Liapunovin vakaus

Oletetaan että . Olkoon funktio sellainen, että funktio on määritelty , ja olkoon kiertorata x . Oletetaan, että tasapainopisteitä a ja b on kaksi siten, että ja . Tämä rata on sanottu olevan homoclinic jos ja heteroclinic toisin. T=-∞{\ displaystyle T = - \ infty}x∈D.{\ displaystyle x \ D: ssä}t↦gtx{\ displaystyle t \ mapsto g ^ {t} x}]-∞,+∞[{\ displaystyle] - \ infty, + \ infty [}y(x)={gtx:t∈R}{\ displaystyle \ gamma \ left (x \ right) = \ left \ {g ^ {t} x: t \ in \ mathbb {R} \ right \}}limt→-∞gtx=klo{\ displaystyle \ lim \ limits _ {t \ rightarrow - \ infty} g ^ {t} x = a}limt→+∞gtx=b{\ displaystyle \ lim \ limits _ {t \ rightarrow + \ infty} g ^ {t} x = b}klo=b{\ displaystyle a = b}

Antaa olla positiivisesti muuttumaton suljettu sarja. Tästä on sanottu olevan topologisesti transitiivisia jos kaikki avoinna U ja V sisältyy , on olemassa välitön (riippuen U ja V ) siten, että . Tämä tarkoittaa siis intuitiivisesti, että mikä tahansa piste tulee mielivaltaisesti lähelle tämän ryhmän muita pisteitä virtauksen vaikutuksesta. Λ⊂D.{\ displaystyle \ Lambda \ osajoukko D}Λ{\ displaystyle \ Lambda}t>T{\ displaystyle t> T}(gtU)∩V≠∅{\ displaystyle \ left (g ^ {t} U \ right) \ cap V \ neq \ varnothing}Λ{\ displaystyle \ Lambda}

Attractor on houkutteleva ja topologisesti transitiivinen joukko.

Anna olla kompakti ja positiivisesti muuttumaton asetettu. Tämän joukon sanotaan olevan kaoottinen, jos virtaus g riippuu herkällä tavalla alkuolosuhteista ja tämä joukko on topologisesti transitiivinen. Λ⊂D.{\ displaystyle \ Lambda \ osajoukko D}Λ{\ displaystyle \ Lambda}

Vetovoiman sanotaan olevan outoa, jos se on kaoottista.

Liapunovin toiminnot ja vakauslausekkeet epälineaarisille järjestelmille

Alustava

Osoitetaan ensinnäkin, että liikkeen vakauden tutkiminen taantuu tasapainopisteen vakauteen.

Tarkastellaan epälineaarisen differentiaaliyhtälön (E) määrittelemää järjestelmää. Harkitse tämän järjestelmän liikettä. Määritelmän mukaan on siis ratkaisu (E): lle . Poseeraamalla saamme siis ψ:t↦ψ(t){\ displaystyle \ psi: t \ mapsto \ psi (t)}ψ{\ displaystyle \ psi}ψ˙(t)=f(ψ(t),t){\ displaystyle {\ piste {\ psi}} (t) = f (\ psi (t), t)}y=x-ψ{\ displaystyle y = x- \ psi}

y˙=g(y,t){\ displaystyle {\ piste {y}} = g (y, t)}

missä . Siksi liikkeen vakauden tutkimus on supistettu tämän uuden differentiaaliyhtälön tasapainopisteen 0 tutkimukseen; meillä on . g(y,t)=f(y+ψ(t),t)-f(ψ(t),t){\ displaystyle g (y, t) = f (y + \ psi (t), t) -f (\ psi (t), t)}ψ{\ displaystyle \ psi}g(0,t)=0,∀t{\ displaystyle g (0, t) = 0, \ kaikki t}

Seuraavassa tarkastelemme (E): n määrittelemää järjestelmää, missä kaikki , ja tutkimme tasapainopisteen 0 vakautta (tai epävakautta). Tarkastelemme lyhyesti myös tapausta, jossa olemme kiinnostuneita vakauden (tai epävakauden) asettaa positiivisesti invariant kompakti M . f(0,t)=0{\ displaystyle f (0, t) = 0}t∈]T,+∞[{\ displaystyle t \ in] T, + \ infty [}

Lähes lineaariset järjestelmät

Edellä olevilla merkinnöillä meillä on rajallisten lisäysten kaava

(QL) :: y˙=AT(t)y+h(y,t){\ displaystyle {\ piste {y}} = A (t) y + h (y, t)}

kanssa ja missä AT(t)=∂f∂x(ψ(t,t)){\ displaystyle A \ vasen (t \ oikea) = {\ frac {\ osa f} {\ osittain x}} \ vasen (\ psi \ vasen (t, t \ oikea) \ oikea)}‖h(y,t)‖‖y‖≤M(y,t){\ displaystyle {\ frac {\ left \ Vert h \ left (y, t \ right) \ right \ Vert} {\ left \ Vert y \ right \ Vert}} \ leq M \ left (y, t \ right) }

M(y,t)=supz∈]ψ(t),y+ψ(t)[‖∂f∂x(z,t)-∂f∂x(ψ(t),t)‖{\ displaystyle M \ left (y, t \ right) = \ sup \ limits _ {z \ in \ left] \ psi \ left (t \ right), y + \ psi \ left (t \ right) \ right [ } \ vasen \ Pystys {\ frac {\ osittainen f} {\ osallinen x}} \ vasen (z, t \ oikea) - {\ frac {\ osaa f} {\ osaa x}} \ vasen (\ psi \ vasen (t \ oikea), t \ oikea) \ oikea \ Vert}

Jos oletetaan jatkuva, se pyrkii kohti 0, kun y suuntaan 0. Jos tämä raja on yhdenmukainen suhteessa t : n suhteen, sanotaan, että tarkasteltu järjestelmä on lähes lineaarinen . Määritelmän mukaan itse asiassa järjestelmä (QL) on lähes lineaarinen, jos ∂f∂x{\ displaystyle {\ frac {\ partis f} {\ osallinen x}}}M(y,t){\ displaystyle M (y, t)}

lim‖y‖→0,y≠0h(y,t)‖y‖=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {\ left \ Vert y \ right \ Vert \ rightarrow 0, y \ neq 0} {\ frac {h (y, t)} {\ left \ Vert y \ right \ Vert}} = 0}

tasaisesti t: n suhteen .

Oletetaan esimerkiksi, että kiertorata on kompakti ja f ei ole nimenomaisesti riippuvainen t: stä . Poseerataan ja missä . Sitten mukaan klassinen lause, analyysi, kaiken , on olemassa kuin käyttöönotto merkitsee . Siksi järjestelmä (QL) on melkein lineaarinen. O={ψ(t):t∈]T,+∞[}{\ displaystyle {\ mathcal {O}} = \ vasen \ {\ psi \ vasen (t \ oikea): t \ sisään \ vasen] T, + \ infty \ oikea [\ oikea \}}x′′=ψ(t)∈O{\ displaystyle x ^ {\ prime \ prime} = \ psi (t) \ muodossa {\ mathcal {O}}}x′=z{\ displaystyle x ^ {\ prime} = z}z∈]ψ(t),y+ψ(t)[{\ displaystyle z \ sisään \ vasen] \ psi \ vasen (t \ oikea), y + \ psi \ vasen (t \ oikea) \ oikea [}e>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}η>0{\ displaystyle \ eta> 0}‖x′-x′′‖≤η{\ displaystyle \ left \ Vert x ^ {\ prime} -x ^ {\ prime \ prime} \ right \ Vert \ leq \ eta}‖D.f(x′)-D.f(x′′)‖≤e{\ displaystyle \ left \ Vert Df (x ^ {\ prime}) - Df (x ^ {\ prime \ prime}) \ right \ Vert \ leq \ varepsilon}

Määritelmät

Ensinnäkin on tarpeen antaa joitain määritelmiä toiminnoista, jotka tarjoavat yleistyksiä energian käsitteelle. Voimme olettaa yleistystä menettämättä, avulla käännös , että tasapainopisteen, jossa olemme kiinnostuneita on , D ovat siksi avoin naapurustossa 0. Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}xe=0{\ displaystyle x_ {e} = 0}

Useimmiten "yleinen energia" on vain x: n funktio . Antaa olla jatkuva toiminto sellainen . Sen sanotaan olevan positiivinen selvä (tai positiivinen puolidefiniitti ), jos (vastaavasti ) For . Määritämme samalla tavalla negatiivisen määritellyn funktion ja negatiivisen puolidefiniittisen funktion . V:D.→R{\ displaystyle V: D \ rightarrow \ mathbb {R}}V(0)=0{\ displaystyle V (0) = 0}V(x)>0{\ displaystyle V (x)> 0}V(x)≥0{\ displaystyle V (x) \ geq 0}x∈D.,x≠0{\ displaystyle x \ in D, x \ neq 0}

Joissakin tapauksissa on kuitenkin otettava huomioon x: n ja t: n funktio . On jatkuva funktio sellainen, että kaikille , . Sen sanotaan olevan positiivinen määrätty, jos on olemassa positiivinen määrätty funktio (jo määritellyssä mielessä), kuten . Sen sanotaan olevan positiivinen puolitarkka jos . Määritämme samalla tavalla negatiivisen määritellyn funktion ja negatiivisen puolidefiniittisen funktion . V:D.×]T,+∞[→R{\ displaystyle V: D \ kertaa] T, + \ infty [\ rightarrow \ mathbb {R}}t∈]T,+∞[{\ displaystyle t \ in] T, + \ infty [}V(0,t)=0{\ displaystyle V (0, t) = 0}W:D.→R{\ displaystyle W: D \ rightarrow \ mathbb {R}}V(x,t)≥W(x),∀(x,t)∈D.×]T,+∞[{\ displaystyle V (x, t) \ geq W (x), \ forall (x, t) \ D \ kertaa] T, + \ infty [}V(x,t)≥0,∀(x,t)∈D.×]T,+∞[{\ displaystyle V (x, t) \ geq 0, \ forall (x, t) \ D \ kertaa] T, + \ infty [}

Kutsumme luokan funktiota tiukasti kasvavaksi jatkuvaksi funktioksi siten, että . Osoitamme, että jatkuva funktio on positiividefiniitti jos ja vain jos on olemassa funktio luokan sellainen, että . K{\ displaystyle {\ mathcal {K}}}a:[0,r]→R+(r>0){\ displaystyle \ alpha: [0, r] \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+} (r> 0)}a(0)=0{\ displaystyle \ alpha (0) = 0}V:D.×]T,+∞[→R{\ displaystyle V: D \ kertaa] T, + \ infty [\ rightarrow \ mathbb {R}}a{\ displaystyle \ alfa}K{\ displaystyle {\ mathcal {K}}}V(x,t)≥a(||x||),∀(x,t)∈D.×]T,+∞[{\ displaystyle V (x, t) \ geq \ alfa (\ vert \ vert x \ vert \ vert), \ forall (x, t) \ D \ kertaa] T, + \ infty [}

Jos funktio V riippuu vain x: stä , sen sanotaan olevan oikea, jos on olemassa reaaliluku , joka on joukko e>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}

Ψe={x∈D.:V(x)≤e}{\ displaystyle \ Psi _ {\ varepsilon} = \ left \ {x \ in D: V \ left (x \ right) \ leq \ varepsilon \ right \}}

on kompakti; sanotaan olevan maailmanlaajuisesti oikea (tai säteittäisesti rajaton , tai tasaisesti rajaton ) jos , ja on kompakti kaikesta . Osoitamme, että positiivinen määrätty toiminto on oikea. Funktion sanotaan olevan globaalisti puhdas, jos on olemassa globaalisti puhdas funktio (siinä mielessä, joka on juuri määritelty), kuten . D.=Rei{\ displaystyle D = \ mathbb {R} ^ {n}}Ψe{\ displaystyle \ Psi _ {\ varepsilon}}e>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}x↦V(x){\ displaystyle x \ mapsto V (x)}V:Rei×]T,+∞[→R:(x,t)↦V(x,t){\ displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {n} \ kertaa] T, + \ infty [\ rightarrow \ mathbb {R}: (x, t) \ mapsto V (x, t)}W:Rei→R:x↦W(x){\ displaystyle W: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}: x \ mapsto W (x)}V(x,t)≥W(x),∀(x,t)∈Rei×]T,+∞[{\ displaystyle V (x, t) \ geq W (x), \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ kertaa] T, + \ infty [}

Lopuksi funktion sanotaan olevan Liapunov-funktio (E): lle, jos se yleensä mahdollistaa sen tasapainopisteen 0 vakauden tai epävakauden testaamisen. V:D.×]T,+∞[→R{\ displaystyle V: D \ kertaa] T, + \ infty [\ rightarrow \ mathbb {R}}

Oletetaan, että V on jatkuvasti erotettavissa, ja olkoon sen erotus pisteessä . Eriyhtälöön (E) on suositeltavaa lisätä yhtälö missä . Lie johdannainen on V mukaisen vektorin kentän kohdassa on määrä dV(x,t)=∂V∂x(x,t)dx+∂V∂t(x,t)dt{\ displaystyle dV \ left (x, t \ right) = {\ frac {\ osal V} {\ osittainen x}} (x, t) dx + {\ frac {\ osaa V} {\ osio t}} ( x, t) dt}(x,t)∈D.×]T,+∞[{\ displaystyle (x, t) \ D \ kertaa] T, + \ infty [}dxei+1dt=1{\ displaystyle {\ frac {dx_ {n + 1}} {dt}} = 1}xei+1=t{\ displaystyle x_ {n + 1} = t}(f,1){\ displaystyle (f, 1)}(x,t){\ displaystyle (x, t)}

V˙(x,t)=∂V∂x(x,t)f(x,t)+∂V∂t(x,t){\ displaystyle {\ piste {V}} (x, t) = {\ frac {\ osittainen V} {\ osallinen x}} (x, t) f (x, t) + {\ frac {\ osittainen V} {\ osittainen t}} (x, t)}

Kun V riippuu vain x: stä , yllä oleva määritelmä selvästi pienenee arvoon

V˙(x,t)=∂V∂x(x)f(x,t){\ displaystyle {\ piste {V}} (x, t) = {\ frac {\ osittainen V} {\ osittainen x}} (x) f (x, t)}

Jos on järjestelmän liike, ts. Ratkaisu sen differentiaaliyhtälöön, ja jos asetamme ja , kahden yllä olevan lausekkeen kahdesta jäsenestä tulee . Meidän on kuitenkin oltava varovaisia, ettemme usko, että v on Liapunov-funktio. Kirjoittamisen valitettavat väärinkäytöt johtavat joskus tähän väärinkäsitykseen. Alla esitettyjen mielenosoitusten pitäisi selventää tätä seikkaa. ψ:t↦ψ(t){\ displaystyle \ psi: t \ mapsto \ psi (t)}v(t)=V(ψ(t),t){\ displaystyle v (t) = V (\ psi (t), t)}v˙=dvdt{\ displaystyle {\ dot {v}} = {\ frac {dv} {dt}}}v˙(t){\ displaystyle {\ piste {v}} (t)}

Peruslauseet

Liapunov-Persidskyn vakauslause (1892, 1946) ja päinvastoin (Persidsky, 1933)  - 

Antaa olla järjestelmä (E). On olemassa jatkuvasti erilaistuva positiivinen määritelty funktio , joka on negatiivinen puolitarkka, jos ja vain, jos 0 on vakaan tasapainon piste. Jos V kuten yllä on olemassa ja lisäksi kun se on tasaisesti t: n suhteen , niin 0 on tasaisesti vakaa. V:(x,t)↦V(x,t){\ displaystyle V: (x, t) \ mapsto V (x, t)}V˙{\ displaystyle {\ piste {V}}}V(x,t)→0{\ displaystyle V (x, t) \ oikeanpuoleinen nuoli 0}t→0{\ displaystyle t \ oikeanpuoleinen nuoli 0}

Riittävä vakauden edellytys johtuu Lyapunovista (1892) joko riittävän pienestä määrästä niin, että suljettu pallo, jonka keskipiste on 0 ja säde , tai sisältyy D: hen , ja pallo, jonka keskipiste on 0 ja säde , ts . Koska se on kompakti joukko ja V on jatkuva, V sallii minimin tälle joukolle; meillä on sitten . Toisaalta, koska V on jatkuva, se on olemassa sellainen, että . Antaa olla avoin pallo keskellä 0 ja säde , ja joko . Koska funktio vähenee, meillä on siis kaikki sellaiset, jotka on määritelty. Siksi kaikille näille t: n arvoille . Näin ollen se ei voi taipua kohti D: n rajaa ja on sen vuoksi laajennettavissa , mikä osoittaa 0: n vakauden. e>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}e{\ displaystyle \ varepsilon}B¯(0,e)={x∈Rei:‖x‖≤e}{\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {B}}} \ left (0, \ varepsilon \ right) = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ left \ Vert x \ right \ Vihreä \ leq \ varepsilon \ oikea \}}S(0,e){\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ vasen (0, \ varepsilon \ oikea)}e{\ displaystyle \ varepsilon}S(0,e)={x∈Rei:‖x‖=e}{\ displaystyle S \ left (0, \ varepsilon \ right) = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ left \ Vert x \ right \ Vert = \ varepsilon \ right \}}S(0,e){\ displaystyle S \ vasen (0, \ varepsilon \ oikea)}m(e)>0{\ displaystyle m (\ varepsilon)> 0}V(x)<m(e)⇒‖x‖<e{\ displaystyle V \ left (x \ right) <m \ left (\ varepsilon \ right) \ Rightarrow \ left \ Green x \ right \ Green <\ varepsilon}5(e)>0{\ displaystyle \ delta (\ varepsilon)> 0}‖x‖<5(e)⇒V(x)<m(e){\ displaystyle \ left \ Green x \ right \ Green <\ delta \ left (\ varepsilon \ right) \ Rightarrow V \ left (x \ right) <m \ left (\ varepsilon \ right)}B(0,5(e)){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ vasen (0, \ delta (\ varepsilon) \ oikea)}e{\ displaystyle \ varepsilon}x0∈B(0,5(e)){\ displaystyle x_ {0} \ in {\ mathcal {B}} \ vasen (0, \ delta (\ varepsilon) \ oikea)}t↦V(φ(x0,t0;t)){\ displaystyle t \ mapsto V (\ varphi (x_ {0}, t_ {0}; t))}V(φ(x0,t0;t))<m(e){\ displaystyle V (\ varphi (x_ {0}, t_ {0}; t)) <m (\ varepsilon)}t≥t0{\ displaystyle t \ geq t_ {0}}φ(x0,t0;t){\ displaystyle \ varphi (x_ {0}, t_ {0}; t)}‖φ(x0,t0;t)‖<e{\ displaystyle \ left \ Vert \ varphi \ left (x_ {0}, t_ {0}; t \ oikea) \ oikea \ Vihreä <\ varepsilon}φ(x0,t0;t){\ displaystyle \ varphi (x_ {0}, t_ {0}; t)}[t0,+∞[{\ displaystyle [t_ {0}, + \ infty [}

Persidsky osoitti edelleen tämän vakauden johdonmukaisuuden. Hän osoitti myös päinvastoin seuraavasti: anna, ja . Meillä on sama . Siksi on x: n ja t: n funktio  ; voimme siis kysyä . Tämä toiminto on tietysti jatkuvasti erotettavissa, ja . Koska 0 on vakaa, on olemassa luokan funktio , joka siis ja siten funktio on positiivinen, selvä. t≥t0{\ displaystyle t \ geq t_ {0}}x=φ(x0,t0;t){\ displaystyle x = \ varphi (x_ {0}, t_ {0}; t)}x0=φ(x,t;t0){\ displaystyle x_ {0} = \ varphi (x, t; t_ {0})}||x0||{\ displaystyle \ vihreä \ vihreä x_ {0} \ vihreä \ vihreä}V(x,t)=||x0||{\ displaystyle V (x, t) = \ vihreä \ vihreä x_ {0} \ vihreä \ vihreä}V˙(x,t)=0{\ displaystyle {\ piste {V}} (x, t) = 0}a{\ displaystyle \ alfa}K{\ displaystyle {\ mathcal {K}}}||x||≤a(||x0||){\ displaystyle \ green \ green x \ green \ green \ leq \ alpha (\ green \ green x_ {0} \ green \ green)}||x0||≤a-1(||x||){\ displaystyle \ green \ green x_ {0} \ green \ green \ leq \ alpha ^ {- 1} (\ green \ green x \ green \ green)}(x,t)↦V(x,t)=||x0||{\ displaystyle (x, t) \ mapsto V (x, t) = \ vihreä \ vihreä x_ {0} \ vihreä \ vihreä}

Oletetaan alla olevan lauseen osalta, että tarkasteltava järjestelmä on autonominen, minkä vuoksi se määritellään differentiaaliyhtälöllä (A) (Lauseessa on useita ei-triviaalisia yleistyksiä ei-autonomisten järjestelmien tapauksessa; ne liittyvät tuloksiin Matrosovin takia).

Krasovskin-LaSalle invarianssi periaate (1953-1960)  -  Oletetaan, että on olemassa jatkuvasti derivoituva positiividefiniitti toiminto ja joukon , joka sisältyy D siten, että . Olkoon M joukon suurin positiivisesti invariantti osajoukko . Joten jos se on kompakti (mikä on tapaus, jos se on tarpeeksi pieni, ja tämä pätee aina, jos V on yleensä puhdas), M on houkutteleva kaikille , ts. Alkava liike pyrkii M: ään . V:x→V(x){\ displaystyle V: x \ oikeanpuoleinen nuoli V (x)}Ψe={x∈Rei:V(x)≤e}(e>0){\ displaystyle \ Psi _ {\ varepsilon} = \ vasen \ {x \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}: V \ vasen (x \ oikea) \ leq \ varepsilon \ oikea \} (\ varepsilon> 0) }V˙(x)≤0,∀x∈Ψϵ{\ displaystyle {\ dot {V}} (x) \ leq 0, \ forall x \ in \ Psi _ {\ epsilon}}E={x∈D.:V˙(x)=0}{\ displaystyle E = \ vasen \ {x \ D: ssä: {\ piste {V}} \ vasen (x \ oikea) = 0 \ oikea \}}Ψe{\ displaystyle \ Psi _ {\ varepsilon}}e{\ displaystyle \ varepsilon}Ψe{\ displaystyle \ Psi _ {\ varepsilon}}Ψe{\ displaystyle \ Psi _ {\ varepsilon}}

Kompakti sarja on positiivisesti invariantti, koska tässä sarjassa. Joko . Sitten toiminta vähenee ja joita rajoittaa 0, niin myöntää äärellinen raja varten . Samoin . Ψe{\ displaystyle \ Psi _ {\ varepsilon}}V˙(x)≤0{\ displaystyle {\ piste {V}} (x) \ leq 0}x0∈Ψϵ{\ displaystyle x_ {0} \ sisään \ Psi _ {\ epsilon}}t↦V(φ(x0,t0;t)){\ displaystyle t \ mapsto V (\ varphi (x_ {0}, t_ {0}; t))}e∞{\ displaystyle \ varepsilon _ {\ infty}}t→+∞{\ displaystyle t \ rightarrow + \ infty}V˙(φ(x0,t0;t))→0{\ displaystyle {\ piste {V}} (\ varphi (x_ {0}, t_ {0}; t)) \ oikea nuoli 0}

Antaa olla "rajajoukko" (Birkhoffin mielessä) , eli joukko kaikkia pisteitä , joille on olemassa tiukasti kasvava reaalilukujen sarja siten, että . Koska asetettu raja on suhteellisen kompakti , se on positiivisesti muuttumaton, ja meidän on osoitettava se . Γ+{\ displaystyle \ Gamma ^ {+}}φ(x0,t0;.){\ displaystyle \ varphi (x_ {0}, t_ {0};.)}z∈Ψe{\ displaystyle z \ sisään \ Psi _ {\ varepsilon}}(tei){\ displaystyle (t_ {n})}φ(x0,t0;tei)→z{\ displaystyle \ varphi (x_ {0}, t_ {0}; t_ {n}) \ rightarrow z}Γ+{\ displaystyle \ Gamma ^ {+}}Γ+⊂M{\ displaystyle \ Gamma ^ {+} \ osajoukko M}

Mutta jos se oli , ja jatkuvuus ,  ; siksi . z∈Γ+{\ displaystyle z \ sisällä \ Gamma ^ {+}}V(z)=e∞{\ displaystyle V (z) = \ varepsilon _ {\ infty}}V˙{\ displaystyle {\ piste {V}}}V˙(z)=0{\ displaystyle {\ piste {V}} (z) = 0}Γ+⊂M{\ displaystyle \ Gamma ^ {+} \ osajoukko M}

Katso esimerkki 4 sovelluksena.

Saamme 0: n riittävän houkuttelevuuden ehdon alla olevasta lauseesta (ja siten 0: n asymptoottisesta vakaudesta, koska sen stabiilisuus syntyy sitten yllä esitetystä Liapunovin lauseesta) autonomiselle järjestelmälle (A) soveltamalla invariansioperiaatetta Krasovsky-LaSalle . E={0}{\ displaystyle E = \ vasen \ {0 \ oikea \}}

Asymptoottisen stabiilisuuden lause (Liapunov, 1892; LaSalle, 1960) ja sen päinvastoin (Massera, 1949)  -  Anna järjestelmän (A). On olemassa positiivinen määrätty funktio , joka on negatiivinen määritelty, jos ja vain, jos 0 on asymptoottisesti vakaa tasapainopiste. Lisäksi 0 on globaalisti asymptoottisesti vakaa, jos V on globaalisti puhdas. V:x↦V(x){\ displaystyle V: x \ mapsto V (x)}V˙{\ displaystyle {\ piste {V}}}

Huomaa : Tämä lause voidaan todistaa suoraan ei-itsenäiselle järjestelmälle (E); riittävä asymptoottisen stabiilisuuden ehto 0 saadaan sitten jatkuvasti erilaistuvalla Liapunov-funktiolla siten, että se on määritelty negatiiviseksi. Tämä asymptoottinen stabiilisuus on tasainen niin tasaisesti suhteessa t milloin ja on globaali, jos V on globaalisti oikea. Sitä vastoin saadaan Liapunov-funktio (E): lle, joka ei ole itsenäinen, mutta 0: lle tasaisesti asymptoottisesti vakaa (Massera, 1956); Malkine (1954) tunnusti yhtenäisyyden tärkeyden. Jos (E) -kertoimet ovat jaksollisia, niin ovat myös . V:(x,t)→V(x,t){\ displaystyle V: (x, t) \ oikeanpuoleinen nuoli V (x, t)}V˙{\ displaystyle {\ piste {V}}}V(x,t)→0{\ displaystyle V (x, t) \ oikeanpuoleinen nuoli 0}||x||→0{\ displaystyle \ green \ green x \ green \ green \ rightarrow 0}V:(x,t)→V(x,t){\ displaystyle V: (x, t) \ oikeanpuoleinen nuoli V (x, t)}V(x,t){\ displaystyle V (x, t)}

Katso esimerkit 1, 2 ja 3 sovelluksina.

Lopetetaan tämä kappale eksponentiaalisella vakaudella:

Eksponentiaalisen vakauden lause ja sen päinvastainen  -  Olkoon järjestelmä (E), jossa f on paikallisesti Lipschitzin. Oletetaan, että on olemassa jatkuvasti differentiable funktio määritellään siten, että , ja joille on olemassa todellinen määrä sellainen, että kaikki , joilla on riittävän pieni normi ja kaikki , V:(x,t)→V(x,t){\ displaystyle V: (x, t) \ oikeanpuoleinen nuoli V (x, t)}D.×]T,+∞[{\ displaystyle D \ kertaa] T, + \ infty [}V(0,t)=0,∀t∈]T,+∞[{\ displaystyle V (0, t) = 0, \ kaikki t \ sisään] T, + \ infty [}a,β,y,5,e>0{\ displaystyle \ alfa, \ beta, \ gamma, \ delta, \ varepsilon> 0}x∈D.{\ displaystyle x \ D: ssä}t∈]T,+∞[{\ displaystyle t \ in] T, + \ infty [}

(SE) :: ja . a‖x‖5≤V(x,t)≤β||x||e{\ displaystyle \ alpha \ left \ Vert x \ right \ Vert ^ {\ delta} \ leq V \ left (x, t \ right) \ leq \ beta \ vert \ vert x \ vert \ vert ^ {\ varepsilon}}V˙(x,t)≤-yV(x,t){\ displaystyle {\ piste {V}} \ vasen (x, t \ oikea) \ leq - \ gamma V (x, t)}

Tällöin tasapainopiste 0 on eksponentiaalisesti vakaa. Se on globaalisti eksponentiaalisesti vakaa, jos ja yllä mainitut eriarvoisuudet koskevat kaikkea (ja kaikkea ). D.=Rei{\ displaystyle D = \ mathbb {R} ^ {n}}x∈Rei{\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}}t∈]T,+∞[{\ displaystyle t \ in] T, + \ infty [}

Sitä vastoin oletetaan, että on olemassa sellainen, että μ,r,vs.>0{\ displaystyle \ mu, r, c> 0}

(VS) :: ||φ(x,t;τ)||≤μ||x||e-vs.(τ-t){\ displaystyle \ vert \ vert \ varphi (x, t; \ tau) \ vert \ vert \ leq \ mu \ vert \ vert x \ vert \ vert e ^ {- c (\ tau -t)}}

kaikille kuten ja . Tällöin on olemassa todellinen ja jatkuvasti derivoituva funktio on määritelty ja , sekä , joka täyttää (SE) kanssa . Jos (C) pätee kaikille sellaisille ja kaikille , niin V on määritelty ja täyttää (SE) sen määritelmäalueella (with ). t,τ,x{\ displaystyle t, \ tau, x}T<t≤τ{\ displaystyle T <t \ leq \ tau}||x||≤r{\ displaystyle \ vihreä \ vihreä x \ vihreä \ vihreä \ leq r}ρ>0{\ displaystyle \ rho> 0}V:(x,t)↦V(x,t){\ displaystyle V: (x, t) \ mapsto V (x, t)}||x||≤ρ{\ displaystyle \ vihreä \ vihreä x \ vihreä \ vihreä \ leq \ rho}t>T{\ displaystyle t> T}a,β,y>0{\ displaystyle \ alfa, \ beta, \ gamma> 0}5=e=2{\ displaystyle \ delta = \ varepsilon = 2}t,τ{\ displaystyle t, \ tau}T<t≤τ{\ displaystyle T <t \ leq \ tau}x∈Rei{\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}}Rei×]T,+∞[{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ kertaa] T, + \ infty [}5=e=2{\ displaystyle \ delta = \ varepsilon = 2}

Riittävä kunto  : Kaikelle mitä meillä ont≥t0{\ displaystyle t \ geq t_ {0}}

V(φ(x0,t0;t),t)≤V(x0)e-y(t-t0)⇒‖φ(x0,t0;t)‖≤(βa)15‖x0‖e5e-y5(t-t0){\ displaystyle V (\ varphi (x_ {0}, t_ {0}; t), t) \ leq V \ vasen (x_ {0} \ oikea) e ^ {- \ gamma \ vasen (t-t_ {0 } \ oikea)} \ Oikea nuoli \ vasen \ Vert \ varphi \ vasen (x_ {0}, t_ {0}; t \ oikea) \ oikea \ Vert \ leq \ vasen ({\ frac {\ beta} {\ alpha} } \ oikea) ^ {\ frac {1} {\ delta}} \ vasen \ Vert x_ {0} \ right \ Vert ^ {\ frac {\ varepsilon} {\ delta}} e ^ {- {\ frac {\ gamma} {\ delta}} \ vasen (t-t_ {0} \ oikea)}}

Vastavuoroinen  : Let ja . Integraali t>T{\ displaystyle t> T}||x||≤r{\ displaystyle \ vihreä \ vihreä x \ vihreä \ vihreä \ leq r}

V(x,t)=∫t+∞‖φ(x,t;τ)‖2dτ{\ displaystyle V \ left (x, t \ right) = \ int _ {t} ^ {+ \ infty} \ left \ Vert \ varphi \ left (x, t; \ tau \ right) \ right \ Vert ^ { 2} d \ tau}

on konvergentti ja määrittelee jatkuvasti erilaistuvan funktion V siten, että . Meillä on tarkemmin V˙(x,t)=-‖φ(x,t;τ)‖2=-‖x‖2{\ displaystyle {\ dot {V}} (x, t) = - \ left \ Vert \ varphi \ left (x, t; \ tau \ right) \ right \ Vert ^ {2} = - \ left \ Vert x \ oikea \ vihreä ^ {2}}

V(x,t)≤μ2‖x‖2∫t+∞e-2vs.(t-ζ)dζ=μ2‖x‖22vs.{\ displaystyle V \ left (x, t \ right) \ leq \ mu ^ {2} \ left \ Vert x \ right \ Vert ^ {2} \ int _ {t} ^ {+ \ infty} e ^ {- 2c \ vasen (t- \ zeta \ oikea)} d \ zeta = {\ frac {\ mu ^ {2} \ vasen \ Vert x \ oikea \ Vert ^ {2}} {2c}}}

ja niin . Toisaalta, V˙(x,t)≤-2vs.μ2V(x,t){\ displaystyle {\ piste {V}} \ vasen (x, t \ oikea) \ leq - {\ frac {2c} {\ mu ^ {2}}} V \ vasen (x, t \ oikea)}

φ(x,t;τ)=x+∫tτf(φ(x,t;ζ),ζ)dζ{\ displaystyle \ varphi \ left (x, t; \ tau \ right) = x + \ int _ {t} ^ {\ tau} f \ left (\ varphi \ left (x, t; \ zeta \ right), \ zeta \ oikea) d \ zeta}

Koska f on paikallisesti Lipschitzin, on kuten on ,  ; vaikka se tarkoittaa määrittelemällä uudelleen r ja tehden riittävän pieni niin, että , joka sitten merkitsee varten , me siten saada ρ>0{\ displaystyle \ rho> 0}‖f(x,t)-f(y,t)‖≤λ‖x-y‖{\ displaystyle \ left \ Green f (x, t) -f (y, t) \ right \ Green \ leq \ lambda \ left \ Green xy \ right \ Green}||x||≤ρ{\ displaystyle \ vihreä \ vihreä x \ vihreä \ vihreä \ leq \ rho}||y||≤ρ{\ displaystyle \ vihreä \ vihreä y \ vihreä \ vihreä \ leq \ rho}μr2≤ρ{\ displaystyle \ mu r ^ {2} \ leq \ rho}‖φ(x,t;τ)‖≤ρ{\ displaystyle \ Green \ varphi (x, t; \ tau) \ Green \ leq \ rho}T<t≤τ{\ displaystyle T <t \ leq \ tau}

‖φ(x,t;τ)‖≥‖x‖-∫tτ‖f(φ(x,t;ζ),ζ)‖dζ≥‖x‖-λρ(t-τ){\ displaystyle \ left \ Green \ varphi \ left (x, t; \ tau \ right) \ right \ Green \ geq \ left \ Green x \ right \ Green - \ int _ {t} ^ {\ tau} \ left \ Vert f \ left (\ varphi \ left (x, t; \ zeta \ right), \ zeta \ right) \ right \ Vert d \ zeta \ geq \ left \ Vert x \ right \ Vert - \ lambda \ rho \ vasen (t- \ tau \ oikea)}

Sillä olemme siis näin ollen τ∈[t,‖x‖2λρ]{\ displaystyle \ tau \ in \ left [t, {\ frac {\ left \ Vert x \ right \ Vert} {2 \ lambda \ rho}} \ right]}‖φ(x,t;τ)‖≥‖x‖2{\ displaystyle \ left \ Vert \ varphi \ left (x, t; \ tau \ right) \ right \ Vert \ geq {\ frac {\ left \ Vert x \ right \ Vert} {2}}}

V(x,t)≥‖x‖2‖x‖2λρ=‖x‖24λρ{\ displaystyle V \ left (x, t \ right) \ geq {\ frac {\ left \ Green x \ right \ Green} {2}} {\ frac {\ left \ Green x \ right \ Green} {2 \ lambda \ rho}} = {\ frac {\ left \ Vert x \ right \ Vert ^ {2}} {4 \ lambda \ rho}}}

Näin ollen ehdot täyttyvät . Laajentaminen globaaliin tapaukseen on triviaalia. a=14λρ,β=μ22vs.,y=2vs.μ2{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {4 \ lambda \ rho}}, \ beta = {\ frac {\ mu ^ {2}} {2c}}, \ gamma = {\ frac {2c} { \ mu ^ {2}}}}

Kompaktin vakaus puoliryhmän määrittelemälle järjestelmälle

Alkuehdon täyttävän autonomisen järjestelmän (A) ratkaisulla on seuraavat ominaisuudet (alkamisajan oletetaan olevan nolla, mikä ei aiheuta yleisyyden menetystä autonomisen järjestelmän tapauksessa, tämä määrä jätetään pois argumenteista / ): φ:t↦φ(x;t){\ displaystyle \ varphi: t \ mapsto \ varphi (x; t)}φ(0)=x0{\ displaystyle \ varphi (0) = x_ {0}}t0{\ displaystyle t_ {0}}φ{\ displaystyle \ varphi}

φ(x0;0)=x0{\ displaystyle \ varphi (x_ {0}; 0) = x_ {0}}

φ(φ(x0;t1);t2)=φ(x0;t1+t2){\ displaystyle \ varphi (\ varphi (x_ {0}; t_ {1}); t_ {2}) = \ varphi (x_ {0}; t_ {1} + t_ {2})}

Jos oletamme, että nämä määrät on määritelty kaikille , ilmaisemme nämä ominaisuudet sanomalla, että virtaus t1,t2≥0{\ displaystyle t_ {1}, t_ {2} \ geq 0}

g:t↦gt:x0↦gtx0=φ(x0;t){\ displaystyle g: t \ mapsto g ^ {t}: x_ {0} \ mapsto g ^ {t} x_ {0} = \ varphi \ left (x_ {0}; t \ oikea)}

määrittelee semi-ryhmä on diffeomorphisms (koska jokainen on diffeomorfismi ja että kaikkien  , se on ryhmä , jos edellä mainitut määrät ovat myös määritelty kaikille , mutta tämä oletus on hyödytön, mitä seuraa). (gt)t≥t0{\ displaystyle (g ^ {t}) _ {t \ geq t_ {0}}}gt{\ displaystyle g ^ {t}}gt1+t2=gt2∘gt1{\ displaystyle g ^ {t_ {1} + t_ {2}} = g ^ {t_ {2}} \ circ g ^ {t_ {1}}}t1,t2≥0{\ displaystyle t_ {1}, t_ {2} \ geq 0}t1,t2≤0{\ displaystyle t_ {1}, t_ {2} \ leq 0}

Sen sijaan, että annamme itsellemme järjestelmän autonomisen differentiaaliyhtälön (A) avulla, voimme tehdä sen yleisemmin virtauksella ( ) yksinkertaisesti olettaen jatkuvan (eikä enää jatkuvasti erottuvan); puoliryhmän sanotaan sitten olevan jatkuva. (gt)t≥0{\ displaystyle (g ^ {t}) _ {t \ geq 0}}gt:x↦φ(x;t){\ displaystyle g ^ {t}: x \ mapsto \ varphi (x; t)}φ{\ displaystyle \ varphi}(gt)t≥0{\ displaystyle (g ^ {t}) _ {t \ geq 0}}

Tämä on todellakin yleistys, koska jos se on jatkuvasti erilainen, luonnehdimme puoliryhmän sen "äärettömän pienellä generaattorilla", jonka φ{\ displaystyle \ varphi}(gt)t≥0{\ displaystyle (g ^ {t}) _ {t \ geq 0}}AT:x0↦ATx0{\ displaystyle A: x_ {0} \ mapsto Ax_ {0}}

ATx0=limt→0+1t[gt-Minä]x0=limt→0+φ(x0;t)-x0t=∂φ∂t(x0,0){\ displaystyle Ax_ {0} = \ lim \ limits _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {1} {t}} \ left [g ^ {t} -I \ right] x_ {0} = \ lim \ limits _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {\ varphi \ left (x_ {0}; t \ right) -x_ {0}} {t}} = {\ frac {\ osittainen \ varphi} {\ osittainen t}} \ vasen (x_ {0}, 0 \ oikea)}

näin ollen operaattori A on funktio f tai jopa "operaattori" (yleensä epälineaarinen) . Siksi olemme tehokkaasti supistuneet formulaatioon, jossa järjestelmä annetaan autonomisen differentiaaliyhtälön (A) avulla. x↦f(x){\ displaystyle x \ mapsto f (x)}

Sitten laajennamme Krasovsky-LaSalle-invariansioperiaatteen tähän tapaukseen jatkuvalla toiminnolla (ja ei enää jatkuvasti erottuvalla) korvaamalla ehdon ehdolla: funktio pienenee (todiste muuten muuttuu ). V:x↦V(x){\ displaystyle V: x \ mapsto V (x)}V˙(x)≤0,∀x∈Ψe{\ displaystyle {\ dot {V}} (x) \ leq 0, \ forall x \ in \ Psi _ {\ varepsilon}}t↦V(φ(x;t)){\ displaystyle t \ mapsto V (\ varphi (x; t))}}∀x∈Ψe{\ displaystyle \ forall x \ in \ Psi _ {\ varepsilon}}

Olkoon sitten positiivisesti invariantti kompakti sarja. Kuten edellä, päätellään tästä "yleistetystä" Krasovsky-LaSalle-periaatteesta alla olevan lauseen riittävä ehto (todiste tarvittavan ehdon olevan paljon monimutkaisempi): M⊂D.{\ displaystyle M \ osajoukko D}

Lause (Bhatia (1966))  -  Kompakti joukko M on asymptoottisesti stabiili (tai globaalisti asymptoottisesti vakaa), ja vain, jos on olemassa jatkuva toiminto (tai Jatkuva ja globaalisti oikea) , jossa D on M: n avoin naapurusto ( vastaavasti ), sellainen V:D.↦R{\ displaystyle V: D \ mapsto \ mathbb {R}}D.=Rei{\ displaystyle D = \ mathbb {R} ^ {n}}

(C1) :: jos , jos , V(x)=0{\ displaystyle V (x) = 0}x∈M{\ displaystyle x \ sisällä M}V(x)>0{\ displaystyle V \ vasen (x \ oikea)> 0}x∉M{\ displaystyle x \ notin M}

(C2) :: jos ja . V(φ(x;t))<V(x){\ displaystyle V (\ varphi (x; t)) <V (x)}x∉M,t>0{\ displaystyle x \ notin M, t> 0}φ(x,[0,t])⊂D.{\ displaystyle \ varphi (x, [0, t]) \ osajoukko D}

Jos järjestelmä on määritetty autonomisen differentiaaliyhtälön (A), jossa f paikallisesti Lipschitzian, siis jatkuva, ja V on jatkuvasti derivoituva, voimme helposti nähdä, että ehto (C2) on tyytyväinen, jos ja vain jos varten . V˙(x)<0{\ displaystyle {\ piste {V}} (x) <0}D.∋x∉M{\ displaystyle D \ ni x \ notin M}

Esimerkki: holonomisen mekaanisen järjestelmän tapaus (1)

Tarkastellaan, kuten historiassa, holonomista mekaanista järjestelmää, jolla on n vapausastetta ja skleronomisia sidoksia . Antaa olla sen yleisten koordinaattien vektori. Meidän mielestämme q∈Rei{\ displaystyle q \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}}

T(q,q˙){\ displaystyle T (q, {\ piste {q}})}

VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}

q˙{\ displaystyle {\ piste {q}}}

U(q){\ displaystyle U (q)}

VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}

q=0{\ displaystyle q = 0}

Q(q,q˙)∈R1×ei{\ displaystyle Q (q, {\ dot {q}}) \ in \ mathbb {R} ^ {1 \ kertaa n}}

VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}

(F) :: Q.q≤0{\ displaystyle Qq \ leq 0}

(näin on viskoosien kitkavoimien kohdalla ). Meillä on seuraava tulos, joka, kuten näemme, osoitetaan Liapunovin vakauslauseen ja Krasvossky-LaSalle-muuttumattomuusperiaatteen ansiosta:

Lause  -  Vaiheavaruuden (ts. Desavaruuden ) alkuperä on vakaa. Jos (F): n vasen puoli vain häviää , se on asymptoottisesti vakaa. R2ei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}x=(q˙,q){\ displaystyle x = ({\ piste {q}}, q)}q=0{\ displaystyle q = 0}

Implisiittisten funktioiden lause antaa meille mahdollisuuden ilmaista x : n funktiona lähellä . Sitten saadaan yhtälö tältä naapurustolta, jossa f on luokkaa . Oletukset (a) ja (b) osoittavat, että se on positiivinen selvä luokan funktio. Lagrangen yhtälö on kirjoitettu x˙{\ displaystyle {\ piste {x}}}x=0{\ displaystyle x = 0}x˙=f(x){\ displaystyle {\ piste {x}} = f (x)}VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}V=T+U{\ displaystyle V = T + U}VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}

ddt∂L∂q˙-∂L∂q=Q{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ osal {{mathcal {L}}} {\ osio {\ piste {q}}}} - {\ frac {\ osallinen {\ mathcal { L}}} {\ parts q}} = Q}

ja siksi saamme (F): ltä . Siksi Liapunovin lauseen mukaan alkuperä on vakaa. Jos yli vasemmalle puolelle (F) katoaa vain , tasa merkitsee , ja kaikki E on LaSalle invariance periaate on: . Lisäksi meillä on välttämättä , koska muuten olisi olemassa pisteitä, jotka ovat äärettömän lähellä alkuperää, josta meillä olisi , toisin kuin hypoteesi (c). Lagrangen yhtälö on edelleen kirjoitettu V˙=Q.q˙≤0{\ displaystyle {\ dot {V}} = Q. {\ dot {q}} \ leq 0}q=0{\ displaystyle q = 0}V˙=0{\ displaystyle {\ piste {V}} = 0}q˙=0{\ displaystyle {\ dot {q}} = 0}E={(q˙,q)∈R2ei:q˙=0}{\ displaystyle E = \ left \ {\ left ({\ dot {q}}, q \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {2n}: {\ dot {q}} = 0 \ oikea \}}Q(q,0)=0{\ displaystyle Q (q, 0) = 0}q=0{\ displaystyle q = 0}Q.q˙>0{\ displaystyle Q. {\ piste {q}}> 0}

ddt(∂T∂q˙)-∂T∂q+∂U∂q=Q{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ vasen ({\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen {\ piste {q}}}} \ oikea) - {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen q}} + {\ frac {\ osallinen U} {\ osallinen q}} = Q}

tai tarkemmin sanottuna

∂2T∂q˙2q¨+∂2T∂q˙∂qq˙-∂T∂q+∂U∂q=Q{\ displaystyle {\ frac {\ partitali ^ {2} T} {\ osittainen {\ piste {q}} ^ {2}}} {\ ddot {q}} + {\ frac {\ osallinen ^ {2} T } {\ osittainen {\ piste {q}} \ osallinen q}} {\ piste {q}} - {\ frac {\ osittainen T} {\ osallinen q}} + {\ frac {\ osallinen U} {\ osittainen q}} = Q}

Käytössä E , siksi meidän on

∂2T∂q˙2q¨+∂U∂q=0{\ displaystyle {\ frac {\ partisaalinen ^ {2} T} {\ osallinen {\ piste {q}} ^ {2}}} {\ ddot {q}} + {\ frac {\ osallinen U} {\ osallinen q}} = 0}

ja koska V sallii tiukan suhteellisen minimin en , en heti kun q on riittävän lähellä nollaa, siis . Siksi se on ainoa positiivisesti invariantti E: n osajoukko , ja Krasvossky-LaSalle-variaation periaatteen mukaan 0 on asymptoottisesti vakaa. q=0{\ displaystyle q = 0}∂U∂q≠0{\ displaystyle {\ frac {\ osa U} {\ osallinen q}} \ neq 0}q≠0{\ displaystyle q \ neq 0}q¨≠0{\ displaystyle {\ ddot {q}} \ neq 0}{0}{\ displaystyle \ vasen \ {0 \ oikea \}}

Epälineaaristen järjestelmien epävakauslause

Tarkastellaan uudelleen järjestelmää (E). Epävakauslauseke, jota voidaan pitää tärkeimpänä (vaikka se ei olisikaan yleisin), koska se on käytännössä helpoin käyttää, on seuraava:

Chetaev epävakauden lause (1934)  -  Oletetaan on luokan funktio siten, että V:D.→R{\ displaystyle V: D \ rightarrow \ mathbb {R}}VS1{\ displaystyle C ^ {1}}

(a) pisteitä x on mielivaltaisesti lähellä nollaa siten, että . V(x)<0{\ displaystyle V (x) <0}

Sillä annetaan, Merkitään sittene>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}Ge={x∈D.:‖x‖≤e}∩{x∈D.:V(x)≤0}{\ displaystyle G _ {\ varepsilon} = \ left \ {x \ in D: \ left \ Vert x \ right \ Vert \ leq \ varepsilon \ right \} \ cap \ left \ {x \ in D: V \ left (x \ right) \ leq 0 \ right \}}

(b) , . Ge{\ displaystyle G _ {\ varepsilon}}V˙(x,t)<0{\ displaystyle {\ piste {V}} (x, t) <0}

Tällöin tasapainopiste 0 on epävakaa.

Joko ja . Kompaktissa toiminto sallii maksimin . Siksi, kuten vielä , . Kuva kompaktista , koska jatkuva toiminto V on kompakti, siis rajoitettu, on olemassa pienin sellainen hetki , joka kuuluu . Tässä meillä on tai . Meillä on siis . Kuitenkin, voidaan valita mielivaltaisesti pieni, siten tasapainopisteen 0 ei ole vakaa. x0∈Ge{\ displaystyle x_ {0} \ G _ {\ varepsilon}}V(x0)=-klo≤0{\ displaystyle V (x_ {0}) = - a \ leq 0}Ge{\ displaystyle G _ {\ varepsilon}}t↦V˙(φ(x0,t0;t)){\ displaystyle t \ mapsto {\ dot {V}} (\ varphi (x_ {0}, t_ {0}; t))}-b<0{\ displaystyle -b <0}φ(x0,t0;t){\ displaystyle \ varphi (x_ {0}, t_ {0}; t)}Ge{\ displaystyle G _ {\ varepsilon}}V(φ(x0,t0;t))≤-klo-b(t-t0){\ displaystyle V (\ varphi (x_ {0}, t_ {0}; t)) \ leq -ab (t-t_ {0})}Ge{\ displaystyle G _ {\ varepsilon}}t1>t0{\ displaystyle t_ {1}> t_ {0}}φ(x0,t0;t1){\ displaystyle \ varphi (x_ {0}, t_ {0}; t_ {1})}Ge{\ displaystyle G _ {\ varepsilon}}V(x)=0{\ displaystyle V (x) = 0}‖x‖=e{\ displaystyle \ left \ Green x \ right \ Green = \ varepsilon}V(φ(x0,t0;t1))<0{\ displaystyle V (\ varphi (x_ {0}, t_ {0}; t_ {1})) <0}‖φ(x0,t0;t1)‖=e{\ displaystyle \ left \ Vert \ varphi \ left (x_ {0}, t_ {0}; t_ {1} \ oikea) \ oikea \ Vert = \ varepsilon}‖x0‖{\ displaystyle \ vasen \ vihreä x_ {0} \ oikea \ vihreä}

Seuraus - Liapunovin ensimmäinen epästabiilisuuslauseke  -  Jos on olemassa luokan funktio , negatiivinen määritelty tai määrittelemätön merkki, joka on negatiivinen määritelty, tasapainopiste 0 on epävakaa. V:D.→R{\ displaystyle V: D \ rightarrow \ mathbb {R}}VS1{\ displaystyle C ^ {1}}V˙{\ displaystyle {\ piste {V}}}

Esimerkki: holonomisen mekaanisen järjestelmän tapaus (2)

Harkitse uudelleen holonomista järjestelmää olettaen, että U (q) sallii tiukan suhteellisen maksimin . Tarkemmin sanottuna, esittämällä , olettaa, että liike-energia ja potentiaalienergia kirjoitetaan vastaavasti ja jossa toiminnot ja ovat jatkuvasti derivoituva ja matriisit ja ovat positiividefiniitti. Oletetaan myös, että voimat, jotka eivät johdu potentiaalista, kirjoitetaan sinne, missä ne ovat jatkuvasti erotettavissa. Saamme seuraavan tuloksen Chetaevin lauseen avulla: q=0{\ displaystyle q = 0}s=q˙{\ displaystyle p = {\ piste {q}}}T(s,q)=sTM(s,q)s{\ displaystyle T (p, q) = p ^ {T} M (p, q) p}U(q)=-qTR(q)q{\ displaystyle U (q) = - q ^ {T} R (q) q}(s,q)↦M(s,q){\ displaystyle (p, q) \ mapsto M (p, q)}q↦R(q){\ displaystyle q \ mapsto R (q)}M(0,0){\ displaystyle M (0,0)}R(0){\ displaystyle R (0)}Q(q,s)=-e(q,s)sT{\ displaystyle Q (q, p) = - \ varepsilon (q, p) p ^ {T}}e{\ displaystyle \ varepsilon}

Lause  -  Jos se on tarpeeksi pieni, tasapainopiste , missä , on epävakaa. |e(0,0)|{\ displaystyle \ left \ vert \ varepsilon \ left (0,0 \ right) \ right \ vert}x=0{\ displaystyle x = 0}x=(s,q){\ displaystyle x = (p, q)}

Antaa olla Hamiltonin . Hamilton kanoninen yhtälöt kirjoitetaan H=T+U{\ displaystyle H = T + U}

s˙T=-∂H∂q+Q(s,q),q˙T=∂H∂s{\ displaystyle {\ dot {p}} ^ {T} = - {\ frac {\ osittainen H} {\ osallinen q}} + Q (p, q), {\ piste {q}} ^ {T} = {\ frac {\ osittainen H} {\ osittainen p}}}

Poseeraamalla hän tulee V(s,q)=-sTq{\ displaystyle V (p, q) = - p ^ {T} q}

V˙(s,q)=-2qTRq-qT∂R∂qq.q-2sTMs-sT∂M∂ss.s-e(s,q)sTq{\ displaystyle {\ piste {V}} \ vasen (p, q \ oikea) = - 2q ^ {T} Rq-q ^ {T} {\ frac {\ osittainen R} {\ osallinen q}} qq-2p ^ {T} Mp-p ^ {T} {\ frac {\ osittainen M} {\ osittainen p}} pp- \ varepsilon (p, q) p ^ {T} q}

Nyt , ja sen jälkeen Cauchyn-SchwarzqT∂R∂qq.q=o(‖x‖2){\ displaystyle q ^ {T} {\ frac {\ osittainen R} {\ osallinen q}} qq = o \ vasen (\ vasen \ Vert x \ oikea \ Vert ^ {2} \ oikea)}sT∂M∂ss.s=o(‖x‖2){\ displaystyle p ^ {T} {\ frac {\ osittainen M} {\ osittainen p}} pp = o \ vasen (\ vasen \ Vert x \ oikea \ Vert ^ {2} \ oikea)}

|sTq|≤12(‖s‖2+‖q‖2){\ displaystyle \ left \ vert p ^ {T} q \ right \ vert \ leq {\ frac {1} {2}} \ left (\ left \ Vert p \ right \ Vert ^ {2} + \ left \ Vert q \ oikea \ vihreä ^ {2} \ oikea)}

Siksi määritetään negatiiviseksi, jos missä matriisin pienin ominaisarvo on . Tässä tapauksessa, koska sillä on epämääräinen merkki, se on epävakaa tasapainopiste. V˙{\ displaystyle {\ piste {V}}}|e(0,0)|<4λ{\ displaystyle \ vert \ varepsilon (0,0) \ vert <4 \ lambda}λ{\ displaystyle \ lambda}diklog(M(0,0),R(0)){\ displaystyle-halkaisija (M (0,0), R (0))}V(x){\ displaystyle V (x)}x=0{\ displaystyle x = 0}

Tämä tulos osoittaa esimerkiksi, että käännetty heiluri on epävakaassa pystytasapainossa riittävän pienen viskositeetin kitkan läsnä ollessa.

Vakaus- ja epästabiilisuuslausekkeet lineaarisille tai lähes lineaarisille järjestelmille

Lineaarisen järjestelmän tapaus

Tarkastellaan lineaarista järjestelmää

(L) :: x˙=AT(t)x{\ displaystyle {\ piste {x}} = A (t) x}

jossa toiminto on paikallisesti integroitava ja rajoitettu. Tutkitaan (L): n tasapainopistettä 0. t↦AT(t)∈Rei×ei{\ displaystyle t \ mapsto A (t) \ sisään \ mathbb {R} ^ {n \ kertaa n}}

Seuraavat ehdot vastaavat:

(i) 0 on tasaisesti asymptoottisesti stabiili;

(ii) 0 on globaalisti tasaisesti asymptoottisesti vakaa;

(iii) 0 on eksponentiaalisesti stabiili;

(iv) 0 on globaalisti eksponentiaalisesti vakaa.

Ainoastaan ​​se, että (ii) johtaa (iii): een, ei ole triviaali, ja tämä tulos johtuu Hahnista (1966). Toisaalta, jos matriisi on vakio, vakaus 0 vastaa sen yhtenäinen vakaus, sen asymptoottinen stabiilisuus vastaa sen yhtenäinen asymptoottinen vakautta, ja kaikki nämä vaatimukset vastaavat (katso stabiilius tilaesitys )

(v) ominaisarvot on ( ) kaikki täyttävät ehdon . λi{\ displaystyle \ lambda _ {i}}i=1,...,ei{\ displaystyle i = 1, ..., n}ℜ(λi)<0{\ displaystyle \ Re (\ lambda _ {i}) <0}

Joskus sanotaan, että matriisi A tyydyttävä ehto (v) on "vakausmatriisi"; vahingossa tietyt kirjoittajat puhuvat "Hurwitz-matriisista": vakausmatriisin ominainen polynomi on Hurwitz-polynomi .

Toisaalta tasapainopiste 0 on vakaa (Liapunovin mielessä), ja vain, jos A: n ominaisarvot sijaitsevat suljetussa vasemmassa puolitasossa (ts. Kaikilla on negatiivinen tai nolla reaaliosa) ), kuvitteellisella akselilla (jos sellainen on) olevat sijainnit ovat yksinkertaisia ​​(toisin sanoen järjestyksessä 1 ) (katso jälleen valtionesityksen vakaus ).

Liapunovin kriteeri (1892)  -  Oletetaan, että matriisi A on vakio. Olkoon Q todellinen puolidefiniitti positiivinen symmetrinen matriisi ( ) (tai Positive definite ( )). Jos on olemassa matriisi, joka täyttää niin kutsutun Liapunov-yhtälön Q≥0{\ displaystyle Q \ geq 0}Q>0{\ displaystyle Q> 0}P>0{\ displaystyle P> 0}

(EL) :: ATTP+PAT=-Q{\ displaystyle A ^ {T} P + PA = -Q}

sitten tasapainopiste 0 on stabiili (tai eksponentiaalisesti vakaa) (L): lle.

Kääntäen on olemassa (EL): n symmetrinen matriisi P- ratkaisu mille tahansa symmetriselle matriisille Q , ja vain, jos A: lla ei ole sellaisia ominaisarvoja , että  ; tämä ratkaisu on silloin ainutlaatuinen. Jos (tai kaikilla A: n ominaisarvoilla on todellinen osa , niin (vastaavasti ). λi,λj{\ displaystyle \ lambda _ {i}, \ lambda _ {j}}λi+λj=0{\ displaystyle \ lambda _ {i} + \ lambda _ {j} = 0}Q≥0{\ displaystyle Q \ geq 0}Q>0){\ displaystyle Q> 0)}<0{\ displaystyle <0}P≥0{\ displaystyle P \ geq 0}P>0{\ displaystyle P> 0}

joko  ; silloin on positiivinen määritelty funktio. Meillä on  ; siksi, jos Q tyydyttää (EL) . Näin ollen on puolidefinitiivinen negatiivinen, jos ja varma negatiivinen, jos . Liapunovin lauseiden mukaan 0 on ensimmäisessä tapauksessa stabiili (L): lle ja toisessa asymptoottisesti vakaa. P>0{\ displaystyle P> 0}V(x)=xTPx{\ displaystyle V (x) = x ^ {T} Px}V˙(x)=xT(ATTP+PAT)x{\ displaystyle {\ piste {V}} (x) = x ^ {T} (A ^ {T} P + PA) x}V˙(x)=-xTQx{\ displaystyle {\ piste {V}} (x) = - x ^ {T} Qx}V˙{\ displaystyle {\ piste {V}}}Q≥0{\ displaystyle Q \ geq 0}Q>0{\ displaystyle Q> 0}

Näytetään päinvastoin: Liapunov (EL) -yhtälö  on tietyntyyppinen Sylvester (en) -yhtälö . Se myöntää ratkaisu tahansa symmetrinen matriisi Q , jos, ja vain jos ja joilla ei ole yhteistä ominaisarvo; tämä ratkaisu on silloin ainutlaatuinen. Oletetaan, että kaikki A: n ominaisarvot ovat todellisia osia ja ja anna P olla (EL): n ratkaisu; sitten kaikille t-AT{\ displaystyle -A}<0{\ displaystyle <0}Q≥0{\ displaystyle Q \ geq 0}

-ddt(etATTPetAT)=-etATT(ATTP+PAT)etAT=etATTQetAT{\ displaystyle - {\ frac {d} {dt}} \ vasen (e ^ {tA ^ {T}} Pe ^ {tA} \ oikea) = - e ^ {tA ^ {T}} \ vasen (A ^ {T} P + PA \ oikea) e ^ {tA} = e ^ {tA ^ {T}} Qe ^ {tA}}

Integroi tämä lauseke välille 0 ja (olettaen että ); integraali lähentyy ja saamme +∞{\ displaystyle + \ infty}t0=0{\ displaystyle t_ {0} = 0}

∫0∞[-ddt(etATTPetAT)]dt=∫0+∞etATTQetATdt≥0{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [- {\ frac {d} {dt}} \ left (e ^ {tA ^ {T}} Pe ^ {tA} \ right) \ right ] dt = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {tA ^ {T}} Qe ^ {tA} dt \ geq 0}

Panemme merkille, että:

∫0∞[-ddt(etATTPetAT)]dt=-etATTPetAT|0∞=-[e∞ATTPe∞AT-e0ATTPe0AT]=-0eiP0ei-(-)1eiP1ei=P.{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [- {\ frac {d} {dt}} \ left (e ^ {tA ^ {T}} Pe ^ {tA} \ right) \ right ] dt = - \ left.e ^ {tA ^ {T}} Pe ^ {tA} \ right | _ {0} ^ {\ infty} = - \ left [e ^ {\ infty A ^ {T}} Pe ^ {\ infty A} -e ^ {0A ^ {T}} Pe ^ {0A} \ right] = - 0_ {n} P0_ {n} - (-) 1_ {n} P1_ {n} = P.}

Huomaa, että tyypin e B matriisi on aina positiivinen.

Siksi saamme:

P=∫0+∞etATTQetATdt≥0{\ displaystyle P = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {tA ^ {T}} Qe ^ {tA} dt \ geq 0}

>0{\ displaystyle> 0}

Q>0{\ displaystyle Q> 0}

Tämä osoittaa tuloksen, että jos (vastaavasti ) sitten (vastaavasti ). Q≥0{\ displaystyle Q \ geq 0}Q>0{\ displaystyle Q> 0}P≥0{\ displaystyle P \ geq 0}P>0{\ displaystyle P> 0}

Osoitamme, että voimme heikentää tämän kriteerin riittävää ehtoa seuraavasti:

Q=VSTVS{\ displaystyle Q = C ^ {T} C}

(VS,AT){\ displaystyle (C, A)}

P≥0{\ displaystyle P \ geq 0}

(VS,AT){\ displaystyle (C, A)}

P>0{\ displaystyle P> 0}

Lähes lineaarisen järjestelmän tapaus

Tarkastellaan nyt epälineaarista järjestelmää (E), joka on kirjoitettu muotoon

(QL) :: x˙=AT(t)x+g(x,t){\ displaystyle {\ piste {x}} = A (t) x + g (x, t)}

missä A on kuten yllä ja on paikallisesti Lipschitzin funktio naapurustossa , sellainen , jota voimme pitää järjestelmän "pienenä häiriönä" (L). Järjestelmän (QL) oletetaan olevan lähes lineaarinen, eli että , siinä mielessä, että g:D.×]T,+∞[→Rei{\ displaystyle g: D \ kertaa] T, + \ infty [\ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}x=0{\ displaystyle x = 0}g(0,t)=0,∀t∈]T,+∞[{\ displaystyle g (0, t) = 0, \ kaikki t \ sisään] T, + \ infty [}‖x‖→0{\ displaystyle \ left \ Green x \ right \ Green \ rightarrow 0}g(x,t)=o(‖x‖){\ displaystyle g (x, t) = o (\ vasen \ Vert x \ oikea \ Vert)}

lim‖x‖→0,x≠0g(x,t)‖x‖=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {\ left \ Vert x \ right \ Vert \ rightarrow 0, x \ neq 0} {\ frac {g (x, t)} {\ left \ Vert x \ right \ Vert}} = 0}

tasaisesti t: n suhteen . Näiden oletusten perusteella meillä on

Lause (Perdisky (1946) - Hahn (1966))  -  Oletetaan, että tasapainopiste 0 on eksponentiaalisesti vakaa (L): lle. Sitten se on eksponentiaalisesti vakaa (QL).

Osoitetaan, onko matriisi riippumaton t  : stä . Koska 0 on eksponentiaalisesti stabiili (L): lle, Liapunov-kriteerin mukaan on olemassa Liapunov-yhtälön (EL) ratkaisumatriisi . Positiivisella määritellyllä funktiolla on sitten Lie-derivaatti pitkin (QL) -virtaa AT(t){\ displaystyle A (t)}AT(t)=AT{\ displaystyle A (t) = A}P>0{\ displaystyle P> 0}Q=Minäei{\ displaystyle Q = I_ {n}}V(x)=xTPx{\ displaystyle V (x) = x ^ {T} Px}

V˙(x,t)=-‖x‖2+2xTPg(x,t)≤-‖x‖2+2‖x‖‖P‖‖g(x,t)‖{\ displaystyle {\ dot {V}} \ left (x, t \ right) = - \ left \ Vert x \ right \ Vert ^ {2} + 2x ^ {T} Pg (x, t) \ leq - \ vasen \ Vihreä x \ oikea \ Vihreä ^ {2} +2 \ vasen \ Vihreä x \ oikea \ Vihreä \ vasen \ Vihreä P \ oikea \ Vihreä \ vasen \ Vihreä g (x, t) \ oikea \ Vihreä}

Saat riittävän pieni, meillä on sitten ‖x‖>0{\ displaystyle \ vasen \ vihreä x \ oikea \ vihreä> 0}‖g(x,t)‖‖x‖≤14‖P‖{\ displaystyle {\ frac {\ left \ Green g (x, t) \ right \ Green} {\ left \ Green x \ right \ Green}} \ leq {\ frac {1} {4 \ left \ Green P \ oikea \ Vihreä}}}

V˙(x,t)≤-12‖x‖2≤-12‖P‖V(x,t){\ displaystyle {\ piste {V}} \ vasen (x, t \ oikea) \ leq - {\ frac {1} {2}} \ vasen \ Vert x \ oikea \ Vert ^ {2} \ leq - {\ frac {1} {2 \ vasen \ Vert P \ oikea \ Vert}} V (x, t)}

siten (QL): n alkuperän eksponentiaalinen vakaus.

Hahn laajensi tämän lauseen diskreettien aikajärjestelmien tapaukseen. Toisaalta, jos matriisi ei ole vakio, asymptoottinen (epäyhtenäinen) stabiilius 0: lle (L): lle ei aiheuta tarkasteltujen hypoteesien mukaan 0: n stabiilisuutta (QL): lle yleensä ( esimerkki de Perron ). AT(t){\ displaystyle A (t)}

Lause  -  Tarkastellaan lähes lineaarista järjestelmää (QL) missä vakio on ja missä g täyttää yllä olevan ehdon. Jos A: lla on todellinen ominaisarvo , tasapainopiste 0 on epävakaa. AT(t){\ displaystyle A (t)}>0{\ displaystyle> 0}

Vaikka se tarkoittaa muuttumassa ja jossa on riittävän pieni, voimme olettaa, että ja -A ei ole yhteistä eigenvalue. Sitten Liapunovin kriteerin mukaan on olemassa symmetrinen matriisin P- ratkaisu (EL) kanssa , ja P ei ole . Lisäksi, kuten voimme helposti nähdä, (EL) tarkoittaa, että P: llä ei voi olla nolla ominaisarvoa. Joko sitten  ; mukaan samaa logiikkaa kuin edellä, ja riittävän pieni, ja on olemassa olevia x mielivaltaisesti lähellä 0 siten, että . Chetaevin lauseen mukaan 0 on siis epävakaa. AT-eMinäei{\ displaystyle A- \ varepsilon I_ {n}}e>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}Q=-Minäei{\ displaystyle Q = -I_ {n}}>0{\ displaystyle> 0}V(x)=xTPx{\ displaystyle V (x) = x ^ {T} Px}V˙(x,t)<0{\ displaystyle {\ piste {V}} (x, t) <0}||x||{\ displaystyle \ vihreä \ vihreä x \ vihreä \ vihreä}V(x)<0{\ displaystyle V (x) <0}

Näiden lauseiden täydennykset löytyvät Liapunovin artikkelista Exponent .

Huomautuksia ja viitteitä

Huomautuksia

1. Joillekin kirjoittajille kiertorata on liikerata, joka sulkeutuu itseensä, ts. Kompakti liikerata. Vielä muille kirjoittajille polku tarkoittaa sitä, mitä tässä artikkelissa kutsutaan liikkeeksi. Tämä viimeinen merkitys (jota käyttävät erityisesti lentosuunnittelijat ) ei aiheuta sekaannusta.
2. (in) George Philip Szego- , "  edistää Liapunov toisesta Menetelmä: Nonlinear Autonomiset järjestelmät  " , Journal of Basic Engineering , vol.  Joulukuu, 1962, s.  571 - 578
3. (sisään) DG Schultz ja JE Gibson , "  Variabient gradient method for Generating Lyapunov function  " , Applications & Industry Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, Osa II , Vuosikerta.  81,1962, s.  4203-4210 ( lue verkossa )
4. Lisätietoja vakauden käsitteen historiasta aina Liapunovin panokseen saakka, lukija voi myös tutustua Leine 2010 -ohjelmaan
5. Lyapunov 1992
6. Katso artikkeli Hurwitzin polynomi .
7. (De) Oskar Perron , "  Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen  " , Mathematische Zeitschrift , voi.  32, 1930, s.  703-704 ( lue verkossa )
8. Lewis 2017
9. JL Massera, Osuudet vakausteoriassa , Ann. Math., 56, s. 182-206, 1956
10. James A. York, Chetaevin epävakauslauseen jatke invarianttisarjojen ja esimerkin avulla , julkaisussa Differential Equations and Dynamical Systems Seminar (G.Stephen Jones, toim.), Springer, 60, s. 100 - 106, 1968
11. Bhatia ja Szegö 2002
12. RE Kalman ja JE Bertram, ohjausjärjestelmän analysointi ja suunnittelu Lyapunovin II diskreettiaikajärjestelmän "toisen menetelmän avulla" , J. Basic Eng. Trans. ASME, 82 (2), 394-400 (1960).
13. Hale 1977
14. I. Barbălat, Systems differentiaaliyhtälöiden epälineaarinen värähtelyjä , Rev. Romanian matematiikka. Pures Appl., 4, 267–270, 1959.
15. Slotine ja Li 1991 , kohta 4.2.5
16. B.Farkas, S.-A. Wegner, Muunnelmat Barbălatin Lemmasta , Amer. Matematiikka. Kuukausittain, 128, ei. 8, 825-830, 2016.
17. Hahn 1967
18. Wonham 1985
19. Boyd et ai. 1994 .
20. Sontag 2008 .
21. Michel, Hou ja Liu 2008 , s. 466, 467; Khalil 1996 . Huomaa, että näillä kirjoittajilla on hieman erilaiset määritelmät yleisestä yhtenäisestä asymptoottisesta stabiilisuudesta.
22. Kupka 1960-1961
23. Sontag 1998
24. Rouche ja Mawhin 1973
25. Joillekin kirjoittajille Liapunov-ehdokasfunktio on positiivinen määritelty funktio ja Liapunov- funktio on Liapunov-ehdokasfunktio, jonka johdannainen polkujen varrella on negatiivinen puolitarkka; Liapunov-toiminnon olemassaolo on silloin välttämätön ja riittävä vakauden edellytys Liapunovin mielessä.
26. LaSalle 1960
27. Rouche, Habets ja Laloy 1977
28. Katso historiallinen johdanto.
29. Bourlès 2010
30. lukija löytää artikkelissa polynomi Hurwitz lähestymistapa on hyvin erilainen kuin tässä yhteydessä tarkastellaan tutkimiseen vakautta lineaarijärjestelmien vakiokertoimiset (kriteerit Routh-Hurwitz sekä Liénard ja Chipart).
31. (De) Wolfgang Hahn , "  Über die Anwendung der Methode von Ljapunov auf Differenzengleichungen  " , Mathematische Annalen , voi.  136,1958, s.  430-441 ( lue verkossa )

Teokset, joita käytetään tekstin luomiseen

• (en) Nam Parshad Bhatia ja Giorgio P. Szegö , Dynaamisten järjestelmien vakausteoria , Berliini / Heidelberg / New York jne., Springer,2002, 225  Sivumäärä ( ISBN  3-540-42748-1 , lue verkossa )
• (en) Henri Bourlès , Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010( ISBN  978-1-84821-162-9 ja 1-84821-162-7 )
• (en) Stephen Boyd , Laurent El Ghaoui , Eric Feron ja Venkararamanam Balakrishnan , lineaarimatriisin epäyhtälöt järjestelmä- ja kontrolliteoriassa , SIAM,1994( ISBN  0-89871-334-X , lue verkossa )
• (en) Wolfgang Hahn , liikkeen vakaus , Springer-Verlag ,1967( ISBN  0-387-03829-9 )
• (en) Jack Hale , Funktionaalisten differentiaaliyhtälöiden teoria , Springer,1977, 366  Sivumäärä ( ISBN  0-387-90203-1 )
• (en) Hassan K.Khalil , epälineaariset järjestelmät , Prentice-Hall,1996, 750  Sivumäärä ( ISBN  0-13-067389-7 )
• (en) Ivan Kupka , "  Rakenteellinen vakaus  " , Janet-seminaari , voi.  4, n o  7, 1960-1961, s.  1-16 ( lue verkossa )
• (en) JP LaSalle , ”  Jotkut laajennukset Liapunov toisesta Method  ” , IRE Transactions Piiriteoria , n o  7,1960, s.  520-527 ( lue verkossa )
• (en) RI Leine , "  Klassisten vakauskäsitteiden historiallinen kehitys: Lagrangen, Poissonin ja Lyapunovin vakaus  " , epälineaarinen dyn. , N o  59,2010, s.  173-182 ( lue verkossa )
• (in) Andrew Lewis , "  Huomautuksia lineaaristen, ajan mukaan vaihtelevien järjestelmien vakaudesta  " , IEEE Transactions on Automatic Control , n °  62,2017, s.  6039-6043
• (en) Alexander Lyapunov , Liikkeen vakauden yleinen ongelma , CRC Press ,1992( ISBN  0-7484-0062-1 )
• (en) Antony N. Michel , Ling Hou ja Derong Liu , Dynaamisten järjestelmien vakaus: jatkuvat, epäjatkuvat ja erilliset järjestelmät , Boston, Birkhäuser,2008( ISBN  978-0-8176-4649-3 , lue verkossa )
• (en) N. Rouche , P. Habets ja M. Laloy , Stabiiliteoria Lyapunovin suoralla menetelmällä , Springer-Verlag ,1977, 396  Sivumäärä ( ISBN  978-0-387-90258-6 , lue verkossa )
• N. Rouche ja J. Mawhin , Tavalliset differentiaaliyhtälöt: Tome II , Masson,1973( ISBN  2-225-37290-X )
• (en) Jean-Jacques Slotine ja Weiping Li , sovellettu epälineaarinen ohjaus , Prentice-Hall,1991, 461  Sivumäärä ( ISBN  978-0-13-040049-9 )
• (en) Eduardo D. Sontag , Matemaattinen ohjausteoria: Deterministiset äärelliset ulottuvuudet , Springer,1998, 532  Sivumäärä ( ISBN  0-387-98489-5 , lue verkossa )
• (en) Eduardo D. Sontag , "  Input to State Stability: Basic Concepts and Results  " , Springer - Lecture Notes in Mathematics , voi.  1932,2008, s.  163-220 ( lue verkossa )
• (en) Mathukuma Vidyasagar , epälineaarinen systeemianalyysi , Prentice-Hall,1978( ISBN  0-89871-526-1 )
• (en) W. Murray Wonham , Linear monimuuttujasäätöön: geometrinen lähestymistapa , New York / Berlin / Pariisi jne Springer,1985, 334  Sivumäärä ( ISBN  0-387-96071-6 )

Lisäluettelo

• (en) R. Cui, L. Chen, C. Yang C ja M. Chen, '' Extended state tarkkailijapohjainen integroitu liukumoodin hallinta vedenalaiselle robotille, jolla on tuntemattomia häiriöitä ja epävarmoja epälineaarisuuksia '', IEEE Transactions on Industrial Electronics , 2017 ( yhteenveto )
• (en) R. Zakhama , ABB Hadj Brahim ja NB Braiek , "  Stabiiliusdomeenin arviointimenetelmän yleistäminen epälineaarisille diskreeteille järjestelmille  " , Computational and Applied Mathematics , voi.  37,lokakuu 2016, s.  1130–1141 ( DOI  10.1007 / s40314-016-0388-7 )
• Brigitte D'Andréa-Novel ja Michel Cohen de Lara, Dynaamisten järjestelmien lineaarinen ohjaus , Presses de l ' École des mines de Paris (päivämäärä?)
• Frédéric Bonnans ja Pierre Rouchon, valvonta ja optimointi dynaamisia järjestelmiä , yleiskuva on Google Books
• Rachid Chabour, Cours ( INRIA -Lorraine, Metzin yliopiston matematiikan osasto )
• M. Barreau, ”  Lineaaristen järjestelmien vakaus ja stabilointi lineaarimatriisieroja käytettäessä  ”, kvadratuuri , n o  113, 2019

Katso myös

• Liapunov-näytteilleasettaja
• Automaattinen
• Vankka hallinta
• Kaaosteoria
• Stabiiliteoria
• Hurwitzin polynomi