Integroitu operaattori

On matematiikka , kiinteä operaattori tai ydin operaattori on lineaarinen operaattori määritellä käyttämällä muuttujien kiinteä tietyissä toiminnallisia tiloja . Tällaisen operaattorin kuva toiminnosta on siis toinen toiminto, jonka toimialue voi olla hyvin erilainen.

Tällaiset operaattorit ovat funktionaalisen analyysin perustekijöitä , joissa niiden avulla voidaan muuntaa yhtälö etukäteen helpommin ratkaistavan version saamiseksi . Ensimmäiset esimerkit ovat konvoluutio ja Fourier- tai Laplace-muunnokset , joten nimi kohtasi myös integraalimuunnoksen .

Ilmaisu

Integraalin operaattorin yleinen muoto annetaan seuraavalla lausekkeella:

S (f) (t) = \ int _ {{A}} {f (x) K (x, t) \, {\ mathrm {d}} \ mu (x)}

jossa funktiota $K$ kutsutaan operaattorin ytimeksi .

Monissa yleisissä esimerkeissä integraation $A alue$ on todellinen intervalli ja siihen liittyvä mitta on Lebesgue .

Erityiset ytimen muodot

Ytimen $K$ sanotaan olevan erotettavissa tai rappeutunut voidaan kirjoittaa muodossa

{\ displaystyle K (x, t) = \ summa _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} (x) b_ {i} (t)}

toimintojen $( a i ) kanssa$ riippumattomina.

Kompleksiarvoisen ytimen $K$ sanotaan olevan symmetrinen tai Hermitian, jos se tyydyttää

{\ displaystyle \ forall x, t, \ K (x, t) = {\ overline {K (t, x)}}.}

Ydintä $K$ kutsutaan " konvoluution ytimeksi ", jos se on muodoltaan

{\ displaystyle K (x, t) = k (xt).}

Ytimen $K$ sanotaan olevan säännöllinen, jos se tyydyttää:

{\ displaystyle \ iint K (x, t) \ mathrm {d} x \ mathrm {d} t <+ \ infty.}

Jos ytimellä $K$ on muoto, rajatulle funktiolle $h$ ,

{\ displaystyle K (x, t) = {\ frac {h (x, t)} {| xt | ^ {m}}}, \ m \ in] 0; 1 [,}

sitten integraalin yhtälön sanotaan olevan "heikosti singulaarinen". Saat jatkuvaa $h$ , löydämme integraaliyhtälö Abel.

Ydintä $K$ kutsutaan "Cauchy-ytimeksi", jos se on muodoltaan

{\ displaystyle K (x, t) = {\ frac {h (x, t)} {xt}}.}

Se esiintyy Cauchyn pääarvon määritelmässä .

käyttää

Integraaliset operaattorit puuttuvat diffuusioilmiöihin, joissa klassisesti puuttuvat integraaliyhtälöt . Ratkaisujen olemassaolo ja ainutlaatuisuus etsivät ratkaisuja Fredholm-vaihtoehdolla , kun jälkimmäinen on sovellettavissa, toisin sanoen kun käyttäjä on kompakti .

Useissa käytännön tilanteissa on jo kattava tutkimus käyttäjän spektrianalyysistä.

Sattuu, että tällainen operaattori hyväksyy käänteisen, joka on myös kiinteä operaattori. Jälkimmäisen ydintä kutsutaan sitten käänteiseksi ytimeksi.

Katso myös

[PDF] Gilles Leborgne, "Integral nucles , Hilbert space with reproduction nucleus: Introduction" , ISIMA-luentomonisteet,9. maaliskuuta 2016 (kuullut 25. heinäkuuta 2016)