Maxwellin stressitensori
Maxwell jännitystensoria (nimetty kunniaksi James Clerk Maxwell ) on listalla 2 tensorin käytetään klassisen sähkömagnetismin ilmaista sähkömagneettiset voimat yleisessä tapauksessa. Yksinkertaisimmassa fyysisessä tilanteessa, joka koostuu pisteestä, joka liikkuu vapaasti yhtenäisessä magneettikentässä, hiukkaselle kohdistettu voima voidaan helposti laskea käyttämällä Lorentzin voimalaita . Kaikkein yleisimmässä tapauksessa, jossa järjestelmä on tunnettu siitä, että tilavuus varauksen jakautumista , tilavuus tiheys virran , sähkökentän ja magneettikentän , voidaan ilmaista tiheydessä Lorentzin voima, . Maxwellin yhtälöitä käyttämällä osoitamme, että voimme eliminoida virtatiheyden ja kirjoittaa tämän voiman voimakkuustiheyden uudelleen vain sähköisten ja magneettikenttien funktiona . Tämän uuden lausekkeen avulla voidaan sitten määrittää Maxwell- rajoitusten tensori , jonka näemme alla.
ρ{\ displaystyle \ rho}J{\ displaystyle \ mathbf {J}}E{\ displaystyle \ mathbf {E}}B{\ displaystyle \ mathbf {B}}f=ρE+J×B{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ rho \ mathbf {E} + \ mathbf {J} \ kertaa \ mathbf {B}}J{\ displaystyle \ mathbf {J}}E{\ displaystyle \ mathbf {E}}B{\ displaystyle \ mathbf {B}}
Sähkömagnetismin relativistisessa muotoilussa Maxwellin tensori esiintyy energia-impulssianturin sähkömagneettisena komponenttina . Jälkimmäinen kuvaa tiheydet ja virtaaminen energian ja liikemäärän vastaavasti vuonna aika-avaruudessa .
Motivaatio
Kuten jäljempänä osoitamme, Lorentz-voima voidaan ilmaista vain E: stä ja B: stä , käyttäen vektorianalyysikaavoja ja Maxwellin yhtälöitä . Saatu uusi lauseke yksinkertaistuu Maxwellin jännitystensorin määritelmällä.
Maxwellin yhtälöt tyhjössä ilmaistuna SI-yksikköinä
Sukunimi
|
Eri muoto
|
---|
Maxwell-Gaussin yhtälö
|
∇⋅E=ρϵ0{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}}
|
Maxwell-Thomsonin yhtälö
|
∇⋅B=0{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}
|
Maxwell - Faraday-yhtälö ( induktiolaki )
|
∇×E=-∂B∂t{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partituali \ mathbf {B}} {\ osittainen t}}}
|
Maxwell-Ampere-yhtälö
|
∇×B=μ0J+μ0ϵ0∂E∂t {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J} + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ parts \ mathbf {E}} { \ osittainen t}} \}
|
1. Aloitetaan
Lorentzin voimalailla
F=q(E+v×B){\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ kertaa \ mathbf {B})}
tai tilavuusyksikköä kohden
f=ρE+J×B{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ rho \ mathbf {E} + \ mathbf {J} \ kertaa \ mathbf {B}}
2. Huomaa seuraavaksi, että ρ ja J voidaan eliminoida käyttämällä Maxwell-Gauss- ja Maxwell-Ampere-suhteita:
f=ϵ0(∇⋅E)E+1μ0(∇×B)×B-ϵ0∂E∂t×B{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E} \ right) \ mathbf {E} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ vasen ({\ lihavoitu symboli {\ nabla}} \ kertaa \ mathbf {B} \ oikea) \ kertaa \ mathbf {B} - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partituaalinen \ mathbf {E}} {\ osittainen t}} \ kertaa \ mathbf {B} \,}3. Käytämme
Poynting-vektorin määritelmää
, josta laskemme ajautumisen ajan suhteen:
R=E×B/μ0{\ displaystyle \ mathbf {R} = \ mathbf {E} \ kertaa \ mathbf {B} / \ mu _ {0}}∂∂t(E×B)=∂E∂t×B+E×∂B∂t=∂E∂t×B-E×(∇×E){\ displaystyle {\ frac {\ partitali} {\ osittainen t}} (\ mathbf {E} \ kertaa \ mathbf {B}) = {\ frac {\ partituali \ matemff {E}} {\ osallinen t}} \ kertaa \ mathbf {B} + \ mathbf {E} \ kertaa {\ frac {\ partituali \ mathbf {B}} {\ partituali}} = {\ frac {\ osallinen \ mathbf {E}} {\ osio t} } \ kertaa \ mathbf {B} - \ mathbf {E} \ kertaa ({\ lihavoitu symboli {\ nabla}} \ kertaa \ mathbf {E}) \,}
jonka avulla f voidaan kirjoittaa uudestaan muotoon
f=ϵ0(∇⋅E)E+1μ0(∇×B)×B-ϵ0∂∂t(E×B)-ϵ0E×(∇×E),{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E} \ right) \ mathbf {E} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ vasen ({\ lihavoitu symboli {\ nabla}} \ kertaa \ mathbf {B} \ oikea) \ kertaa \ mathbf {B} - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ parts} { \ osittainen t}} \ vasen (\ mathbf {E} \ kertaa \ mathbf {B} \ oikea) - \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ kertaa ({\ lihavoitu symboli {\ nabla}} \ kertaa \ mathbf {E}),}
keräämme ehdot E: ssä ja B : ssä saadaksemme
f=ϵ0[(∇⋅E)E-E×(∇×E)]+1μ0[-B×(∇×B)]-ϵ0∂∂t(E×B).{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left [({\ lihavoitu symboli {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E}) \ mathbf {E} - \ mathbf {E} \ kertaa ({ \ boldsymbol {\ nabla}} \ kertaa \ mathbf {E}) \ oikea] + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ vasen [- \ mathbf {B} \ kertaa \ vasen ({\ lihavoitu symboli {\ nabla}} \ kertaa \ mathbf {B} \ oikea) \ oikea] - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partituali {\ osittainen t}} \ vasen (\ mathbf {E} \ kertaa \ mathbf {B} \ oikea).}}
4. Näyttää siltä, että "missaa" E: n ja B: n välisen symmetrian aiheuttama termi (∇ • B ) B , mutta tämä termi voidaan helposti lisätä, koska se on itse asiassa nolla (Maxwell-Thomsonin laki):
f=ϵ0[(∇⋅E)E-E×(∇×E)]+1μ0[(∇⋅B)B-B×(∇×B)]-ϵ0∂∂t(E×B).{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left [({\ lihavoitu symboli {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E}) \ mathbf {E} - \ mathbf {E} \ kertaa ({ \ boldsymbol {\ nabla}} \ kertaa \ mathbf {E}) \ oikea] + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ vasen [({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {B}) \ mathbf {B} - \ mathbf {B} \ kertaa \ vasen ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ kertaa \ mathbf {B} \ oikea) \ oikea] - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partituali {\ osittainen t}} \ vasen (\ mathbf {E} \ kertaa \ mathbf {B} \ oikea).}
Poistamme rotaation käyttämällä
vektorianalyysin identiteettiä
12∇(AT⋅AT)=AT×(∇×AT)+(AT⋅∇)AT,{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ nabla}} (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A}) = \ mathbf {A} \ kertaa ({\ boldsymbol {\ nabla }} \ kertaa \ mathbf {A}) + (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {A},}
mikä johtaa lopulta:
f=ϵ0[(∇⋅E)E+(E⋅∇)E]+1μ0[(∇⋅B)B+(B⋅∇)B]-12∇(ϵ0E2+1μ0B2)-ϵ0∂∂t(E×B).{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left [({\ lihavoitu symboli {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E}) \ mathbf {E} + (\ mathbf {E} \ cdot { \ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {E} \ right] + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left [({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {B }) \ mathbf {B} + (\ mathbf {B} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {B} \ right] - {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ nabla }} \ vasen (\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2} \ right) - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partituali {\ osittainen t}} \ vasen (\ mathbf {E} \ kertaa \ mathbf {B} \ oikea).}
5. Esittelemme määritelmän mukaan Maxwellin stressitensorin
σij≡ϵ0(EiEj-125ijE2)+1μ0(BiBj-125ijB2),{\ displaystyle \ sigma _ {ij} \ equiv \ epsilon _ {0} \ left (E_ {i} E_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} E ^ {2} \ oikea) + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ vasen (B_ {i} B_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} B ^ { 2} \ oikea),}
ja
sähkömagneettisen pulssitiheyden
S=ϵ0E×B{\ displaystyle \ mathbf {S} = \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ kertaa \ mathbf {B}}
mikä johtaa seuraavaan voiman tilavuustiheyden ilmaisuun
f=∇⋅σ-∂S∂t{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ frac {\ partituali \ mathbf {S}} {\ osittainen t}}}
Tämä viimeinen suhde voidaan myös tulkita
säilymislaki ja
liikemäärän klassisen electrodynamics.
Huomaa, että löydämme
Poyntingin lauseesta samanlaisen säilyttämislain muodon, joka ilmaisee sähkömagneettisen energian säilymisen.
Toinen tensorin ilmaisu
Vuonna fysiikka The Maxwell tensor on jännitystensoria on sähkömagneettisen kentän . Kuten juuri osoitimme, tensori kirjoitetaan SI-yksikköinä :
σij=ϵ0EiEj+1μ0BiBj-12(ϵ0E2+1μ0B2)5ij{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ epsilon _ {0} E_ {i} E_ {j} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {i} B_ {j} - { \ frac {1} {2}} {\ bigl (} {\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ tfrac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2}} {\ bigr)} \ delta _ {ij}},
jossa ε 0 on permittiivisyys tyhjiössä ja μ 0 on magneettinen permeabiliteetti tyhjiön, E on sähkökenttä , B magneettikenttä ja δ ij Kronecker symboli . Vuonna Gaussin yksiköissä , löydämme vastaava ilmaisu:
σij=14π(EiEj+HiHj-12(E2+H2)5ij){\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ vasen (E_ {i} E_ {j} + H_ {i} H_ {j} - {\ frac {1} { 2}} (E ^ {2} + H ^ {2}) \ delta _ {ij} \ oikea)},
missä H on magneettinen viritys .
Toinen lauseke voidaan saada käyttämällä dyadisia tensorimerkintöjä :
σ↔=14π[E⊗E+H⊗H-E2+H22Minä]{\ displaystyle {\ overset {\ leftrightarrow} {\ mathbf {\ sigma}}} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ vasen [\ mathbf {E} \ otimes \ mathbf {E} + \ mathbf {H} \ otimes \ mathbf {H} - {\ frac {E ^ {2} + H ^ {2}} {2}} \ mathbb {I} \ right]}missä ⊗ on diasidituote ja diadinen tensoriyksikkö:
Minä{\ displaystyle \ mathbb {I}}
Minä≡(100010001)=(x^⊗x^+y^⊗y^+z^⊗z^){\ displaystyle \ mathbb {I} \ equiv \ left ({\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right) = (\ mathbf {\ hat {x}} \ otimes \ mathbf {\ hat {x}} + \ mathbf {\ hat {y}} \ otimes \ mathbf {\ hat {y}} + \ mathbf {\ hat { z}} \ otimes \ mathbf {\ hat {z}})}}Maxwell-tensorin elementti ij on homogeeninen pinta-alayksikköä kohti olevan liikkeen määrän kanssa kerrottuna ajalla. edustaa komponenttia sykkeen virtauksen suunnassa i , joka ylittää pinnan, joka on normaali suuntaan j (negatiivisessa suunnassa) aikayksikköä kohti.
σij{\ displaystyle \ sigma _ {ij}}σij{\ displaystyle \ sigma _ {ij}}
Voimme myös sanoa, että se on homogeeninen pinta-alayksikköä kohden tapahtuvan voiman (alipaine) kanssa ja tulkitaan i: ntenä voimakomponenttina, joka kohdistuu yksikköpintaan normaaliin suuntaan j nähden . Tensorin kukin diagonaalielementti antaa voimajännitteen, joka kohdistetaan kohtisuoraan pintaelementtiin tarkasteltavassa suunnassa. Toisin kuin ihanteellisessa kaasussa vaikuttava puristusvoima , pintaelementti kokee voiman, joka ei välttämättä ole normaalia tälle pinnalle. Vastaavan leikkausvoiman antavat elementit tensorin diagonaalin ulkopuolella.
σij{\ displaystyle \ sigma _ {ij}}
Erikoistapaus: yksin magneettikenttä
Jos sähkömagneettista kenttää hallitsee magneettikomponentti (joka on laajalti todennettu esimerkiksi sähkökoneiden tapauksessa ), voimme yksinkertaistaa SI-yksiköissä olevan tensorin ilmaisua :
σij=1μ0BiBj-12μ0B25ij.{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {i} B_ {j} - {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B ^ {2} \ delta _ {ij} \,.}Järjestelmälle, jolla on sylinterimäinen symmetria, kuten sähkömoottorin roottori, voimme vähentää lauseketta edelleen:
σrt=1μ0BrBt-12μ0B25rt.{\ displaystyle \ sigma _ {rt} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {r} B_ {t} - {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B ^ {2} \ delta _ {rt} \,.}missä r on säteen suunta ja t on ortoradiaalinen suunta. Vain tangentiaalinen osa kääntää moottoria. B r on magneettivuon tiheys säteen suunnassa ja B t ortoradiaalisessa suunnassa (magneettivuon tiheys on toinen magneettikentän nimi, kun se on erotettava magneettisesta herätteestä).
Omat arvot
Maxwell-tensorin ominaisarvot saadaan:
{λ}={-ϵ0E2+B2/μ02, ±(ϵ0E2-B2/μ02)2+(ϵ0μ0E⋅B)2}{\ displaystyle \ {\ lambda \} = \ vasen \ {- {\ frac {\ epsilon _ {0} E ^ {2} + B ^ {2} / \ mu _ {0}} {2}}, ~ \ pm {\ sqrt {\ vasen ({\ frac {\ epsilon _ {0} E ^ {2} -B ^ {2} / \ mu _ {0}} {2}} \ oikea) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ epsilon _ {0}} {\ mu _ {0}}} {\ boldsymbol {E}} \ cdot {\ boldsymbol {B}} \ right) ^ {2}}} \ right \}}Katso myös
Bibliografia
- [Jackson] John David Jackson ( kääntänyt englanniksi Christian Jeanmougin), Klassinen elektrodynamiikka , Pariisi, Dunod , coll. "Sup Sciences",2001, 880 Sivumäärä , 17,5 x 25 cm ( ISBN 2-10-004411-7 )
Aiheeseen liittyvät artikkelit