On tekninen piirustus ja arkkitehtuuri , joka on rinnakkainen näkökulmasta , tai lieriömäinen näkökulma tai aksonometrisenä kuvana on muoto kaksiulotteinen esitys kolmiulotteisten kappaleiden, jonka tarkoituksena on säilyttää vaikutelman tilavuuden tai helpotusta. Joskus kutsutaan myös nopeaksi tai keinotekoiseksi näkökulmaksi, se eroaa kartiomaisesta perspektiivistä eikä kuvaa sitä, mitä silmä todella näkee: Erityisesti rinnakkaisuuksia esiintyy edelleen rinnakkaisina eikä etäisyyksiä vähennä etäisyydellä. Voidaan pitää sitä kartiomaisena tai keskinäisenä näkökulmana, jonka keskipiste olisi lähetetty äärettömään, toisin sanoen kauas havaitusta kohteesta.
Rinnakkainen perspektiivipiirustus on tulos projisoidusta tasoon, joka on yhdensuuntainen tietyn suunnan kanssa.
Klassisimmista rinnakkaisnäkymistä voidaan lainata kavalieriperspektiiviä ja kohtisuoraa aksonometriaa (liittyy ortogonaaliseen projektioon ). Termi aksonometria tai aksonometrinen perspektiivi (aksonin akselin ja metriamittauksen suhteen) tarkoittaa tekijöiden mukaan joko mitä tahansa rinnakkaista perspektiiviä tai kohtisuoraa perspektiiviä.
Kolme viivaa (Ox, Oy, Oz) on kohtisuorassa ja porrastettu samalla tavalla määrittelevät avaruuden ortonormaalin koordinaattijärjestelmän . Rinnakkaisnäkymä määritetään sitten kokonaan
Koordinaattitilan (x, y, z) piste M esitetään sitten pisteellä m, joka saadaan siirtymällä pisteestä o peräkkäin suuntaan [ox '), [oy') ja [oz ') vastaavia etäisyyksiä x × k x , y × k y ja z × k z .
Tämän tyyppinen piirustus on erityisen helppo saavuttaa, joko käsin tai tietokoneella ( tietokonegrafiikka , tietokoneavusteinen piirustus , 3D-kuvasynteesi ). Se antaa vaikutelman helpotuksesta säilyttäen suhteet tiettyyn suuntaan. Siksi se on hyödyllinen työkalu arkkitehtuurissa ja teknisessä piirustuksessa.
Kolmen akselin suunnan valinta ja tekijät, jotka toimivat näiden kolmen akselin pituuksilla, jätetään suunnittelijoiden vapaalle tahdolle. Huonosti vakiintuneeseen sanastoon liittyvien hyvin monipuolisten käytäntöjen joukossa on kuitenkin tiettyjä etuoikeutettuja näkökulmia.
Rinnakkainen perspektiivipiirros on tulos projektiosta tasolle (P) mihin tahansa suuntaan (d). Ortonormaali koordinaattijärjestelmä (O, U, V, W) heijastuu osiin (o, u, v, w) ja määrittelee siten tason (tai), (ov), (ow) kolme akselia, jotka on porrastettu pituuksien tai ov, ow. Koordinaattitilan (x, y, z) piste M heijastetaan sitten tasoon vektorin tasa-arvon varmistavan tason pisteen m mukaisesti.
M: n sijainnin löytämiseksi, tietäen m: n sijainti, on tiedettävä lisätietoja, kuten kuva pisteen M projektiosta tasossa (OUV).
Päinvastoin, Karl Pohlke (de) on osoittanut, että neljää tasoittamatonta pistettä (o, u, v, w) voidaan pitää tasona, homoteettisena muunnoksena kahden ortonormaalin viitteen ennustettuina neljänä pisteenä (O, U, V, W). symmetrinen toisilleen tason (P) suhteen. Tämän vuoksi on mahdollista rakentaa rinnakkainen perspektiivi valitsemalla mielivaltaisesti neljä pistettä (o, u, v, w) tai kolme epätasaisesti porrastettua akselia, joiden oletetaan edustavan avaruuden vertailupistettä.
Se on yhdensuuntainen perspektiivi, jonka projektiosuunta (d) ei ole kohtisuorassa tasoon (P) nähden. Tämän tyyppinen näkökulma pyrkii menettämään osuudet edustettujen esineiden välillä, ja Aubert neuvoo niitä arkkitehtonisten piirustusten yhteydessä. Erityisesti pallo projisoidaan vinossa projektiossa ellipsin jälkeen.
Vinoaksonometrioiden joukossa on kuitenkin usein käytetty kahta perspektiiviä, joissa projektio suoritetaan tasolle, joka on yhdensuuntainen perustason kanssa. Tämän perustason kanssa yhdensuuntaisissa tasoissa olevat luvut esitetään sitten todellisissa kooissa ilman muodonmuutoksia.
Näitä näkökulmia, joissa kaksi kolmesta akselista valmistuu identtisesti, kutsutaan dimetrisiksi perspektiiveiksi.
Ortogonaalinen aksonometria tai oikea aksonometria on rinnakkainen perspektiivi, jossa ulkoneman suunta (d) on kohtisuorassa tasoon (P) nähden. Sen avulla suhteita voidaan kunnioittaa enemmän. Palloa edustaa siellä erityisesti ympyrä. Voimme silti valita mielivaltaisesti kolmen akselin (tai), (ov) ja (ow) suunnan. Olemme yleensä valita edustamaan pystyakselin (ow) ja me määritä kulmat , ja . Mutta kun suunnat valitaan, kolmen akselin asteikot asetetaan sitten ja määritetään joko laskemalla tai geometrisesti.
Kulmien valinta ja jätetään suunnittelijan harkintaan, joka pyrkii saamaan parhaan tuloksen piirustukselleen. Kun kaksi kulmaa on yhtä suuri, asteikot kahdella akselilla ovat identtiset, puhumme sitten dimetriasta. Kun kolme kulmaa ovat samat, asteikko kolmella akselilla on identtinen, puhumme isometriasta tai isometrisestä perspektiivistä . Kun näkökulmalla pyritään ottamaan huomioon katto, suosimalla matalan kulman näkymää, puhumme katon aksonometriasta.
Dimetrien joukosta ne, joiden kulmat ovat 97 ° , 131,5 ° ja 131,5 °, tarjoavat etun, kun saadaan pelkistyskertoimet, jotka ovat verrannollisia arvoon 1,1, 1/2. Isometrinen perspektiivi, jonka toteutus on vielä yksinkertaisempaa, tarjoaa etun suhteiden kunnioittamisesta, mutta sillä on ärsyttävä vaikutus sekoittamalla yksikkökuution tietyt pisteet.
Käsin piirretty, jopa nopea näkökulma vaatii perusteellisuutta ja huomaavaisuutta. Tästä syystä käytetään pitkään vain hyvin kiinteitä rinnakkaisen perspektiivin tyyppejä. Tietokoneiden ja tietokoneavusteisen piirustuksen kehitys mahdollistaa suuremman vaihtelun katselukulmissa ja tekee perspektiivipiirustuksen nopeammaksi.
Heti kun edustettava kohde nähdään merkittävästä kulmasta tai syvyydestä, kartiomainen perspektiivi esittää korkeamman realismin.
Itse asiassa, kun käytetään aksonometristä perspektiiviä, etäisyys tarkkailijasta johtaa vain käännökseen tasossa eikä etäisyyden kohteiden koko pienene.
Tästä syystä aksonometria pystyy edustamaan vain melko uskollisesti:
Rinnakkaisnäkymää käytetään empiirisesti ennen kartiomaisen perspektiivin sääntöjen käyttöönottoa. Voimme nähdä esimerkkejä siitä tietyissä kreikkalaisten maljakoiden koristeissa, Villard de Honnecourtin muistikirjoissa tai Ambrogio Lorenzettin maalauksissa .
Idässä kiinalaiset ja japanilaiset maalaukset käyttivät laajasti aksonometriaa. Tämä tekniikka antaa mahdollisuuden edustaa jatkuvasti peräkkäisiä tapahtumia ja raportoida niistä rullilla, vähän kuin lännessä Bayeux-kuvakudoksen tapaan.
Se mahdollistaa myös erittäin suurten kohtausten esittämisen.
Arkkitehtuurissa rinnakkainen perspektiivi täydentää Mongen kehittämiä näkymiä, jotka ovat kuvaava geometria edestä ja ylhäältä. Pitkään käytettiin vain geometrisia näkymiä, kartiomainen perspektiivi, joka osoittaa rakennuksen ympäristössä, oli varattuna taiteen ja maalauksen kentälle. Uskollinen siihen, mitä silmä näkee, kartiomainen perspektiivi ei antanut mahdollisuutta ilmoittaa selkeästi eri ulottuvuuksien välisiä suhteita, jotka ovat välttämättömiä arkkitehdille; sitä käyttävät kuitenkin suuret nimet, kuten Ledoux , Lequeu tai Viollet-le-Duc .
Ensimmäiset perspektiiviset esitykset näyttävät rinnakkain XVI - luvulle Androuet Hoopin kirjoituksissa , jotka rakentavat empiirisiä näkökulmia. Venetsialainen Giovanni Battista Belluzzi ilmaisee vuonna 1598 julkaistussa Nuova invente di fabricar fortezze di varie forme -sarjassa aksonometrian kiinnostuksen sotilasrakentamisen taiteeseen ", koska meillä on tarve nähdä koko asia selvästi ja selkeästi" ja Jacques Perret de Chambéry käyttää sitä teknisissä piirustuksissaan ja täsmentää, että eri mitat voidaan sitten ottaa yksinkertaisesti kompassilla, jälkimmäinen käyttää sotilaallisia näkökulmia.
Vuonna XIX : nnen vuosisadan , se oli lähinnä ulkomailla että kehittyy vakava tutkimus kaisen kanssa teoksia William Farish , Englannissa, Julius Weisbach ja Karl Pohlke (of) Saksa. Aksonometriaa puolustaa Ranskassa Jules Maillard de La Gournerie . Mutta se on Auguste Choisy kuka, lopussa XIX th vuosisadan antaa hänelle suosiota kirjoissaan rakennustaiteen ... tai rakennustaiteen ... .
Ranskassa alussa XX : nnen vuosisadan , kaisen on vähän käytetty kouluissa arkkitehtuurin. Nopean aksonometrian tekeminen edellyttää usein pystysuorien nostamista jo jäljitetylle tasolle ja siten sotilaallisen näkökulman rakentamista. Saksassa edustaminen aksonometriassa otti taiteen aseman itsessään, Bauhaus- liikkeen kanssa , samoin kuin De Stijl -liikkeen taiteilijoiden , kuten Theo van Didburgin keskuudessa . Aksonometriaa puolustaa taidemaalari-arkkitehti Lazar Lissitzky kuuluisassa artikkelissa K und Pangeometrie . Sitä käyttävät Giuseppe Terragni , le Corbusier ja Gabriel Guevrekian . 1970-luvulta lähtien se tunnustettiin täydentäväksi näkymäksi samalla tavalla kuin valokuvaus tai kartiomainen perspektiivi.
Rinnakkaisnäkymien geometriset ominaisuudet, rinnakkaisuuden säilyminen, mittasuhteiden säilyttäminen kiinteässä suunnassa tekevät siitä mielenkiintoisen työkalun teknisessä piirustuksessa, sekä matematiikassa, jotta voidaan havainnollistaa avaruuden kokoonpanoa että teollisuusalaa yhden kappaleen ominaisuuksien kuvaamiseksi. Jo XI th luvulla , Kiina, löytyy tutkielma arkkitehtuurin Ying Tsao Fa Shih kokoonpanopiirustukset näkökulmasta. Sen käyttö jatkui, vaikka kartiomainen perspektiivi tarjosi mahdollisuuden realistisempaan esitykseen. Matemaattisen kaavion tai konesuunnitelman toteuttamiseksi Leonardo da Vinci ja Luca Pacioli valitsevat rinnakkaisen perspektiivin, jotka molemmat ovat kuitenkin melko kartiomaisen perspektiivin mestareita. Kappaleiden käsin esitettävyyden vaikeus rajoitti perspektiivin muutamaan erityistyyppiin: perspektiivinäkymä 45 ° tai 60 ° kulmalla, pelkistyskerroin 0,5 tai 0,7 tai isometrinen perspektiivi. Mutta tietokonetyökalu yleistää ja helpottaa sen käyttöä tästä lähtien.
Kuten kaikkien ennusteiden ja perspektiivien kohdalla, kolmannen ulottuvuuden sisältämien tietojen menetys mahdollistaa tietyt tulkintavirheet, virheet, joita vastaan näkemämme varoitetaan paremmin kiikarin näkemyksen ja mahdollisuuden, että meillä on. silmät ja pää.
Sylinterimäinen perspektiivi soveltuu paremmin kuin kartio perspektiivien illuusioiden esittämiseen, koska sen lisäksi, että se on projektio, se jättää huomioimatta perspektiivin ennakoinnin. Tätä ovat käyttäneet mahdotonta esineiden luomista , erityisesti O. Reutersvärd ja MC Escher .
Tarkastellaan suoraa ortonormaalia koordinaatistoa , jolloin vektorit määrittelevät avaruudessa x- , y- ja z- akselit .
Näiden kolmen akselin edustavat kolmea akselia piirustuksen tasossa, yksikön johtaja vektoreita , ja kuten:
Jos tiedämme avaruudessa olevan pisteen koordinaatit ( x , y , z ), niin tämän pisteen sijoitus projektiotasoon saadaan yksinkertaisesti siirtämällä sen koordinaatit heijastetuille akseleille, joihin kertoimet k 1 , k 2 ja 2 vaikuttavat. k 3 .
Ortogonaalinen projektio on matemaattinen operaatio. Meitä kiinnostavassa tapauksessa kyse on avaruuspisteen heijastamisesta tasolle kohtisuoraan tähän tasoon nähden.
Esimerkiksi auringon luoma varjo , kun se on pystysuorassa sijaintimme kanssa, on kohteen kohtisuora projektio.
Ortogonaaliset projektiot ovat lineaarisia karttoja , mikä tarkoittaa muun muassa sitä, että kaksi suhteellista vektoria pysyvät verrannollisina kerran heijastettuna; nämä ovat siis aksonometrisiä näkökulmia.
Jos projektiota voidaan hallita yksinkertaisesti tietokonegrafiikalla, projisoitujen akselien suuntien ja suhteellisuuskertoimien määrittäminen manuaaliselle käyrälle ei ole yleisessä tapauksessa kovin yksinkertaista. Itse asiassa käytämme usein dimetrisiä näkökulmia, joissa kaksi kertoimista ovat samat.
Voimme kuvata projisointitason kiertymillä, jotka muuttavat tietyn tason, esimerkiksi tason (O xz ). Jos oletetaan, että loppuosan projektio on pystysuora, niin nähdään, että projektiotaso voidaan saada kahdella kierroksella, esimerkiksi:
Voit myös edetä päinvastaisessa järjestyksessä:
Aiomme säilyttää tämän toisen tavan tehdä asioita. Huomaa, että saamme saman tuloksen, kun otetaan huomioon, että projektiotaso pysyy kiinteänä, mutta että koordinaatisto kiertää (vastakkaisten kulmien kanssa). Katsotaan, että projektiotaso on (O xz ). Jos pyöritetään (O z ) ympäri kulman ω avulla, pohjan vektorit muunnetaan:
Jos me sitten soveltaa kierto kulman α ympäri alkuperäisen akselin O- x (joka on todellakin jälki (O xy ) projektiotasossa), niin että teemme projektio tasossa, me näkee, että on suora ortonormaalin koordinaatti projektiotason järjestelmä (muunnettu pyörimillä, jos kääntyvä taso on, tai alkuperäinen, jos kääntyvä viitemerkki on):
Akseliprojektiot annetaan siten seuraavien vektorien avulla, joiden normi on siirtokerroin:
Projisoitujen akseleiden kulmat ja vaakatasoon nähden voidaan laskea esimerkiksi trigonometrian avulla:
kulmat, jotka ovat täällä, eivät ole suunnattuja.
Jos x , y ja z ovat koordinaatit avaruuspisteessä koordinaattijärjestelmässä ja x “ ja y” sen koordinaatit heijastuvat koordinaattijärjestelmään , voidaan määrittää projektion matriisi P, kuten
(katso artikkeli Matrix-tuote ), kanssa
ja
Esimerkiksi kun ω = 30 ° ja α = 20 °, meillä on:
Valitaan k 1 = k 2 ; x- ja y- akselien projektiot ovat symmetrisiä pystysuoraan nähden. Tämä tilanne on erityinen tapaus ortogonaalisesta projektiosta, jossa ω = 45 °; meillä on cos ω = sin ω = √2 / 2 tai
Projisointitaso pyörii tason toisen puolittimen (O xy ) ympäri, ts. Vektorin ympäri .
Meillä on
ja
Esimerkiksi kun a = 45 °, meillä on
ja kun a = -10 °, meillä on
Isometrinen perspektiivi on erikoistapaus, jossa kolme suhdetta ovat samat. Tämä on kohtisuora projektio.
Meillä on :
k 1 = k 3On
käyttämällä sitä, että cos²α + sin²α = 1, saamme
ja siksi myös joko
Siksi se on dimetrinen ortogonaalinen projektio (ω = 45 °), jolle meillä on α ≈ 35,26 ° ja k 1 = k 2 = k 3 ≈ 0,82.
ja
On
x " ≈ 0,71 ( x - y ) y " ≈ -0,41 ( x + y ) + 0,82 zNäemme, että jos tiedämme koordinaatit X_3D, Y_3Dja Z_3Dpisteen avaruudessa, sen koordinaatit ruudulla X_2Dja Y_2Dottaen huomioon ortogonaalinen projektio, on muotoa:
X_2D = X_2D_0 + facteur*( A1*X_3D + A2*Y_3D ) Y_2D = Y_2D_0 + facteur*( B2*(A2*X_3D - A1*Y_3D) + B1*Z_3D )missä X_2D_0ja Y_2D_0ovat vakioita, jotka mahdollistavat kuvan "keskittämisen", ja facteurse on asteikkovakio. Vakioita A1, A2, B1ja B2luonnehtivat akselien suunnassa ja osuus raportteja näistä akseleista; ne voidaan määritellä seuraavasti:
A1 = cos(omega) A2 = sin(omega) B1 = cos(alpha) B2 = sin(alpha)omegaja alphavakioina (edelliseen tutkimukseen verrattuna sinin ω merkki on muuttunut, mikä vastaa kulmamerkin muutosta, siis kiertosuunnan viittausta). Voimme myös määritellä ne ilman suhdetta kulmiin "empiirisellä" tavalla (esimerkiksi kokeilulla ja erehdyksellä mukautetun "miellyttävän" tuloksen saamiseksi) välillä -1 ja 1 ja tarkistamalla:
A1^2 + A2^2 = 1 B1^2 + B2^2 = 1voimme siten määritellä vain kaksi parametria, A1ja B1, ja laskea:
A2 = sqrt(1 - A1^2) tai A2 = - sqrt(1 - A1^2) B2 = sqrt(1 - B1^2) tai B2 = - sqrt(1 - B1^2)