Bernoullin polynomi
Vuonna matematiikassa , Bernoulli polynomeja näkyvät tutkimuksessa monien erikoistoimintoja ja erityisesti Riemannin Zeta funktio ; analogiset polynomit, jotka vastaavat naapurigeneraattorin toimintoa, tunnetaan nimellä Euler-polynomit .
Määritelmä
Bernoullin polynomit ovat ainutlaatuinen polynomien sekvenssi , kuten:
(Bei)ei∈EI{\ displaystyle \ vasen (B_ {n} \ oikea) _ {n \ sisään \ mathbb {N}}}
- B0=1{\ displaystyle B_ {0} = 1}
- ∀ei∈EI,Bei+1′=(ei+1)Bei{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, B '_ {n + 1} = (n + 1) B_ {n}}
- ∀ei∈EI∗,∫01Bei(x)dx=0{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*}, \ int _ {0} ^ {1} B_ {n} (x) dx = 0}
Funktioiden luominen
Generaattori toiminto on Bernoulli-polynomien on
textet-1=∑ei=0∞Bei(x)teiei!{\ displaystyle {\ frac {te ^ {xt}} {e ^ {t} -1}} = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}}.
Eulerin polynomien generaattoritoiminto on
2extet+1=∑ei=0∞Eei(x)teiei!{\ displaystyle {\ frac {2e ^ {xt}} {e ^ {t} +1}} = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} E_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}}.
Eulerin ja Bernoullin numerot
Bernoulli numerot annetaan .
Bei=Bei(0){\ displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0)}
Euler numerot annetaan .
Eei=2eiEei(1/2){\ displaystyle E_ {n} = 2 ^ {n} E_ {n} (1/2)}
Selkeät lausekkeet pienille tilauksille
Bernoullin polynomien ominaisuudet
Erot
Bernoulli- ja Euler-polynomit noudattavat esimerkiksi Édouard Lucasin käyttämän ombralaskun monia suhteita .
Bei(x+1)-Bei(x)=eixei-1{\ displaystyle B_ {n} (x + 1) -B_ {n} (x) = nx ^ {n-1} \,}
Eei(x+1)+Eei(x)=2xei{\ displaystyle E_ {n} (x + 1) + E_ {n} (x) = 2x ^ {n} \,}
Johdannaiset
Bei′(x)=eiBei-1(x){\ displaystyle B_ {n} '(x) = nB_ {n-1} (x) \,}
Eei′(x)=eiEei-1(x){\ displaystyle E_ {n} '(x) = nE_ {n-1} (x) \,}
Käännökset
Bei(x+y)=∑k=0ei(eik)Bk(x)yei-k{\ displaystyle B_ {n} (x + y) = \ summa _ {k = 0} ^ {n} {n \ valitse k} B_ {k} (x) y ^ {nk}}
Eei(x+y)=∑k=0ei(eik)Ek(x)yei-k{\ displaystyle E_ {n} (x + y) = \ summa _ {k = 0} ^ {n} {n \ valitse k} E_ {k} (x) y ^ {nk}}
Symmetriat
Bei(1-x)=(-1)eiBei(x){\ displaystyle B_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} B_ {n} (x)}
Eei(1-x)=(-1)eiEei(x){\ displaystyle E_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} E_ {n} (x)}
(-1)eiBei(-x)=Bei(x)+eixei-1{\ displaystyle (-1) ^ {n} B_ {n} (- x) = B_ {n} (x) + nx ^ {n-1}}
(-1)eiEei(-x)=-Eei(x)+2xei{\ displaystyle (-1) ^ {n} E_ {n} (- x) = - E_ {n} (x) + 2x ^ {n}}
Muut ominaisuudet
∀ei∈EI,Bei(x)=2ei-1(Bei(x2)+Bei(x+12)){\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, B_ {n} (x) = 2 ^ {n-1} \ vasen (B_ {n} \ vasen ({\ frac {x} {2}} \ oikea) + B_ {n} \ vasen ({\ frac {x + 1} {2}} \ oikea) \ oikea)}
∀s∈EI,∀ei∈EI,∑k=0eiks=Bs+1(ei+1)-Bs+1(0)s+1{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N}, \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {B_ {p +1} (n + 1) -B_ {p + 1} (0)} {p + 1}}}
Tämä viimeinen Faulhaberin kaavasta johdettu tasa-arvo tulee tasa-arvosta: tai yksinkertaisemmin teleskooppisummasta∫xx+1Bei(t)dt=xei{\ displaystyle \ int _ {x} ^ {x + 1} B_ {n} (t) \, \ mathrm {d} t = x ^ {n}}
∑k=0ei(Bm(k+1)-Bm(k))=Bm(ei+1)-Bm(0){\ displaystyle \ summa _ {k = 0} ^ {n} \ vasen (B_ {m} (k + 1) -B_ {m} (k) \ oikea) = B_ {m} (n + 1) -B_ {m} (0)}
.
Erityiset arvot
Numerot ovat Bernoullin numeroita .
Bei=Bei(0){\ displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0)}
∀ei>1,Bei(0)=Bei(1){\ displaystyle \ kaikki n> 1, \ quad B_ {n} (0) = B_ {n} (1)}Muut kuin parittomat Bernoulli-luvut ovat nollia:
∀s∈EI∗B2s+1(0)=B2s+1(1)=0{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad B_ {2p + 1} (0) = B_ {2p + 1} (1) = 0}
∀s∈EIB2s+1(12)=0{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad B_ {2p + 1} \ vasen ({\ frac {1} {2}} \ oikea) = 0}
∀s∈EIB2s(12)=(122s-1-1)B2s{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad B_ {2p} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = \ left ({\ frac {1} {2 ^ {2p -1}}} - 1 \ oikea) B_ {2p}}
Fourier-sarja
Fourier-sarjan Bernoulli-polynomien on myös dirichlet'n sarja , joka saadaan laajennus:
Bei(x)=-ei!(2πi)ei∑k∈Zk≠0e2πikxkei=-ei!∑k=1∞e2πikx+(-1)eie-2πikx(2πik)ei=-2ei!∑k=1∞cos(2kπx-eiπ2)(2kπ)ei{\ displaystyle B_ {n} (x) = - {\ frac {n!} {(2 \ pi \ mathrm {i}) ^ {n}}} \ summa _ {k \ sisällä \ mathbb {Z} \ huipulla k \ neq 0} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} kx}} {k ^ {n}}} = - n! \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} kx} + (- 1) ^ {n} \ mathrm {e} ^ {- 2 \ pi \ mathrm {i} kx} } {(2 \ pi \ mathrm {i} k) ^ {n}}} = - 2 \, n! \ Sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos \ vasen (2k \ pi x - {\ frac {n \ pi} {2}} \ oikea)} {(2k \ pi) ^ {n}}}},
voimassa vain 0 ≤ x ≤ 1, kun n ≥ 2, ja 0 < x <1, kun n = 1.
Tämä on Hurwitz-kaavan erityistapaus .
Huomautuksia ja viitteitä
(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu
englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista
" Bernoulli polynomials " ( katso kirjoittajaluettelo ) .
-
(in) Tsuneo Arakawa, Tomoyoshi Ibukiyama ja Masanobu Kaneko, Bernoulli Numbers ja Zeta-toiminnot , Springer ,2014( lue verkossa ) , s. 61.
Katso myös
Bibliografia
Aiheeseen liittyvät artikkelit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">