Vähiten toiminnan ja yleisen suhteellisuusteorian periaate

Olemme velkaa David Hilbert , 1915, ensimmäinen käyttö periaatteessa vähiten saada yhtälöitä yleinen suhteellisuusteoria , erityisesti yhtälöitä painovoimakentässä.

Yleissuhteellisuuden, kuten erityisen suhteellisuusteorian, yhtälöt voidaan saada turvautumatta vähäisimmän toiminnan periaatteeseen: vastaavuusperiaate , joka ilmaistaan muodossa "voimme aina löytää viitekehyksen, joka paikallisesti poistaa gravitaatiokentän", sallii voit etsiä suoraan hiukkasen liikeyhtälöt; ja geometrisen tensorin muodon ainutlaatuisuus, jonka kovariittinen johdannainen kumoaa , Élie Cartanin osoittama ainutlaatuisuus antaa mahdollisuuden löytää gravitaatiokentän yhtälöt, joka oli Einsteinin alkuperäinen menetelmä (vaikka kyseistä ainutlaatuisuutta ei vielä ollut todistettu tuolloin).

Jos annetaan yleisen suhteellisuusteorian yhtälöt, voimme päätellä toiminnan, joka sallii periaatteen soveltamisen. Erityisesti geodeettisten yhtälöiden avulla löydämme siihen liittyvän mittarin . ${\ displaystyle ds ^ {2} \,}$

Hiukkanen

Hiukkanen painovoimakentässä

Tässä työssä käytämme hypoteesia, että hiukkanen ei muuta ympäristöään: hiukkasen massa eikä sen sijainti ei muuta painovoimakenttää , tämän massan on siksi oltava "pieni".

Nojalla Einsteinin vastaavuuden periaatetta , painovoima on paikallisesti vastaa valintaan nopeutetun viitekehys.

Osana erityistä suhteellisuusteoriaa, kun otetaan kiihdytetty kehys (koordinaatit ), paikallinen havainto on gravitaatiokenttä, ja vertailun muutos suhteessa inertiaaliseen viitekehykseen (koordinaattiin ) asettaa mittarin, jossa on ei-triviaaliset kertoimet . Riittää, kun määritetään liikkeen yhtälöt tässä viitekehyksessä johtuen pienimmän toiminnan periaatteesta suhteellisessa suhteellisuudessa. ${\ displaystyle \ (x '_ {0}; x' _ {1}; x '_ {2}; x' _ {3})}$ ${\ displaystyle \ (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$ ${\ displaystyle \ ds ^ {2} = (x_ {0}) ^ {2} - (x_ {1}) ^ {2} - (x_ {2}) ^ {2} - (x_ {3}) ^ {2} = g ^ {ij} (x ') x' _ {i} x '_ {j}}$

Vastaavuusperiaate antaa mahdollisuuden sanoa, että todellinen painovoimakenttä (ei johtuen viitekehyksen valinnasta) määräytyy myös metriikan avulla (ja metrian määrää gravitaatiokenttä); vaikka sellaisen mittarin käyttö, jota ei aiheuta eikä näin ollen voida korvata avaruusajan paikallisen alueen ulkopuolella, viitekehyksen muutos tarkoittaa, että aika-aika ei ole euklidista (katso pyörivän levyn ajatuskokeilu, joka on kuvattu in yleinen suhteellisuusteoria ), ja että me sitten kehyksen ulkopuolella suhteellisuusteorian rakentaa uusi teoria: yleinen suhteellisuusteoria . ${\ displaystyle \ ds ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ ds ^ {2} = g ^ {ij} (x) x_ {i} x_ {j} = g ^ {ij} x_ {i} x_ {j}}$

Siksi voimme pysyä erityisen suhteellisuusteollisuuden jatkuvuudessa ja vahvistaa, että pistepartikkelin äärettömän pieni vaikutus, johon pelkästään painovoima vaikuttaa, on yleensä suhteellisuusteoria:

${\ displaystyle dS = -mc {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}$

missä oletamme sen ottamatta mitään pois yleisyydestä. ${\ displaystyle \ g ^ {ij} = g ^ {ji}}$

Käyttäen tosiasiaa, joka on hiukkasen luonnollinen aika, minimoitu toiminta aika-ajan kahden pisteen välillä osoittaa, että kuten suhteellisessa suhteellisuussuhteessa, on luonnollinen aika siirtyä pisteestä A pisteeseen B, joka maksimoidaan (paikallisesti) periaatteella . Geodeettiset ovat polkuja, jotka maksimoivat (paikallisesti) hiukkasen oman ajan . ${\ displaystyle \ ds = {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}$ ${\ displaystyle \ S = -mc \ int _ {A} ^ {B} ds}$

Fyysisen johdonmukaisuuden säilyttämiseksi meidän on oletettava, että ne ovat jatkuvia; Jotta voisimme työskennellä tunnettujen työkalujen, toisin sanoen johdannaisten, kanssa, mutta myös olettaa, että painovoimakenttä on jatkuva, on oletettava, että ne ovat erotettavissa. Myöhemmin Einsteinin yhtälöiden osalta on välttämätöntä olettaa, että ne ovat C 2 . ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Ottaen huomioon milloin tahansa: ${\ displaystyle \ t_ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {dS} {dt_ {0}}} = L_ {0} = - mc {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}$

Aina käytetään Euler-Lagrangen yhtälöitä sen jälkeen, kun se on jaettu tässä kertoimella turhaksi. ${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} {\ frac {\ osittainen L_ {0}} {\ osittainen V_ {k}}} \ - \ {\ frac {\ osittainen L_ { 0}} {\ osittainen x_ {k}}} \ = \ 0 ~~}$ ${\ displaystyle \ -mc}$

Esittelytiedot

Saamme: ${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} \ vasen ({\ frac {2.g ^ {ik} V_ {i}} {2. {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}}} \ oikea) - \ {\ frac {\ osittainen ^ {k} g ^ {ij} .V_ {i} V_ {j}} {2. {\ Sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}}}} \ = \ 0 ~~}$

Ottamalla oikeaan aikaan nyt voimme käyttää tasa-arvoa, joka yksinkertaistaa johtamista , ${\ displaystyle t_ {0} =}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}} = c}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}}}$

muuttamatta tulosta, jos ajaudumme eteenpäin, ja saamme

${\ displaystyle \ {\ frac {d ~~} {dt_ {0}}} \ vasen ({\ frac {g ^ {ik} V_ {i}} {\ sqrt {g ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}}} \ oikea) = {\ frac {1} {c}}. (\ osittainen ^ {n} g ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} + g ^ {ik} {\ piste {V_ {i}}})}$

Merkitsemällä sen , jota käytämme pääasiassa esteettisistä syistä, ja muuttamalla indeksit käyttämään vain i, j ja k, ${\ displaystyle \ osal ^ {n} g ^ {ik} .V_ {n} V_ {i} = {\ frac {1} {2}}. (\ osittainen ^ {n} g ^ {ik} .V_ { n} V_ {i} + \ osittainen ^ {i} g ^ {nk}. V_ {n} V_ {i})}$

Euler-Lagrange-yhtälöt antavat: ${\ displaystyle g ^ {ik} {\ dot {V_ {i}}} + {\ frac {1} {2}}. (- \ osittainen ^ {k} g ^ {ij} + \ osittainen ^ {i} g ^ {jk} + \ osittainen ^ {j} g ^ {ik}) V_ {i} V_ {j} = 0}$

Tasa-arvolla ja Christoffelin symbolilla : ${\ displaystyle \ g_ {km} g ^ {ki} = \ delta _ {m} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {m} ^ {ij} = {\ frac {1} {2}}. g_ {km} (- \ osittainen ^ {k} g ^ {ij} + \ osittainen ^ {i} g ^ {jk} + \ osittainen ^ {j} g ^ {ik})}$

Saamme yhtälön:

${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m} + \ Gamma _ {m} ^ {ij} V_ {i} V_ {j} = 0}$

että voimme myös kirjoittaa:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x_ {k}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {k} ^ {ij} {\ frac {dx_ {i}} {ds}} { \ frac {x_ {j}} {ds}} = 0}$

tai:

${\ displaystyle {\ frac {DV_ {k}} {ds}} = 0}$

jossa ”covariant johdannainen”: ja , jossa on oikea aika. ${\ displaystyle DV_ {k} = dV_ {k} + \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} dV_ {j}}$ ${\ displaystyle DV ^ {k} = dV ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} dV ^ {j}}$ ${\ displaystyle \ V_ {k} = {\ frac {dx_ {k}} {dt_ {0}}}}$ ${\ displaystyle \ t_ {0} =}$

Christoffelin symboli erottuu painovoiman ilmentymänä liikkeen yhtälöissä. ${\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij}}$

Liikkeen yhtälöt eivät riipu hiukkasen massasta (niin nimetty, koska olemme laiminlyöneet sen tilan laajuuden ja vaikutuksen ympäristöön): kaikki hiukkaset seuraavat samoja reittejä (identtisissä alkuolosuhteissa), se on yhtälö geodesia yleensä suhteellisuusteoria, vain painovoiman läsnä ollessa.

Nämä liikeyhtälöt eivät kuitenkaan ole voimassa nollamassan hiukkaselle, koska tässä tapauksessa meillä on alusta alkaen , mikä kieltää kaikki edellä suoritetut laskelmat; yksi on myös, koska oikea aika ei kulu nollamassan hiukkaselle (katso Rajoitettu suhteellisuusteoria ), termillä ei voi missään tapauksessa olla merkitystä. Meidän on pidettävä hiukkasiin liittyvällä aallolla yhtälö, jolla on merkitys, ja lisäksi valo ymmärrettiin aalloksi (sähkömagneettiseksi) eikä hiukkaseksi ( nollamassan fotoni ), kun kirjoitettiin yleistä suhteellisuutta. ${\ displaystyle ~ dS = 0 ~~}$ ${\ displaystyle ~ ds = c.dt_ {0} = 0 ~~}$ ${\ displaystyle {\ piste {V}} _ {m}}$

Hiukkanen sähkömagneettisessa kentässä

Samanlainen kuin erityinen suhteellisuusteoria, sähkömagneettisen kentän varauksen pistepartikkelin äärettömän pienen relativistisen toiminnan määritelmä on . ${\ displaystyle \ e}$ ${\ displaystyle \ L.dt = \ -mc. {\ sqrt {g ^ {ij} dx_ {i} .dx_ {j}}} - eA ^ {j} .dx_ {j}}$

Täysin samanlaisilla laskelmilla johdetaan liikkeen yhtälöt:

${\ displaystyle m. ({\ dot {V}} ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} V ^ {j}) = e.V_ {j} .F ^ { KJ}}$

että voimme kirjoittaa:

${\ displaystyle mc. \ left ({\ frac {d ^ {2} x ^ {k}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} {\ frac {dx ^ {i }} {ds}} {\ frac {dx ^ {j}} {ds}} \ right) = eF ^ {kj} {\ frac {dx_ {j}} {ds}}}$

tai:

${\ displaystyle mc. {\ frac {DV ^ {k}} {ds}} = eF ^ {kj} V_ {j}}$

Alalla gravitaatio

Sen Lagrangian-tiheyden, sitten yhtälöiden, määrittämiseksi on tarpeen kehittää hieman joitain edellä käsitellyistä näkökohdista ja jopa joitain uusia.

Lagrangian tiheys kaarevassa tilassa

Koska kentän polku on muuttumaton suhteessa viitekehyksiin, joista se havaitaan, sitä luonnehtivan toiminnan on oltava muuttumaton vertailukehyksen muutoksella. ${\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega}$

Lagrangian tiheyden perustelut

Olkoon toiminta kahdessa eri viitekehyksessä. ${\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '}$

Meillä on: ja ${\ displaystyle \ d \ Omega = dx_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}}$ ${\ displaystyle \ d \ Omega '= dx' _ {0} .dx '_ {1} .dx' _ {2} .dx '_ {3} = J.dx_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}}$

missä on muuttujien muutoksen jakobialainen . ${\ displaystyle \ J}$

Meillä on : ${\ displaystyle J = \ vasen | \ det \ vasen ({\ frac {\ partituali x '_ {i}} {\ osittain x_ {j}}} \ oikea) \ oikea | ~}$

Tai : ottamalla determinantit . ${\ displaystyle ds ^ {2} = g ^ {ij} dx_ {i} dx_ {j} = g '^ {kl} dx' _ {k} dx '_ {l} \ to \ g ^ {kl} = {\ frac {\ partituali x '_ {i}} {\ osittainen x_ {k}}}. {\ frac {\ osallinen x' _ {j}} {\ osittain x_ {l}}} g '^ {ij } \ g = J ^ {2} .g '}$

Siksi : ${\ displaystyle J = {\ frac {| g | ^ {\ frac {1} {2}}} {| g '| ^ {\ frac {1} {2}}}}}$

Täten on kentän vakio suhteessa viitekehysten muutoksiin. ${\ displaystyle S_ {g} = \ int Ld \ Omega = \ int L'd \ Omega '= \ int L'.Jd \ Omega \ to L = L'.J \ to L. | g | ^ {- { \ frac {1} {2}}} = L '. | g' | ^ {- {\ frac {1} {2}}} = \ Lambda}$

Tavoitteena on siis löytää kentän skalaarit, jotka ovat muuttumattomia vertailukehysten muutosten suhteen.

Lagrangin tiheys on seuraava: Huomaa kentän skalaari, joka on muuttumaton verrattuna viitekehysten muutoksiin. $\ \ Lambda$ ${\ displaystyle \ L = \ Lambda. | g | ^ {\ frac {1} {2}}}$

Määritelmät ja Riemannin ja Ricci tensorit , ja kaarevuus

Élie Cartanin tapaan

Matemaattisesti ilmaistuna edellä mainittujen näkökohtien määrittelemä nelidimensionaalinen tila on jakotukki C 2, jossa neljä nopeutta ovat vektoreita, jotka kuuluvat vektoritilaan, joka on tangentti siihen pisteeseen, josta olemme johtaneet, ja tämä vektoritila toimitetaan metriikan kanssa . ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Palautetaan mieleen, että koordinaatit ovat jakoputken pisteiden koordinaatit, jotka on varustettu kaikilla koordinaatistoilla, jotka edustavat tarkkailijan fyysisen viitekehyksen mielivaltaista valintaa. ${\ displaystyle (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$

Geodesiikkaan vaikuttava painovoiman mittaus voidaan tehdä kahden vektorin orientaatioeron kautta, joka johtuu yhden alkuperäisen vektorin kulkeutumisesta kahdella eri geodeettisella polulla kohti samaa päätepistettä.

Geodeettisen yhtälön vastaavuus on . ${\ displaystyle {\ dot {V}} _ {m} + \ Gamma _ {m} ^ {ij} V_ {i} V_ {j} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {dV_ {k}} {dt_ {0}}} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} V_ {j}}$

Koska olemme vähentäneet ; tietäen, että meillä on, kuten näemme sen sen määritelmästä, voimme yhtä hyvin kirjoittaa .

{\ displaystyle V_ {j} = {\ frac {dx_ {j}} {dt_ {0}}}}

{\ displaystyle dV_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} V_ {i} dx_ {j}}

{\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij} = \ Gamma _ {k} ^ {ji}}

{\ displaystyle dV_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} dx_ {i} V_ {j}}

Samoin saamme

{\ displaystyle dV ^ {k} = - \ Gamma _ {ij} ^ {k} V ^ {i} dx ^ {j}}

Vektorin sanotaan kulkeutuvan yhdensuuntaisesti geodeettista pitkin, jos sen koordinaattien vaihtelut vahvistavat, kun sitä siirretään geodeettista pitkin. ${\ displaystyle \ vasen (A_ {i} \ oikea)}$ ${\ displaystyle dA_ {k} = - \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ {j}}$ ${\ displaystyle \ (dx_ {j}) _ {j = 0; 1; 2; 3}}$

Yksityiskohdat Elie Cartanin menetelmästä

Harkitse mistä tahansa jakoputken M kohdasta kahta äärettömän pienen muunnelman ja mitä tahansa kahta geodeettista ohjelmaa, ja tarkastele kahta erillistä polkua, jotka käyttävät vuorotellen yhtä ja toista näistä geodeeteista. $\ d$ ${\ displaystyle \ \ delta}$

1 st polku:

{\ displaystyle M (x_ {i}) \ - M_ {1} (x_ {i} + dx_ {i}) \ - M_ {2} (x_ {i} + dx_ {i} + \ delta (x_ {i) } + dx_ {i}))}}

2 e polku:

{\ displaystyle M (x_ {i}) \ to M '_ {1} (x_ {i} + \ delta x_ {i}) \ to M' _ {2} (x_ {i} + \ delta x_ {i } + d (x_ {i} + \ delta x_ {i}))}

Jotta nämä kaksi reittiä päättyy samaan kohtaan, oletamme, että , joka on saavutettavissa, koska geodesics käytetään pisteiden välillä, ja ovat mielivaltaisia.

{\ displaystyle \ d \ delta x_ {i} = \ delta dx_ {i}}

{\ displaystyle \ M_ {1}}

{\ displaystyle \ M '_ {1}}

Tutkitaan jokaisen polun suuntaisesti kuljetun vektorin koordinaattien variaatioita : ${\ displaystyle \ vasen (A_ {i} \ oikea)}$

1 st polku:

{\ displaystyle \ A_ {i} \ - A_ {i} + dV_ {i} \ - A_ {i} + dA_ {i} + \ delta (A_ {i} + dA_ {i}) = A_ {i} + dA_ {i} + \ delta A_ {i} + \ delta dA_ {i} = W_ {i}}

2 e polku:

{\ displaystyle \ A_ {i} \ - A_ {i} + \ delta A_ {i} \ - A_ {i} + \ delta A_ {i} + d (A_ {i} + \ delta A_ {i}) = A_ {i} + \ delta A_ {i} + dA_ {i} + d \ delta A_ {i} = W '_ {i}}

Meillä on :

{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = \ delta dA_ {i} -d \ delta A_ {i} = \ delta (- \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} dx_ { j}) - d (- \ Gamma _ {k} ^ {ij} A_ {i} \ delta x_ {j})}

Joitakin laskelmia saamme:

{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = (\ osittain ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ osittainen ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ {p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}) dx_ {j} \ delta x_ { k} A_ {l}}

Määritämme Riemannin tensorin seuraavasti: ${\ displaystyle R_ {i} ^ {jkl} = \ osittainen ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ osittainen ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ { p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}}$

Yhtälö osoittaa, että tämä tensori mittaa samasta alkuperäisestä vektorista johtuvien kahden vektorin välisen eron rinnakkaiskuljetuksella kahdella eri polulla.

{\ displaystyle W_ {i} -W '_ {i} = R_ {i} ^ {jkl} dx_ {j} \ delta x_ {k} A_ {l}}

{\ displaystyle \ vasen (A_ {i} \ oikea)}

Määritämme Riemannin tensorin seuraavasti:

${\ displaystyle R_ {i} ^ {jkl} = \ osittainen ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ osittainen ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk} + \ Gamma _ { p} ^ {lk} \ Gamma _ {i} ^ {jp} - \ Gamma _ {p} ^ {jk} \ Gamma _ {i} ^ {lp}}$

Ricci tensori on supistuminen Riemannin tensor: ${\ displaystyle R ^ {ij} = R_ {k} ^ {ikj}}$

Sen kaava osoittaa, että se on symmetrinen tensori:

{\ displaystyle \ R ^ {ij} = R ^ {ji}}

Riemannin kaarevuus on numero saadaan supistuminen Ricci tensorin: ${\ displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}$

Kaikki " Élie Cartanin menetelmän yksityiskohdissa " käytetyt yhtäläisyydet ovat riippumattomia valitusta viitekehyksestä, ja tämä pätee myös Riemannin ja Riccin tensoreiden määritelmiin (siksi annamme myös itsemme kutsua niitä tensoriksi ). Tämä pätee myös kaarevuuteen, joka on siten ehdokas gravitaatiokentän muuttumattomaksi skalaariksi. $\ R$ $\ \ Lambda$

Élie Cartan osoitti, että viitekehyksen muutoksella invariantit skalaarit ovat muodoltaan . ${\ displaystyle \ \ alfa R + \ beta ~}$

{\ displaystyle ~ \ \ alfa}

yksinkertaisesti osoittaa, että yksikön vaihto on aina mahdollista, sallii kosmologisen vakion käyttöönoton .

{\ displaystyle \ \ beta}

Analyysityökalut

Eräässä sovelluksessa periaatteen inertia kaareva tila

Joten työmme on todellakin seuraus vähäisimmän toiminnan periaatteesta, tässä käytetty menetelmä koostuu jakotukin ominaisuuksien määrittämisestä sen tangenttitilojen metriikasta.

Tangenttivektoritilat (ulottuvuus 4) on varustettu niiden "luonnollisella" perustalla { }: jos on kohta, jossa tarkastelemme tangenttitilaa, asetamme ; mitä kirjoitamme usein . ${\ displaystyle \ \ {{\ vec {e}} ^ {~ 0}; {\ vec {e}} ^ {~ 1}; {\ vec {e}} ^ {~ 2}; {\ vec {e }} ^ {~ 3}}}$ ${\ displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = \ vasen (~ {\ frac {\ osittain x_ {j}} {\ osittain x_ {i}}} ~ \ oikea) _ {j = 0, 1,2,3}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ frac {\ osittain ~} {\ osittain x_ {i}}}}$

Geodeettiset yhtälöt ovat ominaisuuksia, jotka liittyvät tämän liikeradan koordinaatteihin tai kvadri-nopeuteen, ne eivät anna viitteitä kvadrovektorin vaihtelusta (johdannasta) avaruuden yhdestä pisteestä toiseen tai edes johdannasta. kvadridi-nopeusvektorin .

{\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {dt_ {o}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {ds}}}

{\ displaystyle {\ vec {e}} ^ {~ i}}

{\ displaystyle {\ vec {V}} = V_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}

Tätä varten voimme käyttää uudelleen kirjoitettua fyysistä periaatetta yleisen suhteellisuusteollisuuden mittaamiseen:

Periaate inertia : pitkin geodeettista, ja ilman ulkoista väliintuloa (quadri-) nopeusvektori hiukkasen on vakio.

Tarkoittaen :

{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}

Saamme:

{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}} = dV_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i}. d {\ vec {e} } ^ {~ i} = - \ Gamma _ {i} ^ {jk} dx_ {j} V_ {k}. {\ vec {e}} ^ {~ i} + V_ {i} .d {\ vec { e}} ^ {~ i}}

Alkuperäinen kvadri-vektorinopeus on mielivaltainen, jolloin saadaan:

${\ displaystyle d {\ vec {e}} ^ {~ i} = \ Gamma _ {k} ^ {ij} dx_ {j} {\ vec {e}} ^ {~ k}}$

Analysoimalla geodeettisten yhtälöiden tai ottamalla huomioon, että koordinaattien "akselit" eivät välttämättä ole geodeettisia, emme voi vahvistaa, että kvadri-nopeusvektorin koordinaatit ovat vakiot. Tietoja valinnasta

{\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}

Johdanto tarkoittaa "liikkeen suunnan osoittavan viivan määrittämistä". Koko ongelma on tietää, mikä on suora viiva, kun koordinaattijärjestelmä on mielivaltainen, jopa kaarevassa tilassa; kun linjat on määritetty, derivaatio voidaan määritellä.
Meitä kiinnostavassa kehyksessä, kun kokeilija on Minkowski-avaruudessa ja valinnut minkä tahansa koordinaatistojärjestelmän, joka mahdollisesti aiheuttaa painovoiman siellä, johdannaisen linjat ovat Minkowski-avaruuden linjat, jotka ovat myös inertiaaliliikkeitä. Ellei määritellä uutta johdannaista, tasa-arvo on välttämätöntä. ${\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}$
Kun kokeilija on viitekehyksessä, jossa on painovoima, ja koska tietoja ei ole tämän painovoiman syistä (massan tai kiihtyneen vertailukehyksen tai molempien vuoksi), ainoat suorat linjat, joihin hän fyysikkona on pääsy hitausliikkeeseen: johdannan määrittelee siis . ${\ displaystyle d {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}$

Mutta tämä valinta perustuu oletukseen, että inertiaaliliike viitekehyksessään todellakin seuraa suoraa linjaa. Jos kokeilija valitsee viitekehyksensä akselit suoriksi viivoiksi, hän asettaa sen , havaittu "inertiaalinen" liike ei ole suora ( ) ja sen voidaan tulkita johtuvan (painovoiman) voimasta.

{\ displaystyle d {\ vec {e}} ^ {~ i} = {\ vec {0}}}

{\ displaystyle d {\ vec {V}} \ neq {\ vec {0}}}

Nämä kaksi vaihtoehtoa, kuten muutkin, joita voidaan kuvitella, pätevät vain paikallisesti: Ensimmäinen sulauttaa paikallisesti painovoiman kiihtyneeksi viitekehykseksi Minkowskin avaruudessa, toinen hypoteesoi voiman alun perin oikeassa tilassa; kaksi vaihtoehtoa, jotka suoristavat aika-aikaa omalla tavallaan, mikä voidaan tehdä vain paikallisesti. Kovariaattinen johdannainen

Antaa olla kvadrivektori avaruudessa tangentti pisteeseen . ${\ displaystyle {\ vec {A}} (x) = A_ {i} {\ vec {e}} ^ {~ i}}$ ${\ displaystyle \ M (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}$

Meillä on : ${\ displaystyle d {\ vec {A}} (x) = (dA_ {i}) {\ vec {e}} ^ {~ i} + A_ {i} d ({\ vec {e}}} ^ { ~ i}) = (\ osittainen ^ {j} A_ {i} + A_ {k} \ Gamma _ {i} ^ {jk}) {\ vec {e}} ^ {~ i} dx_ {j} = D ^ {j} A_ {i}. {\ vec {e}} ^ {~ i} dx_ {j}}$

Määrittelemällä kovariaattinen johdannainen seuraavasti:

${\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} = \ osittainen ^ {j} A_ {i} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {k}}$

Kiinteistö:

${\ displaystyle D ^ {j} A_ {il} = \ osittainen ^ {j} A_ {il} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {kl} + \ Gamma _ {l} ^ {jk} A_ {ik}}$

${\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} ^ {l} = \ osittainen ^ {j} A_ {i} ^ {l} + \ Gamma _ {i} ^ {jk} A_ {k} ^ {l} - \ Gamma _ {k} ^ {jl} A_ {i} ^ {k}}$

Ja niin edelleen kaikilla tensorin indekseillä niiden sijainnin mukaan.

Mistä löydämme Riemannin tensoreita jne.

Käyttäen covariant johdannainen, ja sen jälkeen muutaman laskelmia, löydämme: . ${\ displaystyle \ vasen (D ^ {i} D ^ {j} -D ^ {j} D ^ {i} \ oikea) A_ {k} = R_ {k} ^ {l, ij} dx_ {i} dx_ {j} A_ {l}}$

Saamme näin käsitteet, jotka on jo otettu käyttöön "Elie Cartanin tapaan".

Yhtälöt ja hyödylliset ominaisuudet

Riccin lause: ja ${\ displaystyle \ D_ {k} g ^ {ij} = 0 ~ \ quad ~}$ ${\ displaystyle ~ \ quad D_ {k} g_ {ij} = 0 ~}$

Poseeraamalla meillä on: ${\ displaystyle \ g = \ det (g ^ {ij}) \ qquad}$ ${\ displaystyle | g | = -g \ qquad g ^ {ij} .g_ {ij} = \ delta _ {i} ^ {i} = 4 \ qquad \ dg = g ~ g_ {ij} ~ dg ^ {ij }}$

Ostrogradskin lause:, milloin on tensori. ${\ displaystyle \ int _ {V} {\ sqrt {-g}} ~ D_ {i} A ^ {i} ~ d \ Omega = \ anint _ {\ osittainen V} {\ sqrt {-g}} A ^ {i} ~ dS_ {i}}$ ${\ displaystyle \ A ^ {i}}$

Luonnokset tasa-arvon osoittamisesta

Samassa tangenttitilassa määriteltyjen tensorien summa, ero ja Einsteinin summa antavat tensorin; toisaalta, jos kyse on eri tangenttitiloissa määritetyistä tensoreista, ei ole varmaa, että se antaa tensorin.

Esimerkiksi: Christoffel- symboli määritetään metrisestä tensorista. Geodeettinen yhtälö osoittaa meille, että se voidaan määritellä käyttämällä, joka tensorista huolimatta muodostetaan kahden tensorin (kvadrovektorien ja ) erolla, jotka on määritelty kahdessa eri tangenttitilassa: Christoffel-symboli, hän, ei ole tensori (paitsi tietyissä tapauksissa), koska voidaan osoittaa se käyttämällä sen määrittelykaavaa.

{\ displaystyle \ Gamma _ {i} ^ {jk} .V_ {k} = \ osittainen ^ {j} V_ {i}}

{\ displaystyle \ \ osittainen ^ {j} V_ {i}}

{\ displaystyle \ V_ {l} (x_ {m})}

{\ displaystyle \ V_ {l} (x_ {m} + dx_ {m})}

Tensorialinen tasa-arvo, joka on osoitettu missä tahansa vaiheessa, mutta joka käyttää tiettyä viitekehystä, on todellinen tasa-arvo tässä vaiheessa ja kaikille viitekehyksille: tämä on tensoreiden käytön tärkein etu.

Esimerkiksi missä tahansa kohdassa on viitekehys painottomuudessa (vapaassa pudotuksessa painovoimakentässä), toisin sanoen mihin . Tällaisessa viitekehyksessä meillä on ja milloin on tensori: jota on yksinkertaisempi käyttää perustelemaan kymmenen tasa-arvoa, joka on totta riippumatta viitekehyksestä.

{\ displaystyle \ Gamma _ {i} ^ {jk} = 0}

{\ displaystyle R_ {i} ^ {j, kl} = \ osittainen ^ {j} \ Gamma _ {i} ^ {lk} - \ osittainen ^ {l} \ Gamma _ {i} ^ {jk}}

{\ displaystyle D ^ {j} A_ {i} = \ osittainen ^ {j} A_ {i}}

{\ displaystyle \ A_ {i}}

Einsteinin yhtälöt painovoimakentässä on ulomman kotelon

Tensoreita käytetään varmistamaan, että tasa-arvot ovat totta riippumatta fyysikon havainnointipisteestä ja hänen viitekehyksestään. Tensorit kuljettavat vain havainnointipisteeseen ja sen tangenttitilaan liittyvää tietoa, yhtäkkiä siellä käytettävä ja siitä tuotettu tieto on vain paikallista: se on tietoa tensoreista, lukuun ottamatta yleisesti päteviä tietoja, kuten vakio c, G ja muut siellä olevat.

Ensimmäinen kentän yhtälöiden tapaus on tapaus, jossa ainetta ei ole (paikallisesti): puhutaan "ulkoisesta tapauksesta", implisiittisesti "asiasta".

Tässä tapauksessa toiminnan ainoa komponentti on painovoimakentän komponentti , jossa vakio liittyy yksiköiden valintaan: MKSA-yksiköille yksi otetaan , merkki johtuu toiminnan minimoinnin periaatteesta . ${\ displaystyle \ S_ {g} = K. \ int {\ sqrt {-g}}. Rd \ Omega}$ ${\ displaystyle \ K}$ ${\ displaystyle \ K = - {\ frac {c ^ {3}} {4 \ pi G}}}$ ${\ displaystyle \ -}$

Jotta löydettäisiin symmetriset gravitaatiokentän yhtälöt energian tiheysantureiden muodossa, on yksinkertaisempaa muuntaa Lagrangian toiminnan integraalin alla kuin käyttää Euler-Lagrangen yhtälöitä. Vaihteluperiaatetta sovelletaan vaihtelemalla metriikan ehtoja , joka on Lagrangin painovoiman ilmentymä, vastaavuusperiaatteen mukaisesti, kuten edellä on sovellettu. ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Todiste Einsteinin yhtälöistä ulommassa tapauksessa

Tasa-arvoa käyttämällä meillä on ${\ displaystyle \ R = g_ {ij} R ^ {ij}}$

${\ displaystyle \ delta S_ {g} = K. \ int \ delta \ vasen ({\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. R ^ {ij} \ oikea) d \ Omega}$ ${\ displaystyle = K [\ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) g_ {ij} R ^ {ij} d \ Omega + \ int {\ sqrt {-g}}. \ delta (g_ {ij }). R ^ {ij} d \ Omega + \ int {\ sqrt {-g}}. G_ {ij}. \ Delta (R ^ {ij}) d \ Omega]}$

Meillä on, koska ${\ displaystyle \ delta ({\ sqrt {-g}}) = {\ frac {- \ delta g} {2 {\ sqrt {-g}}}}} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {-g}}}} g.g_ {ik}. \ delta g ^ {ik} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}}. g ^ {ik} \ delta g_ {ik}}$ ${\ displaystyle g ^ {ik} .g_ {ik} = 4 \ delta (g ^ {ik}). g_ {ik} = - g ^ {ik}. \ delta (g_ {ik})}$

Että 1 s kiinteä oli ${\ displaystyle \ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) g_ {ij} R ^ {ij} d \ Omega = \ int \ delta ({\ sqrt {-g}}) Rd \ Omega = - { \ frac {1} {2}} \ int g ^ {ij} .R. {\ sqrt {-g}}. \ delta g_ {ij} d \ Omega}$

2 toinen tie jätetään ennalleen.

Sillä 3 rd kiinteä, laskennan yksinkertaistamiseksi, asetamme itse Painottomissa viitekehyksen ja siksi on . (Mutta yleensä siksi, että Christoffel- symboli ei ole tensori). ${\ displaystyle \ R ^ {ij} = \ osittainen ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ osittainen ^ {i} \ Gamma _ {l} ^ {lj}}$ ${\ displaystyle \ osittainen ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} \ neq D ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij}}$

Näin ollen olettaen, että vaihtelu jättää vertailukehyksen painottomaksi tässä vaiheessa, mikä jättää heille edelleen äärettömän mahdollisia muunnelmia . ${\ displaystyle \ delta \ left (R ^ {ij} \ right) = \ delta \ osittainen ^ {l} \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ delta \ osittainen ^ {i} \ Gamma _ {l} ^ {lj} = \ osittainen ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ osittainen ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}}$ ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Missä tahansa arkistossa, jossa symboli on Christoffelin symboli samassa kohdassa kuin muokatuilla termeillä ${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} = \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ vasen (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ oikea) '}$ ${\ displaystyle \ vasen (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ oikea) '}$ ${\ displaystyle \ \ Gamma _ {l} ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

meillä on ero kahden samassa pisteessä määritetyn tensorin välillä, joten tensori on (toisin kuin Christoffel-symboli). ${\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {ij} .V_ {j} = \ osittainen ^ {j} V_ {i} \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij} .V_ {j} = \ Gamma _ {l} ^ {ij} .V_ {j} - \ vasen (\ Gamma _ {l} ^ {ij} \ oikea) '. V_ {j} = \ osittainen ^ {j} V_ {i} - \ vasen (\ osal ^ {j} V_ {i} \ oikea) '}$ ${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij}}$

Ja tälle tensorille, painottomuuden vertailukehyksessä (ja jätetty sellaisenaan tarkasteltavassa pisteessä, jonka vaihtelu ), siis ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ osittainen ^ {l} \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij} = D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {k} ^ {ij}}$ ${\ displaystyle \ delta \ left (R ^ {ij} \ right) = \ osittainen ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} - \ osittainen ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj} = D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -D ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} = {\ sqrt {-g}}. [g_ {ij} .D ^ {l} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -g_ {ij}. D ^ {i} \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj}] = {\ sqrt {-g}}. [D ^ {l} \ vasemmalle ( g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} \ oikea) -D ^ {i} \ vasen (g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {lj} \ oikea)] }$

koska ja myös ${\ displaystyle ~ \ quad D_ {k} g_ {ij} = 0 ~}$ ${\ displaystyle ~ \ quad D ^ {k} g_ {ij} = 0 ~}$

mistä . ${\ displaystyle ~ \ quad {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} \ vasen (g_ {ij}. \ delta \ Gamma _ {l} ^ {ij} -g_ {lj}. \ delta \ Gamma _ {i} ^ {ij} \ oikea) = {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} A_ { l}}$

Näin ollen Ostrogradskin lauseen avulla ${\ displaystyle \ int {\ sqrt {-g}}. g_ {ij}. \ delta R ^ {ij} d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}}. D ^ {l} A_ {l} d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}}. A_ {l} .dS ^ {l} = 0}$

Viimeisen integraalin pätemättömyys johtuu siitä, että se lasketaan integraation määrää rajoittavalle hyperpinnalle, ja siihen, että integraation rajalla nollan vaihtelut ovat nollia. ${\ displaystyle \ g ^ {ij}}$

Saamme: ${\ displaystyle \ delta S_ {g} = K. \ int \ vasen (R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R \ oikea) {\ sqrt {-g}} . \ delta g_ {ij} d \ Omega}$

Vähimmäistoiminnan periaate sanomalla, että vaihtelut ovat mitä tahansa, saadaan mitä kirjoitetaan (ja osoitetaan) usein alentamalla indeksejä. ${\ displaystyle \ \ delta S_ {g} = 0}$ ${\ displaystyle \ \ delta g_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ R ^ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} R = 0}$

Johdetut yhtälöt ovat:

${\ displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} R = 0}$

Tekemällä "supistumisen" saadaan , mikä ei tarkoita sitä, että tila on tasainen, vaan pikemminkin sitä, että kyseessä on minimaalinen pinta, jolla on neljä ulottuvuutta, venytettynä siellä kehittyvien eri massojen välillä. ${\ displaystyle \ g ^ {ij} R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g ^ {ij} .g_ {ij} R = 0}$ ${\ displaystyle \ R = 0}$

Einsteinin yhtälöt ulkoisessa tapauksessa ovat siis:

${\ displaystyle \ R_ {ij} = 0}$

Einsteinin yhtälöt painovoimakentässä on sisemmän kotelon

Toinen kenttäyhtälöiden tapaus on tapaus, jossa on ainetta (paikallisesti): puhumme "sisäisestä tapauksesta", toisin sanoen "asiasta".

Tässä tapauksessa toiminta koostuu painovoimakentän toiminnasta ja aineen toiminnasta, mukaan lukien kirjoitettu sähkömagneettinen kenttä . ${\ displaystyle \ S_ {g} = K. \ int {\ sqrt {-g}}. Rd \ Omega}$ ${\ displaystyle \ S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ sqrt {-g}}. \ Lambda _ {m} d \ Omega}$

Todiste Einsteinin yhtälöistä sisätiloissa

Käyttämällä samaa variaatiomenetelmää, tietäen, että käyttämällä osien integraatiota, ja Ostrogradskin lause, jonka avulla voidaan kirjoittaa viitekehykseen nollapainovoimalla ${\ displaystyle \ \ delta \ osal = = osittainen \ delta}$ ${\ displaystyle \ int \ osal _ {l} [{\ frac {\ osaa \ vasen ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ oikea)} {\ osaa \ vasen (\ osaa _ {l } g_ {ik} \ oikea)}}}] d \ Omega = \ int \ osittainen _ {l} [{\ sqrt {-g}} {\ frac {\ osittainen vasen (\ Lambda _ {m} \ oikea) } {\ osittainen \ vasen (\ osittain _ {l} g_ {ik} \ oikea)}}}] d \ Omega = \ int {\ sqrt {-g}} {\ frac {\ osittainen \ vasen (\ Lambda _ { m} \ oikea)} {\ osittainen \ vasen (\ osittainen _ {l} g_ {ik} \ oikea)}} dS_ {l} = 0}$

Määrittelemällä impulssi-energian tensori tasa-arvolla ${\ displaystyle \ T ^ {ij}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} T ^ {ij} {\ sqrt {-g}} = {\ frac {\ osittainen \ vasen ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ oikea)} {\ osittainen g_ {ik}}} - \ osittainen _ {l} [{\ frac {\ osittainen vasen ({\ sqrt {-g}} \ Lambda _ {m} \ oikea)} {\ osittainen \ vasen (\ osittainen _ {l} g_ {ik} \ oikea)}}]}$

Saamme: ${\ displaystyle \ delta S_ {m} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ frac {1} {2}} T ^ {ij} {\ sqrt {-g}} \ delta g_ {ij } d \ Omega}$

Siksi poseeraamalla , ja päätämme samalla tavalla kuin ulkoisessa tapauksessa . ${\ displaystyle \ chi = - {\ frac {1} {2c.K}}}$

Johdetut yhtälöt ovat:

${\ displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} R = \ chi T_ {ij}}$

Kun supistuminen samanlainen ulkopuolisesta tapauksesta , tietäen, että sekä esittämällä , meillä on . Tärkein kaarevuus on siis verrannollinen kokonaisenergia tiheys (tai tensor jälki ). ${\ displaystyle \ g_ {ij} g ^ {ij} = 4}$ ${\ displaystyle \ T = g ^ {ij} T_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ R = - \ chi T}$ ${\ displaystyle \ T = g ^ {ij} T_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ T_ {ij}}$

Siksi voimme myös kirjoittaa:

${\ displaystyle \ R_ {ij} = \ chi \ left (T_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} T \ oikea)}$

Huomautuksia

Jean-Claude Boudenot on vuodelta 1916, s. 162 hänen kirjassaan Ellectromagnétisme et gravitation relativistes , ellipse (1989) ( ISBN 2-7298-8936-1 ) ; teoksessa Lev Landau ja Evgueni Lifchits , teoreettinen fysiikka , t. 2: Kenttäteoria [ yksityiskohtia painoksista ], §93 alaviite kappaleen alussa, sanotaan, että Hilbert ehdotti tätä menetelmää jo vuonna 1915, mikä vahvistaa Jean-Paul Auffray s. 247 (kappale Hilbert menee kalastamaan ) kirjastaan Einstein et Poincaré , Le Pommier edition , 1999 ( ISBN 2 746 50015 9 ) .
Elie Cartan, Journal of Pure and Applied Mathematics, 1, 1922, s. 141-203 .

Lähteet

Jean-Claude Boudenot; Relativistinen sähkömagneettisuus ja gravitaatio , Ellipse (1989), ( ISBN 2-7298-8936-1 )
Jean-Louis Basdevant; Variaatio- ja dynamiikkaperiaatteet , Vuibert (2005), ( ISBN 2711771725 ) .
Edgard Elbaz; Yleinen suhteellisuusteoria ja gravitaatio , ellipsi (1986).

Bibliografia

Lev Landau ja Evgueni Lifchits , teoreettinen fysiikka , t. 2: Kenttäteoria [ yksityiskohtia painoksista ]
Richard P. Feynman , Robert B. Leighton (in) ja Matteuksen Sands (in) , Feynman Lectures on Physics [ julkaista tiedot ] , Sähkömagneettisuus (I) , luku. 19, InterEditions, 1979 ( ISBN 2-7296-0028-0 ) ; ruoko. Dunod, 2000 ( ISBN 2-10-004861-9 )
Florence Martin-Robine, Vähemmän toiminnan periaatteen historia , Vuibert, 2006 ( ISBN 2711771512 )

Aiheeseen liittyvät artikkelit