Suurten turbulenssirakenteiden simulointi
Simulointi suurten turbulenssin rakenteiden ( SGS tai LES varten Suuri Eddy Simulation ) on menetelmä, jota käytetään turbulenssin mallintaminen . Se koostuu mallinnettujen pienten asteikkojen suodattamisesta ja turbulentin vesiputouksen suurten asteikkojen suoraan laskemisesta .
Tämän menetelmän otti käyttöön Joseph Smagorinsky vuonna 1963, ja James W. Deardoff käytti sitä ensimmäisen kerran vuonna 1970. Sen avulla voidaan laskea turbulentti virtaus kaappaamalla suuret mittakaavat kohtuullisin kustannuksin. Koska pienen mittakaavan väliaineen oletetaan kohtuudella olevan isotrooppista, se voidaan kuvata yksinkertaisella menetelmällä. Rajakerroksen ongelmat , diffuusioliekki tai kaksivaiheiset ongelmat edellyttävät sopivia malleja.
Suodatetaan Navier-Stokes-yhtälöt
Prosessin ensimmäinen vaihe on määritellä alipäästösuodatin G nopeudelle u konvoluutiotuotteen kautta . Kyse on paikkasuodattimesta, mutta on mahdollista käyttää aika-ajallisia suodattimia.
u¯i(r,t)=∫G(r,r′)ui(r-r′,t)dr′≡G∗ui{\ displaystyle {\ overline {u}} _ {i} (\ mathbf {r}, t) = \ int G (\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ') u_ {i} (\ mathbf {r } - \ mathbf {r} ', t) \ mathrm {d} \ mathbf {r}' \ equiv G * u_ {i}}Suodatin on standardoitu
∫G(r,r′)dr′=1{\ displaystyle \ int G (\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ') \ mathrm {d} \ mathbf {r}' = 1}Tämä ei ole projektori : .
ui¯¯≠ui¯{\ displaystyle {\ overline {\ overline {u_ {i}}}} \ neq {\ overline {u_ {i}}}}
Tämä operaattori vaihtaa johdannaisen kanssa ajoissa, mutta vaihtaa johdannaisen kanssa avaruudessa vain, jos G on sama kaikissa pisteissä.
Seuraavassa käsitellään puristamattomassa nesteessä olevia Navier-Stokes-yhtälöitä . Nopeus kirjoitetaan suodatetun arvon ja pienen mittakaavan häiriön summana, jolla ei ole ajallisen vaihtelun merkitystä kuten Reynoldsin keskiarvossa
ui=u¯i+ui′,u′¯i≠0{\ displaystyle u_ {i} = {\ overline {u}} _ {i} + u '_ {i} \ ,, \; \; \; \; \; {\ overline {u'}} _ {i } \ neq 0}Vuonna Navierin-Stokesin yhtälöt in kokoonpuristumattomalla nesteellä
voimme kirjoittaa suodatettiin Navierin-Stokesin yhtälöt
∂u¯i∂xi=0{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen {\ yliviiva {u}} _ {i}} {\ osittainen x_ {i}}} = 0}∂∂t(ρu¯i)+∂∂xj(ρu¯iu¯j)+∂s¯∂t-∂τ¯ij∂xj-∂tij∂xj=0{\ displaystyle {\ frac {\ partitali} {\ osittainen t}} (\ rho {\ yliviiva {u}} _ {i}) + {\ frac {\ partituali {\ osaa x_ {j}}} (\ rho {\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j}) + {\ frac {\ osittainen {\ overline {p}}} {\ osittainen t}} - {\ frac { \ osittainen {\ yliviiva {\ tau}} _ {ij}} {\ osittain x_ {j}}} - {\ frac {\ osittain t_ {ij}} {\ osittain x_ {j}}} = 0}missä ρ on tiheys, p paine ja
Sij=12(∂ui∂xj+∂uj∂xi){\ displaystyle S_ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ vasen ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partituali x_ {j}}} + {\ frac {\ osittainen u_ { j}} {\ osittainen x_ {i}}} \ oikea)} |
venymän tensori
|
τij=2μSij{\ displaystyle \ tau _ {ij} = 2 \ mu S_ {ij}} |
viskoosien jännitysten tensori
|
μ on dynaaminen viskositeetti ja tj on Anthony Leonardin käyttöön ottama tensori
tij=ρ(u¯iu¯j-uiuj¯)=ρ(u¯iu¯j-u¯iu¯j¯-ui′u¯j¯-uj′u¯i¯-ui′uj′¯){\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} t_ {ij} & = & \ rho ({\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j} - {\ overline {u_ {i} u_ {j}}}) \\ [0.6em] & = & \ rho ({\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j} - {\ overline {{ \ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j}}} - {\ overline {u '_ {i} {\ overline {u}} _ {j}}} - {\ overline {u '_ {j} {\ overline {u}} _ {i}}} - {\ overline {u' _ {i} u '_ {j}}}) \ end {array}}}Huomaa, että jos G olisi Reynoldsin keskimääräinen operaattori, ensimmäiset neljä termiä peruuntuvat. Lisäksi, jos t ij kunnioittaa Galilean muuttumattomuutta , se ei pidä paikkaansa kullekin sen muodostavalle termille.
Esittely
Olemme kiinnostuneita puristamattomasta nesteestä, joka on kuvattu vastaavilla Navier-Stokes -yhtälöillä , jolle on otettu huomioon puristamaton yhtälö
∂τij∂xj=μ∂2ui∂xk∂xk{\ displaystyle {\ frac {\ partituali \ tau _ {ij}} {\ partituali x_ {j}}} = \ mu {\ frac {\ osallinen ^ {2} u_ {i}} {\ osallinen x_ {k} \ osittainen x_ {k}}}}siis yhtälöt
∂ui∂xi=0{\ displaystyle {\ frac {\ partituali u_ {i}} {\ osittain x_ {i}}} = 0}∂ui∂t+∂(uiuj)∂xj+1ρ∂s∂xi-v∂2ui∂xj∂xj=0{\ displaystyle {\ frac {\ partituali u_ {i}} {\ osittainen t}} + {\ frac {\ osittainen (u_ {i} u_ {j})} {\ osittain x_ {j}}} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partis p} {\ partituali x_ {i}}} - \ nu {\ frac {\ osallinen ^ {2} u_ {i}} {\ osittainen x_ {j } \ osittainen x_ {j}}} = 0}Olettaen, että viskositeetti ja suodatin ovat avaruudessa homogeenisia
∂u¯i∂xi=0{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen {\ yliviiva {u}} _ {i}} {\ osittainen x_ {i}}} = 0}∂u¯i∂t+∂u¯iu¯j∂xj+∂∂xj(uiuj¯-u¯iu¯i)⏟-tijρ+1ρ∂s¯∂xi-v∂2u¯i∂xj∂xj=0{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen {\ yliviiva {u}} _ {i}} {\ osittainen t}} + {\ frac {\ osittainen {\ yliviiva {u}} _ {i} {\ yliviiva {u }} _ {j}} {\ partituali x_ {j}}} + {\ frac {\ partituali {\ osittainen x_ {j}}} \ alatuki {({\ yliviiva {u_ {i} u_ {j}} } - {\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {i})} _ {- {\ frac {t_ {ij}} {\ rho}}} + {\ frac {1 } {\ rho}} {\ frac {\ osittainen {\ yliviiva {p}}} {\ osittain x_ {i}}} - \ nu {\ frac {\ osallinen ^ {2} {\ yliviiva {u}} _ {i}} {\ osittain x_ {j} \ osittain x_ {j}}} = 0}
Turbulentin kineettisen energian suodatus
Suodatettu kineettinen energia on
k¯=12uiui¯=12u¯iu¯i+12(uiui¯-u¯iu¯i)=kf+t¯ii2ρ{\ displaystyle {\ overline {k}} = {\ frac {1} {2}} {\ overline {u_ {i} u_ {i}}} = {\ frac {1} {2}} {\ overline { u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {i} + {\ frac {1} {2}} ({\ overline {u_ {i} u_ {i}}} - {\ overline {u }} _ {i} {\ overline {u}} _ {i}) = k_ {f} + {\ frac {{\ overline {t}} _ {ii}} {2 \ rho}}}missä k f on kineettinen energia, joka vastaa suodatettua nopeutta. Kuljetusyhtälö saadaan kertomalla suodatettu momenttiyhtälö luvullaui{\ displaystyle u_ {i}}
ρ∂kf∂t+ρu¯j∂kf∂xj+∂(s¯u¯i)∂xi-∂(u¯iτ¯ij)∂xj-∂(u¯itij)∂xj+ϵf+Π=0{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ osittainen k_ {f}} {\ osittainen t}} + \ rho {\ päällekkäin {u}} _ {j} {\ frac {\ osittainen k_ {f}} {\ osittainen x_ {j}}} + {\ frac {\ osittainen ({\ yliviiva {p}} \, {\ yliviiva {u}} _ {i})} {\ osittain x_ {i}}} - {\ frac { \ osittainen ({\ yliviiva {u}} _ {i} \, {\ yliviiva {\ tau}} _ {ij})} {\ osittain x_ {j}}} - {\ frac {\ osittainen ({\ yliviiva {u}} _ {i} \, t_ {ij})} {\ osittain x_ {j}}} + \ epsilon _ {f} + \ Pi = 0}kanssa
ϵf=2vS¯ijS¯ij{\ displaystyle \ epsilon _ {f} = 2 \ nu {\ overline {S}} _ {ij} {\ overline {S}} _ {ij}} |
suodatettu nopeuden viskositeetin hajoamisnopeus (pieni, jos katkaisu tehdään turbulentin spektrin inertiaalialueella )
|
Π=-tijS¯ijS¯ij{\ displaystyle \ Pi = -t_ {ij} {\ overline {S}} _ {ij} {\ overline {S}} _ {ij}} |
Verkon nopeuden "hajoamisnopeus" (itse asiassa inertiaalitermi, joka voi olla negatiivinen)
|
Π edustaa energiaa, joka siirtyy suurista pieniin asteikkoihin.
Esimerkki käytetyistä suodattimista
Erilaisia menetelmiä voidaan käyttää. Yksinkertaisin esimerkki on "hattu" -suodatin (englanninkielinen hattu ), joka perustuu silmäkoon suuruusluokkaan Δ
G={1Δsi|ri-ri′|<Δ20sieioei{\ displaystyle G = \ vasen \ {{\ begin {array} {lcl} {\ frac {1} {\ Delta}} & si & | r_ {i} -r '_ {i} | <{\ frac { \ Delta} {2}} \\ [0.6em] 0 ja muuten \ end {array}} \ right.}Tämä vastaa suodatinta, joka leikkaa aallonpituudet λ siten, että
λ<Δπ{\ displaystyle \ lambda <{\ frac {\ Delta} {\ pi}}}Toinen yleisesti käytetty flter on Gaussin suodatin.
G=(6π)321Δ3exp[-6(r-r′)2Δ2]{\ displaystyle G = \ vasen ({\ frac {6} {\ pi}} \ oikea) ^ {\ frac {3} {2}} {\ frac {1} {\ Delta ^ {3}}} \ exp {\ vasen [- {\ frac {6 (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') ^ {2}} {\ Delta ^ {2}}} \ oikea]}}
Ongelman sulkeminen
Ongelman sulkemiseksi on tarpeen määritellä likiarvo verkolle, esimerkiksi seoksen tyypin pituudelle
lm=VSSΔ{\ displaystyle l_ {m} = C_ {S} \ Delta}missä C s ~ 0,1 on mallinnusvakio, jota joskus kutsutaan Smagorinsky-vakiona . Se liittyy Kolmogorov-vakioon .
Tästä syystä turbulentti viskositeetti
vt=(VSSΔ)22S¯ijS¯ij{\ displaystyle \ nu _ {t} = (C_ {S} \ Delta) ^ {2} {\ sqrt {2 \, {\ overline {S}} _ {ij} {\ overline {S}} _ {ij }}}}
Viitteet
-
(sisään) JS Smagorinsky, " General Circulation Experiments with the Primitive Equations I. The Basic Experiment " , Monthly Weather Review , voi. 91, n ° 3,1963, s. 99-164 ( lue verkossa )
-
James Deardorff, " Numeerinen tutkimus kolmiulotteisesta turbulentista kanavavirtauksesta suurilla Reynoldsin numeroilla ", Journal of Fluid Mechanics , voi. 41, n ° 21970, s. 453–480
-
Ugo Piomelli ja Elias Balaras, ” Wall-layer Models for Large-Eddy Simulations ”, Annual Review of Fluid Mechanics , voi. 34,2002
-
Heinz Pitsch, " Turbulentin polttamisen suurten pyörteiden simulointi " , Fluid Mechanics Annual Review , voi. 38,2006, s. 453–482
-
RO Fox, ” Large-eddy-simulation Tools for Multiphase Flows ”, Annual Review of Fluid Mechanics , voi. 44,2012, s. 47–76
-
(en) SB Pope, Turbulent Flows , Cambridge University Press ,2000
-
(en) P. Sagaut, Large Eddy Simulation for incompressible Virrat: An Introduction , Springer-Verlag ,2006, 556 Sivumäärä ( ISBN 978-3-540-26344-9 , lue verkossa )
-
(in) A. Leonard, " Energy Cascade Large-Eddy simulointi Turbulent Fluid Flows " , Advances in Geophysics , voi. 18-vuotiaana1974, s. 237–248
-
(vuonna) M. Germano, " Ehdotus turbulenttisten stressien uudelleenmäärittelemiseksi suodatetuissa Navier-Stokes-yhtälöissä " , Physics of Fluids , Voi. 29, n ° 7,1986, s. 2323–2324
-
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">