ovat itsenäisiä, mutta ne molemmat riippuvat ratkaisevasti muuttujat ja Tämä on erityinen seuraus invarianssin omaisuutta yhtenäinen laki: esimerkiksi ollessa mitta de Haar ja se on idempotentti varten konvoluutio . {V1+V2}{\ displaystyle \ {V_ {1} + V_ {2} \}}{V1+V2+V3},{\ displaystyle \ {V_ {1} + V_ {2} + V_ {3} \},}V1{\ displaystyle V_ {1}}V2.{\ displaystyle V_ {2}.}R∖Z,{\ displaystyle \ mathbb {R} \ taaksepäin viiva \ mathbb {Z},}

Liittyvät jakelut

Seuraava lause toteaa, että kaikki jakaumat liittyvät yhtenäiseen lakiin:

Vastavuoroinen lause  -  Satunnaismuuttujalle, jolla on jakautumisfunktio F , merkitsemme G: llä sen yleistettyä vastavuoroista , joka on määritelty seuraavasti: ω∈]0,1[,{\ displaystyle \ omega \ in] 0,1 [,}

G(ω)=inf{x∈R | F(x)≥ω}.{\ displaystyle G (\ omega) = \ inf \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ | \ F (x) \ geq \ omega \ right \}.}

Jos tarkoittaa yhtenäistä todellista satunnaismuuttujaa yli [0, 1], sillä on sitten jakautumistoimintoU{\ displaystyle U}X=G(U){\ displaystyle X = G (U)}F.{\ displaystyle F.}

Lyhyesti sanottuna (itsenäisten) arvojen saamiseksi F: lle ominaisen lain mukaan riittää, että tämä toiminto käännetään ja sovelletaan sitä yhtenäisiin (itsenäisiin) arvontaan.

Tässä on joitain esimerkkejä tästä laista:

• Y = –ln ( U ) / λ jaetaan eksponentiaalilain mukaisesti parametrilla λ;
• Y = 1 - U 1 / n jakautuu parametrien 1 ja n beeta-lain mukaan . Tämä tarkoittaa siis, että yhtenäinen vakiolaki on beetalain erityistapaus parametreillä 1 ja 1.

Täydellisempi taulukko löytyy täältä . Lisäksi mielivaltaisten lakien satunnaismuuttujien tuottamisen taidetta, esimerkiksi käyttämällä yhtenäisiä muuttujia, on kehitetty julkaisussa Non-Uniform Random Variate Generation , Luc Devroye , julkaissut Springer, saatavilla verkossa.

Sovellukset

In tilastojen , kun p-arvo ( p-arvo ) käytetään tilastollista analyy- nollahypoteesi yksinkertainen, ja että testi jakauma on jatkuva, niin p-arvo on tasaisesti jakautunut mukaan yhtenäinen jakelu [ 0, 1], jos nollahypoteesi pätee.

Hanki yhdenmukaiset lain saavutukset

Useimmat ohjelmointikielet tarjoavat näennäissatunnaislukugeneraattorin, jonka jakauma on käytännössä yhtenäinen yhtenäinen laki.

Jos u on U (0, 1), niin v = a + ( b - a ) u noudattaa lakia U ( a , b ).

Hanki oivalluksia kaikista jatkuvista laeista

Edellä mainitun lauseen mukaan yhtenäinen laki antaa teoriassa mahdollisuuden saada vetoja mistä tahansa jatkuvasta tiheyslaista. Se riittää kääntämään tämän lain jakelutoiminnon ja soveltamaan sitä yhdenmukaisen vakiolain piirustuksiin. Valitettavasti monissa käytännön tapauksissa meillä ei ole analyyttistä lauseketta jakelutoiminnolle; Sitten voidaan käyttää numeerista inversiota (laskelmissa kallista) tai kilpailevia menetelmiä, kuten hylkäysmenetelmää .

Tärkein esimerkki käänteismuunnosmenetelmän epäonnistumisesta on normaalilaki . Kuitenkin Box-Muller- menetelmä tarjoaa kätevän menetelmän muuttamassa yhtenäinen näytteen normaalin näytteen tarkka tavalla.

Yhtenäiset satunnaiset permutaatiot ja yhtenäinen laki

Matemaatikot, kuten Luc Devroye tai Richard P. Stanley, suosivat yhdenmukaisen lain [0, 1] käyttöä satunnaisten permutaatioiden ( syklien koot , Eulerian luvut , lajittelualgoritmien, kuten pikalajittelu ) analysoimiseksi .

Rakentaminen yhtenäinen satunnainen permutaatio käyttäen näytteen tasainen jakautuminen

Antaa olla sekvenssi yhtenäinen iid satunnaismuuttujien on [0, 1], määritellään käyttäjää probabilized tila (esimerkiksi, määritellään jolla on sen heimon Borelians ja sen Lebesguen mitta , jonka tai vastaavalla tavalla, jonka Kaikkien kokonaisluku k välillä 1 ja n , anna U=(U1,U2,...,Uei){\ displaystyle U = (U_ {1}, U_ {2}, \ pistettä, U_ {n})}(Ω,AT,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}Ω=[0,1]ei{\ displaystyle \ Omega = [0,1] ^ {n}}Uk(ω1,ω2,...,ωei) = ωk,{\ displaystyle U_ {k} (\ omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ pisteitä, \ omega _ {n}) \ = \ \ omega _ {k},}U(ω)=ω.{\ displaystyle U (\ omega) = \ omega.}

σ(k,ω) = VSklord{i tels que 1≤i≤ei, et tels que Ui(ω)≤Uk(ω)}.{\ displaystyle \ sigma (k, \ omega) \ = \ \ mathrm {Card} \ left \ {i \ \ mathrm {such ~ as} \ 1 \ leq i \ leq n, \ \ mathrm {and ~ such ~ that } \ U_ {i} (\ omega) \ leq U_ {k} (\ omega) \ oikea \}.}

Näin ollen on tulkitaan sijoitus on näytteessä, kun se on järjestetty nousevaan järjestykseen. σ(k,ω){\ displaystyle \ sigma (k, \ omega)}Uk(ω){\ displaystyle U_ {k} (\ omega)}

Ehdotus  -  Kartta on yhtenäinen satunnainen permutaatio. k↦σ(k,ω){\ displaystyle k \ mapsto \ sigma (k, \ omega)}

Esittely

Jotta kiinteä permutaatio τ , merkitään

ATτ= {x∈Rei∣xτ(1)<xτ(2)<⋯<xτ(ei)},{\ displaystyle A _ {\ tau} = \ \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid x _ {\ tau (1)} <x _ {\ tau (2)} <\ pisteet <x_ {\ tau (n)} \ oikea \},}

ja aiheuttaa

τ.x= (xτ(1),xτ(2),...,xτ(ei)).{\ displaystyle \ tau .x = \ (x _ {\ tau (1)}, x _ {\ tau (2)}, \ pistettä, x _ {\ tau (n)}).}

Niin

{x∈ATτ} ⇔ {τ.x∈ATMinäd}.{\ displaystyle \ {x \ in A _ {\ tau} \} \ \ Leftightarrow \ \ {\ tau .x \ in A _ {\ mathrm {Id}} \}.}

Lisäksi tietysti, jos silloin U(ω)∈ATτ,{\ displaystyle U (\ omega) \ in A _ {\ tau},}

{∀k tel que 1≤k≤ei,σ(τ(k),ω) = k} ou eeivs.ore {σ(.,ω)=τ-1}.{\ displaystyle \ left \ {\ kaikki k \ \ mathrm {such ~ que} \ 1 \ leq k \ leq n, \ quad \ sigma (\ tau (k), \ omega) \ = \ k \ right \} \ \ mathrm {tai ~ uudelleen} \ \ {\ sigma (., \ omega) = \ tau ^ {- 1} \}.}

Kuten

⋃τ∈SeiATτ = {x∈Rei|les xi soeit tous diffe"reeits},{\ displaystyle \ bigcup _ {\ tau \ sisään {\ mathfrak {S}} _ {n}} A _ {\ tau} \ = \ \ vasen \ {x \ sisään \ mathbb {R} ^ {n} \, | \, \ mathrm {the} \ x_ {i} \ \ mathrm {ovat ~ kaikki ~ diff {\ välittömät {e}} vuokrat} \ oikea \},}

seuraa, että

B=Ω∖(⋃τ∈SeiATτ) = ⋃1≤i<j≤ei{x∈Rei|xi=xj}.{\ displaystyle B = \ Omega \ taaksepäin vinoviiva vasemmalle (\ bigcup _ {\ tau \ sisään {\ mathfrak {S}} _ {n}} A _ {\ tau} \ oikea) \ = \ \ bigcup _ {1 \ leq i <j \ leq n} \ vasen \ {x \ sisään \ mathbb {R} ^ {n} \, | \, x_ {i} = x_ {j} \ oikea \}.}

Jos on olemassa pari i < j , kuten ja näin ollen siis σ (., Ω ) ei ole permutaatio. Lopuksi, koska B ja tyyppijoukot muodostavat osion siitä, seuraa mitä tahansa permutaatiota τ , U(ω)∈B,{\ displaystyle U (\ omega) \ B: ssä,}Ui(ω)=Uj(ω),{\ displaystyle U_ {i} (\ omega) = U_ {j} (\ omega),}σ(i,ω)=σ(j,ω).{\ displaystyle \ sigma (i, \ omega) = \ sigma (j, \ omega).}ATρ{\ displaystyle A _ {\ rho}}Rei,{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}

{U(ω)∉ATτ} ⇒ {σ(.,ω)≠τ-1},{\ displaystyle \ left \ {U (\ omega) \ notin A _ {\ tau} \ right \} \ \ Rightarrow \ \ {\ sigma (., \ omega) \ neq \ tau ^ {- 1} \}, }

Näin ollen

P(U∈ATτ) = P(σ=τ-1).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ vasen (U \ A _ {\ tau} \ oikealla) \ = \ \ mathbb {P} \ vasen (\ sigma = \ tau ^ {- 1} \ oikea).}

Koska satunnaisvektorin komponentit ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden tiheydet vastaavat vastaavia merkittyjä tiheyksiä, tiedämme, että satunnaisvektorilla U itsessään on tiheys f , U=(U1,U2,...,Uei){\ displaystyle U = (U_ {1}, U_ {2}, \ pistettä, U_ {n})} fi,1≤i≤ei,{\ displaystyle f_ {i}, \ quad 1 \ leq i \ leq n,}

f(x)=∏i=1eifi(xi).{\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} f_ {i} (x_ {i}).}

Samoin satunnaisvektorin τ.U todennäköisyystiheys on g , joka määritetään seuraavasti:

g(x)=∏i=1eifτ(i)(xi).{\ displaystyle g (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} f _ {\ tau (i)} (x_ {i}).}

Tapauksessa, kuten täällä, missä satunnaisvektorin komponentit ovat iid, voimme valita todennäköisyyksien tiheydet, jotka ovat kaikki yhtä suuret. Siten satunnaisvektorien U ja τ.U tiheydet f ja g ovat samat: satunnaisvektoreilla U ja τ.U on siis sama laki. Siksi mistään permutaatio τ , fi{\ displaystyle f_ {i}}

P(U∈ATMinäd) = P(τ.U∈ATMinäd) = P(U∈ATτ) = P(σ=τ-1).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (U \ in A _ {\ mathrm {Id}} \ right) \ = \ \ mathbb {P} \ left (\ tau .U \ in A _ {\ mathrm {Id }} \ oikea) \ = \ \ mathbb {P} \ vasen (U \ A _ {\ tau} \ oikealla) \ = \ \ mathbb {P} \ vasen (\ sigma = \ tau ^ {- 1} \ oikealla).}

Muuten,

P(U∈B) = P(∃i<j tels que Ui=Uj) ≤ ∑1≤i<j≤eiP(Ui=Uj) = 0.{\ displaystyle \ mathbb {P} \ vasen (U \ B \ oikealla) \ = \ \ mathbb {P} \ vasen (\ on olemassa i <j \ \ mathrm {such ~ that} \ U_ {i} = U_ { j} \ oikea) \ \ leq \ \ summa _ {1 \ leq i <j \ leq n} \ mathbb {P} \ vasen (U_ {i} = U_ {j} \ oikea) \ = \ 0.}

Hypertasolla on todellakin nolla Lebesgue-mittausta , ja U: n todennäköisyyslaki on tiheydessä, joten absoluuttisesti jatkuva Lebesgue-mittaukseen nähden, joten {xi=xj}{\ displaystyle \ {x_ {i} = x_ {j} \}}

{λ({xi=xj})=0} ⇒ {0=PU({xi=xj})(=P(Ui=Uj))}.{\ displaystyle \ left \ {\ lambda (\ {x_ {i} = x_ {j} \}) = 0 \ oikea \} \ \ Rightarrow \ \ left \ {0 = \ mathbb {P} _ {U} ( \ {x_ {i} = x_ {j} \}) (= \ mathbb {P} \ vasen (U_ {i} = U_ {j} \ oikea)) \ oikea \}.}

Lopuksi

ei!P(σ=τ)=ei!P(U∈ATτ-1) = ei!P(U∈ATMinäd)=∑ρ∈SeiP(U∈ATρ)=P(U∈B)+∑ρ∈SeiP(U∈ATρ)=1,{\ displaystyle {\ begin {aligned} n! \, \ mathbb {P} \ left (\ sigma = \ tau \ right) & = n! \, \ mathbb {P} \ left (U \ in A _ {\ tau ^ {- 1}} \ oikea) \ = \ n! \, \ Mathbb {P} \ vasen (U \ A _ {\ mathrm {Id}} \ oikealla) \\ & = \ summa _ {\ rho \ in {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ mathbb {P} \ vasen (U \ A _ {\ rho} \ oikealla) \\ & = \ mathbb {P} \ vasen (U \ B \ oikea) + \ summa _ {\ rho \ sisään {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ mathbb {P} \ vasen (U \ A _ {\ rho} \ oikea) \\ & = 1, \ end {tasattu}}}

missä viimeinen tasa-arvo käyttää sitä, että B ja joukot muodostavat osion ATρ{\ displaystyle A _ {\ rho}}Rei.{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}

Yllä oleva väite pysyy totta, jos muuttujien yhteisellä todennäköisyysjakaumalla on tiheys riippumatta siitä, mikä se on, eikä vain yhtenäisen tiheyden suhteen. Voimme olla tyytyväisiä jopa iid-muuttujiin, joiden laki on hajanainen (ilman atomeja) modulo pienellä muutoksella todisteeseen. Yhtenäinen laki on kuitenkin erityisen kätevä erilaisiin sovelluksiin. Ui{\ displaystyle U_ {i}}

Satunnaisen permutaation laskujen lukumäärä ja Eulerin luvut

Antaa on määrä laskuja ja permutaatio arvotaan yhdenmukaisesti Tietenkin Xei(ω){\ displaystyle X_ {n} (\ omega)}σ(ω){\ displaystyle \ sigma (\ omega)}Sei.{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}.}

P(Xei=k)=eiombre de vs.klos fklovorklobleseiombre de vs.klos sossibles=AT(ei,k)ei!,{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbb {P} \ left (X_ {n} = k \ right) & = {\ frac {\ mathrm {~ ~ ~ suotuisten tapausten määrä}} {\ mathrm {numero ~ ~ mahdollisesta ~ tapauksesta}}} \\ & = {\ frac {A (n, k)} {n!}}, \ loppu {tasattu}}}

jossa ( n , k ) merkitsee permutaatioiden lukumäärä on täsmälleen k laskuja. A ( n , k ) kutsutaan Eulerian-luvuksi . Otetaan poseerata Sei{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}

Sei=U1+U2+⋯+Uei.{\ displaystyle S_ {n} = U_ {1} + U_ {2} + \ pistettä + U_ {n}.}

Meillä on sitten

Lause (S. Tanny, 1973)  -  Vastaavasti

P(Xei=k) = P(⌊Sei⌋=k) = P(k≤Sei<k+1),{\ displaystyle \ mathbb {P} \ vasen (X_ {n} = k \ oikea) \ = \ \ mathbb {P} \ vasen (\ lfloor S_ {n} \ rfloor = k \ right) \ = \ \ mathbb { P} \ vasen (k \ leq S_ {n} <k + 1 \ oikea),}

tai

AT(ei,k) = ei! P(k≤Sei<k+1).{\ displaystyle A (n, k) \ = \ n! \ \ mathbb {P} \ vasen (k \ leq S_ {n} <k + 1 \ oikea).} Esittely

Oletetaan, että sekvenssi, joka on rakennettu käyttämällä riippumattomien ja yhdenmukaisten satunnaismuuttujien sekvenssiä kohdassa [0, 1], relaation kautta. Sitten tiedämme invariansiokysymysten ( katso yllä ) ansiosta, että sekvenssi on riippumattomista ja yhdenmukaisista satunnaismuuttujista kohdassa [0, 1]. , 1]. Rakennamme sitten yhdenmukaisen satunnaisen permutaation σ (., Ω ) käyttäen sekvenssiä U , kuten yllä olevassa osiossa on esitetty  : on lasku sijoittumaan i : n arvoon σ (., Ω ), jos σ ( i , ω )> σ ( i + 1, ω ) tai vastaavalla tavalla, jos sisään rinnakkain, yksi kiinnittää, on trigonometriset ympyrä , pisteitä ja jolla on affiksen yksi sitten sitoutuu matkan yksikköympyrällä, joka koostuu liikkumisesta pistettä niin sitten ..., sitten siitä, että järjestyksessä, kääntämällä edelleen vastapäivään ja aloittaen pisteestä A kiinnikkeellä 1 (suorakulmaisin koordinaatein (0, 1)). Siten kuljetun polun kokonaispituus on tällöin U=(U1,U2,...,Uei){\ displaystyle U = (U_ {1}, U_ {2}, \ pistettä, U_ {n})}V=(V1,V2,...,Vei){\ displaystyle V = (V_ {1}, V_ {2}, \ pisteitä, V_ {n})}Uk={V1+V2+⋯+Vk}.{\ displaystyle U_ {k} = \ {V_ {1} + V_ {2} + \ pistettä + V_ {k} \}.}U=(U1,U2,...,Uei){\ displaystyle U = (U_ {1}, U_ {2}, \ pistettä, U_ {n})}Ui(ω)>Ui+1(ω).{\ displaystyle U_ {i} (\ omega)> U_ {i + 1} (\ omega).}Mk(ω){\ displaystyle M_ {k} (\ omega)} e2iπUk(ω).{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi U_ {k} (\ omega)}.}M1(ω),{\ displaystyle M_ {1} (\ omega),}M2(ω),{\ displaystyle M_ {2} (\ omega),}Mei(ω),{\ displaystyle M_ {n} (\ omega),}

2π (V1+V2+⋯+Vei).{\ displaystyle 2 \ pi \ \ vasen (V_ {1} + V_ {2} + \ pistettä + V_ {n} \ oikea).}

Lisäksi on alaspäin sen sijoitus i varten σ (., Ω ), jos ja vain jos yllä kuvatun matkustaa paikasta kehitetty kautta . Joten σ (., Ω ) laskujen määrä on pisteen A ylitysten lukumäärä , joka on myös matkan A kohdasta A paikkaan tehtyjen yksikköympyrän täydellisten käännösten lukumäärä . sekä kuljettu polku, katso yllä, kirjoitetaan myös täydellisten käännösten lukumäärä: Mi(ω){\ displaystyle M_ {i} (\ omega)}Mi+1(ω){\ displaystyle M_ {i + 1} (\ omega)}Mei(ω).{\ displaystyle M_ {n} (\ omega).}

⌊V1(ω)+V2(ω)+⋯+Vei(ω)⌋.{\ displaystyle \ left \ lfloor V_ {1} (\ omega) + V_ {2} (\ omega) + \ pisteet + V_ {n} (\ omega) \ right \ lattia.}

Siten σ : n laskujen (., Ω ) lukumäärä on yhtä suuri kuin . Σ : n laskujen lukumäärällä on sama laki kuin⌊V1(ω)+V2(ω)+⋯+Vei(ω)⌋.{\ displaystyle \ left \ lfloor V_ {1} (\ omega) + V_ {2} (\ omega) + \ pisteet + V_ {n} (\ omega) \ right \ lattia.}⌊Sei⌋.{\ displaystyle \ left \ lfloor S_ {n} \ right \ rfloor.}

Tästä seuraa välittömästi keskeinen raja-arvolause varten kautta Slutsky lause . Xei,{\ displaystyle X_ {n},}

Huomautuksia ja viitteitä

1. Katso yksityiskohtainen artikkeli täältä .
2. pdf-versio (ilmainen ja valtuutettu) (en) Luc Devroye , Epätasainen satunnainen variaattisukupolvi , New York, Springer-Verlag,1986, 1 st  ed. ( lue verkossa ) on saatavana, samoin kuin humoristinen kuvaus Luc Devroyen riidoista toimittajansa kanssa.
3. Tarkemmin sanottuna menetelmä vaatii kaksi itsenäistä vetoa U (0, 1) kahden itsenäisen normaalivedon aikaansaamiseksi.
4. katso (sisällä) S. Tanny , "  Todennäköinen tulkinta eulerilaisista luvuista  " , Duke Math. J. , voi.  40,1973, s.  717-722tai (en) RP Stanley , ”  Eulerian partitions of a unit hypercube  ” , Higher Combinatorics , Dordrecht, M. Aigner, toim., Reidel,1977.

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Box-Muller-menetelmä
• Henryn oikeus
• Pseudosatunnaislukugeneraattori
• Diskreetti yhtenäinen laki
• Beetalaki