Noste on vahvuus erityisesti toteuttaa rungolla lisätty kokonaan tai osittain, joka nesteen ( neste tai kaasu ) ja altistettiin alan painovoima . Tämä voima syntyy nesteen paineen kasvusta syvyyden tai korkeuden kanssa (painovoiman vaikutus nesteeseen, katso hydrostaattinen artikkeli ): paine on suurempi veden alla olevan alaosan alaosassa kuin sen yläosassa, jolloin on yleensä pystysuora ylöspäin suuntautuva työntövoima. Tästä työntövoimasta määritellään kehon kelluvuus . Archimedes tutki ensin tätä työntöä .
"Kaikilla levossa olevaan nesteeseen upotettuun kehoon, joka on täysin kastunut tai ylittää sen vapaan pinnan, kohdistuu pystysuora voima, joka suuntautuu alhaalta ylöspäin ja on yhtä suuri (ja vastakkainen) syrjäytetyn nesteen tilavuuden painon kanssa. Tätä voimaa kutsutaan Archimedeksen työntövoimaksi . Se koskee siirtymänesteen massakeskipistettä, jota kutsutaan painekeskukseksi . "
Lauseen soveltamiseksi veden alla olevan nesteen ja upotetun rungon on oltava levossa. Upotettu runko on myös voitava korvata upottavalla nesteellä vaa'aa rikkomatta, vastaesimerkki on vedellä täytetyn kylpyammeen tulppa: jos se korvataan vedellä, on selvää, että kylpyamme tyhjenee ja että neste ei ole enää levossa. Lause ei päde, koska olemme tilanteessa, jossa neste ei kastele tulppaa kokonaan eikä kulje sen vapaan pinnan läpi.
Kun edelliset ehdot on noudatettu, yhtenäinen painovoimakenttä , merkitty Archimedean työntövoima saadaan kaavalla:
P→AT=-mfg→{\ displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A \,}} = - \, m _ {\ rm {f}} \, {\ vec {g}}} tai:Siinä tapauksessa , että nesteen tiheys ρ on myös tasainen, meillä on:
P→AT=-ρVg→{\ displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A}} = - \, \ rho \, V \, {\ vec {g}}} tai:Jos ajatellaan intensiteetit ( normit ) ja voimia niin, toteamalla P ja g normeihin assosioituneita vektoreita, meillä on:
Intensiteetti P Arkhimedeen työntövoima on ilmaistu N , tiheys ρ sisään kg m -3 , tilavuus joutuneiden nesteen V on m 3 ja vetovoiman kiihtyvyys g on m s -2 .
Harkitse nestettä levossa. Määritämme ajattelemalla tietyn määrän mitä tahansa muotoa tässä nesteessä. Tämä tilavuus on myös levossa: painostaan huolimatta tämä tilavuus ei laske. Tämä tarkoittaa siis, että sen paino kompensoidaan tiukasti vastavoimalla, joka pitää sen paikallaan ja joka tulee ulkoisesta nesteestä. Korvataan nyt, ajattelemalla, tämän äänenvoimakkuuden millä tahansa ruumiilla. Koska voima, joka pitää nesteen tasapainossa, on tilavuuden pintaan vaikuttava puristusvoima, voidaan olettaa, että tämä sama voima koskee edelleen upotettua kappaletta: se on aina vastakkainen syrjäytetyn nesteen painolla. Se on Archimedesin työntö. Sitä, että voimakentät ovat identtiset levossa olevalle homogeeniselle nesteelle ja levossa olevaan nesteeseen upotetulle keholle, kutsutaan "jähmettymislauseeksi".
Oletetaan, että reunan a kuutio on kokonaan upotettu nesteeseen, sen yläpinta on vaakasuora ja sijaitsee syvyydessä z 1 > 0 (positiivinen suunta on alaspäin). Merkitään yksikkövektori, joka on suunnattu z: n kasvavan akselin suuntaisesti (siis suunnattu alaspäin).
Kun lepotilassa oleva puristamaton neste altistuu tasaiselle painopisteelle , absoluuttinen paine p syvyydessä z on arvoltaan:
tai:Pidämme nestepatsaan, samanlainen oikeus päällysteen vaihtelevan korkeuden z ja jonka pohja pinta on vakio ja on yhtä suuri kuin A. syvyydessä z , hydrostaattinen paine vastaa normin P ja paino jaettuna pohjan on nestepatsaan: p ( z ) = P / .
Nestekolonnin painon ilmaisu on kuitenkin:
tai:Siksi saadaan kaavaa p ( z ) = P / A käyttämällä:
.Absoluuttinen paine on siis
.Vuoteen symmetria , paine voimia neljästä sivupintoja kuution kumoavat toisensa kaksittain.
Nesteen kuubin yläpinnalle (pinta-ala A = a 2 ) kohdistama voima on suunnattu ylhäältä alas ja on sen arvoinen:
.Pohjasta ylöspäin suuntautuva voima, jonka neste kohdistaa kuution alapintaan (alueen A = a 2 ), joka sijaitsee syvyydessä z 2 = z 1 + a , on:
.Siksi painovoimien tulos on sen arvoinen:
tai:Tuloksena oleva voima on siis melko yhtä suuri kuin syrjäytetyn nesteen tilavuuden vastakohta. Koska tämä voima on negatiivinen, se on hyvin suunnattu pystysuunnassa alhaalta ylöspäin.
Aikaisempi esittely on mahdollista yleistää minkä tahansa muotoiseksi tilavuudeksi. Se riittää hajottamaan pinnan raja tilavuuden tulee ääretön äärettömän elementtien d S oletetaan olevan lentokoneita, lisätä sitten, käyttäen laskennassa integraaleja , kaikkien äärettömän voimat kohdistetaan kunkin pintaelementin .
Archimedeksen lause voidaan johtaa gradientin lauseesta : oletetaan, että määrittelemätön tilavuus V , jonka rajaa suljettu pinta S , upotetaan kokonaan tiheysnesteeseen ρ, johon kohdistuu painopiste , ei välttämättä yhtenäinen.
Paineen p määritelmän mukaan tilavuuteen kohdistuvien painovoimien tulos on:
tai:Gradienttilauseen ja sitten hydrostaattisen perustavan lain mukaan tästä ilmaisusta tulee:
mikä on päinvastainen syrjäytetyn nesteen tilavuuden painosta.
Upotetaan kiinteä aine, jonka tilavuus on V , massa m ja tiheys ρ , tasaisen tiheyden ρ f nesteeseen ja vapauta se sitten lepotilasta. Alussa nopeuden ollessa nolla, vain kaksi voimaa vaikuttaa kiinteään aineeseen: sen paino F p (alaspäin) ja Archimedean työntövoima F a (ylöspäin).
F p = ρ V g F a = ρ f V g F p / F a = ρ / ρ fTässä tapauksessa tiheys suhde on yhtä kuin tiheydet :
Kahdessa tapauksessa, jossa kiinteä aine ei ole tasapainossa, sen seuraava liike määräytyy kolmella voimalla: sen painolla, Archimedean työntövoimalla (vastapäätä painoa) ja viskoosilla kitkavoimalla F f (nopeutta vastapäätä).
Mukaan Newtonin toisen lain liikkeen , sitten olisi:
F p - F a ± F f = m a (positiivinen suunta on alaspäin)missä a on kiintoaineen kiihtyvyys.
Koska viskoosinen kitkavoima ei ole vakio, vaan kasvaa nopeuden myötä, kiihtyvyys vähenee vähitellen niin, että kiinteä aine saavuttaa enemmän tai vähemmän nopeasti rajanopeuden, kun voimien tulos on nolla.
Harkita kiinteä tilavuus V ja tiheys ρ S kelluu pinnalla olevan nesteen tiheys ρ L . Jos kiinteä aine kelluu, se johtuu siitä, että Archimedeksen työntövoima tasapainottaa sen painoa:
F a = F s .Archimedeksen työntövoima on yhtä suuri (absoluuttisessa arvossa) syrjäytetyn nesteen tilavuuden painon kanssa (yhtä suuri kuin upotettu tilavuus V i ), voimme kirjoittaa:
ρ L V i g = ρ S V g - (1).Upotetun tilavuuden arvo on siis:
V i = ( ρ S / ρ L ) V - (2).Koska V > V i , tästä seuraa, että ρ S < ρ L .
Soveltaminen jäävuoren tapaukseenTarkastellaan merivedessä kelluvaa palaa puhdasta jäätä 0 ° C: ssa . Olkoon ρ S = 0,917 g / cm 3 ja ρ L = 1,025 g / cm 3 (meillä olisi ρ L = 1,000 g / cm 3 ja puhdasta vettä on 3,98 ° C: ssa ). Raporttiρ Sρ L(joka on sanoen suhteellinen tiheys ) on yhtä suuri kuin 0,895, niin että upotetun tilavuus V i edustaa lähes 90% kokonaismäärästä V jäävuoren.
Jääpala sulaa lasissaOn helppo varmistaa, että puhtaalla vedellä kelluvan puhtaan jääpalan sulaminen tapahtuu ilman veden tason muutosta. Upotetun jään tilavuus vastaa todellakin nestemäisen veden tilavuutta, joka tarvitaan jääpalan painon ( Eq. 1) verran . Sulamalla jääkuutio tuottaa (massan säilyttämisen avulla) täsmälleen tämän määrän vettä, joka "tukkii kiinteän jään katoamisen jättämän reiän". Veden taso pysyy samana. Vastakkaisessa kuvassa katkoviivoilla rajattu tilavuus on vasemmassa lasissa upotetun jään tilavuus ja oikeassa lasissa nestekiden tilavuus, joka syntyy jääkuutioiden sulamisen seurauksena.
Voimme myös tehdä seuraava laskelma: jos ajatellaan, esimerkiksi jääpala 1 cm 3 ja tiheys 0,917 g cm -3 (joka siis sisältää 0,917 g vettä), upoksissa tilavuus on 0,917 cm 3 ( Eq. 2 ) (kuten jäävuori, suurin osa siitä on veden alla). Kun jääkuutio on sulanut, tämä 0,917 g vettä, jonka tiheys on nyt 1 g · cm −3, vie täsmälleen tilavuuden, jonka jääkuutio on upotettu.
Kaikki tapahtuu ikään kuin Archimedeksen työntövoima kohdistuu rungon keskustaan , toisin sanoen syrjäytetyn nesteen tilavuuden painopisteeseen .
Tämä ominaisuus on tärkeä laskettaessa vakauden on sukellusvene vedenalainen tai sellaisen aerostat : uhalla nähdä näitä koneita kääntää, on välttämätöntä, että niiden keskellä rungon ylle sijoitettavan niiden painopisteen.
Toisaalta aluksen tapauksessa rungon keskipiste sijaitsee usein painopisteen alapuolella liiallisten oikaisumomenttien välttämiseksi. Kuitenkin, kun aluksen kallistuminen muuttuu ( rulla ), rungon keskusta liikkuu sivusuunnassa enemmän kuin painopiste, mikä tuottaa vääntömomentin, joka pyrkii palauttamaan aluksen alkuperäiseen kallistukseensa. Vakaus taataan sitten metakeskuksen sijainnilla, joka on työntövoiman vaihteluiden sovelluskohta. Tämän metakeskuksen on oltava painopisteen yläpuolella.
Anekdotisesti voimme huomata, että sukellusvenesuunnittelijoiden on samanaikaisesti varmistettava koneilleen kahden tyyppinen tasapaino: tasapaino sukelluksessa ja tasapaino pinnalla.
Tutkimus kelluvista ruumiista , jossa Archimedes asettaa nesteen staattisuuden lait - ja nesteeseen upotettujen tai sen päällä kelluvien kiinteiden kappaleiden tasapainotilat - on luultavasti tunnetuin Archimedesin teoksista, koska kaikki Pysy mukana pidä mielessä Vitruviuksen ilmoittama anekdootti, jonka mukaan Archimedesilla oli intuitiivisuus hydrostaattisen aineen perusperiaatteesta kylvyssä:
Arkhimedes, kreikkalainen tutkija, joka asui Syracuse , Sisilia alkaen 287 eaa. JKr - 212 eaa. AD on tunnettu monista tieteellisistä, teoreettisista tai käytännön töistään, matematiikasta tai fysiikasta . Tutkimus kelluvista kappaleista, joka tutkii tarkasti kiinteän tai nestemäisen ruumiin upottamista pienemmän, saman tai suuremman tiheyden nesteeseen , luo perustan nestemekaniikan haaralle , jota kutsutaan myöhäisemmäksi " hydrostaattiseksi ". Tämä kirja on lauseen nimeä kantavaa tiedemies, joka on osoittanut vakuuttavasti XVI : nnen vuosisadan.
Tutkimus kelluvista ruumiista sisältää muita ehdotuksia, jotka liittyvät Archimedeksen työntövoimaan:
Vitruvius kertoo, että Syrakusan kuningas Hieron II (306--214) olisi pyytänyt nuorta ystäväänsä ja tieteellistä neuvonantajaansa Archimedesia (sitten 22-vuotiaita) tarkistamaan, onko hänen kultainen kruununsa , jonka hän oli tehnyt uhrina Zeukselle, täysin kultaa. tai jos käsityöläinen olisi laittanut siihen hopeaa . Tarkastus ei tietenkään vahingoittanut kruunua. Tämän muoto oli myös liian monimutkainen koristeen tilavuuden laskemiseksi. Archimedes väitti löytäneen tavan tarkistaa, onko kruunu todella kultaa, kun hän oli julkisessa kylvyssä tarkkaillen, kuinka esineet kelluivat siinä. Sitten hän olisi mennyt kadulle täysin alasti huutaen " Eureka !" » (Löysin sen!), Kaava, josta on sittemmin tullut kuuluisa.
Archimedesin julkisessa kylvyssä tekemä havainto on, että samalla annetulla tilavuudella ruumiilla ei ole samaa painoa, toisin sanoen eri massa tilavuusyksikköä kohti. Nykyään puhumme tiheydestä . Hopea (tiheys 10 500 kg m −3 ) on vähemmän tiheä kuin kulta (tiheys 19 300 kg m −3 ), joten tiheys on pienempi: saman massan saamiseksi tarvitaan enemmän hopeaa kuin kultaa. Jos käsityöläinen kätki rahaa kuninkaan kruunuun, Archimedes päätti, että kruunun on oltava suurempi kuin jos se olisi valmistettu yksinomaan kulta. Niinpä kultasepän petos paljastettiin.
Vastaamaan kuningas Hieronin kysymykseen Archimedes pystyi näin ollen vertaamaan kruunun syrjäyttämän vesimäärän ja saman massaisen kullan määrää. Jos molemmat siirtävät saman vesimäärän, niiden tiheys on sama ja voidaan päätellä, että molemmat on valmistettu samasta metallista. Kokeen suorittamiseksi voidaan kuvitella upottavan kullan massa astiaan, joka on täynnä reunoja (ja varustettu nokalla, jotta asia voidaan paremmin tarkkailla). Tällöin tietty määrä vettä valuu säiliöstä (se voidaan kerätä mittaamaan sitä). Sitten poistamme kulta ja korvataan se tutkittavalla kruunulla. Jos kruunu on täysin kultaa, vesi ei tule yli. Toisaalta, jos sen tiheys on pienempi ja siksi sen tilavuus suurempi samalle massalle, ylimääräinen vesi valuu yli.
Siirtyvän veden määrä riippuu hopean osuudesta kullassa; Koska kulta on noin kaksi kertaa tiheämpi kuin hopea, korvataan 10 painoprosenttia kultaa hopealla, mikä johtaa 10 prosentin volyymin kasvuun. Suuren kullatiheyden takia sen tilavuus on kuitenkin hyvin pieni: 1 kg: n kultakruunun tilavuus on vain hieman yli 50 cm 3 ja korvataan 10% kultaa vain hopealla vain noin 4,34 cm: n erolla. 3 (veden määrä tl)
Vitruviuksen näin kuvaamalla menetelmällä on kaksi haittapuolta. Ensimmäinen on se, että se ei tuo Archimedeksen periaatetta peliin tässä. Toinen ongelma on, että realistisissa olosuhteissa kullan tiheyden ja kruunun pienen tilavuuden vuoksi syrjäytetyn veden tilavuus on hyvin pieni ja sen mittausta häiritsee vesi, joka voi kadota eri toiminnoissa. Siksi on epätodennäköistä, että Archimedes olisi voinut tehdä merkityksellisiä johtopäätöksiä tällaisesta kokemuksesta.
Realistisempi menetelmä on seuraava. Tasapaino on tasapainossa kruunun toisella puolella ja puhdasta kultaa toisella puolella, jonka massat ovat samat. Sitten punnitut esineet upotetaan kokonaan (vaaka-asteikon vaikutuksen voittamiseksi voimme varmistaa, että ne ovat täysin identtisiä, tai mikä parasta, poistaa ne korvaamalla ne ohuella langalla ja tiheydellä, joka on lähellä veden tiheyttä) . Jos kruunu ei ole puhdasta kultaa, sen tilavuus on jonkin verran suurempi, joten se tuottaa hiukan suuremman ylöspäin suuntautuvan Archimedeksen voiman kuin sama puhtaan kullan massa ja tasapainon alkuperäinen tasapaino rikkoutuu. Tässäkin taas painoero on pieni; olosuhteissa kuvitellut edellä, se vastaa paino oli 5 cm 3 vettä, eli 5 g . Siksi tarvitsemme tasapainon, joka pystyy havaitsemaan tällaisen vaihtelun, mikä on vaikeaa, mutta ei epärealistista.
Laite valmistettiin tosiasiallisesti nimellä hydrostaattinen vaaka .
Anekdooti jatkuu nimillä, kuten La Baignoire d'Archimède. Pieni tieteen mytologia, kirjoittaneet Sven Ortoli ja Nicolas Witkowski (1998), tai Archimedesin kylpy - Obérioun runollinen antologia, Henri Abril (2012).