Yleistetty puhelupolynomi

On matematiikka , joka on sekvenssi, on polynomien on yleisen Appell esitys , jos generoiva funktio polynomien on muotoa: ${\ displaystyle (p_ {n} (z)) _ {n \ sisään \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle K (z, w) = A (w) \ Psi (zg (w)) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}

jossa generointitoiminto koostuu sarjasta : ${\ displaystyle K (z, w)}$

${\ displaystyle A (w) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} w ^ {n}}$ kanssa ; ${\ displaystyle a_ {0} \ neq 0}$
${\ displaystyle \ Psi (t) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} \ Psi _ {n} t ^ {n}}$ kaikkien kanssa ; ${\ displaystyle \ Psi _ {n} \ neq 0}$
${\ displaystyle g (w) = \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} g_ {n} w ^ {n}}$ kanssa . ${\ displaystyle g_ {1} \ neq 0}$

Edellä mainituissa olosuhteissa ei ole vaikeaa osoittaa, että se on asteen polynomi . ${\ displaystyle p_ {n} (z)}$ $ei$

Erikoistapaukset

Valinta antaa luokan ja Brenke polynomien (en) . ${\ displaystyle g (w) = w}$
Valinta antaa Shefferin polynomien sekvenssin . ${\ displaystyle \ Psi (t) = \ operaattorin nimi {e} ^ {t}}$
Samanaikainen valinta ja antaa Appell-polynomien sekvenssin tarkassa merkityksessä. ${\ displaystyle g (w) = w}$ ${\ displaystyle \ Psi (t) = \ operaattorin nimi {e} ^ {t}}$

Selkeä edustus

Yleistetyillä puhelupolynomeilla on nimenomainen esitys

{\ displaystyle p_ {n} (z) = \ summa _ {k = 0} ^ {n} z ^ {k} \ Psi _ {k} h_ {k}}

Kerroin on ${\ displaystyle h_ {k}}$

{\ displaystyle h_ {k} = \ summa _ {P} a_ {j_ {0}} g_ {j_ {1}} g_ {j_ {2}} \ ldots g_ {j_ {k}}}

jossa summa kattaa kaikki ” osiot laajassa merkityksessä” on n osaksi k + 1 osia, toisin sanoen kaikki ( k + 1) monikko j on positiivinen tai nolla kokonaislukuja ja summa n .

Appell-polynomien osalta tästä kaavasta tulee seuraava:

{\ displaystyle p_ {n} (z) = \ summa _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {a_ {nk} z ^ {k}} {k!}}}

Toistumissuhteet

Vastaavasti, on välttämätön ja riittävä ehto, että ytimen voidaan kirjoittaa kanssa on se, että ${\ displaystyle K (z, w)}$ ${\ displaystyle A (w) \ Psi (zg (w))}$ ${\ displaystyle g_ {1} = 1}$

{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen K (z, w)} {\ osittainen w}} = c (w) K (z, w) + {\ frac {zb (w)} {w}} {\ frac {\ osittainen K (z, w)} {\ osittainen z}}}

missä ja joilla on sarjakehitys ${\ displaystyle b (w)}$ ${\ displaystyle c (w)}$

{\ displaystyle b (w) = {\ frac {w} {g (w)}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} w}} g (w) = 1 + \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} w ^ {n}}

{\ displaystyle c (w) = {\ frac {1} {A (w)}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} w}} A (w) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} w ^ {n}}

Tekemällä korvaamisen

{\ displaystyle K (z, w) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}

heti tulee toistosuhde :

{\ displaystyle z ^ {n + 1} {\ frac {d} {dz}} \ vasen [{\ frac {p_ {n} (z)} {z ^ {n}}} \ oikea] = - \ summa _ {k = 0} ^ {n-1} c_ {nk-1} p_ {k} (z) -z \ summa _ {k = 1} ^ {n-1} b_ {nk} {\ frac {d } {dz}} p_ {k} (z)}

Brenken polynomien erityistapauksessa meillä on ja siten kaikki nollat, mikä yksinkertaistaa huomattavasti toistosuhdetta. ${\ displaystyle g (w) = w}$ $b_n$

Kirjoittajan luotto

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista " Generalized Appell polynomials " ( katso kirjoittajaluettelo ) .

Bibliografia

(en) Ralph P.Boas, Jr. ja R.Creighton Buck (en) , analyyttisten toimintojen polynomilaajennukset , New York / Berliini, Academic Press / Springer-Verlag ,1964, 2 nd ed.
(en) William C. Brenke, " Polynomijärjestelmien toimintojen tuottamisesta " , Amer. Matematiikka. Kuukausi. , voi. 52,1945, s. 297-301
(en) WN Huff, " f (xt) φ (t) tuottamien polynomien tyyppi " , Duke Math. J. , voi. 14,1947, s. 1091-1104