Minkowskin lause

Vuonna matematiikan , Minkowski lause koskee verkkoja on euklidinen avaruus ℝ d . Annetaan tällaisen verkoston Λ, se takaa, että on olemassa missä tahansa symmetrinen kupera on riittävä määrä , on ei-nolla vektori on Λ. Hermann Minkowski löysi tämän lauseen vuonna 1891 ja julkaisi sen vuonna 1896 seminaarikirjassaan The Geometry of Numbers . Tätä tulosta käytetään erityisesti algebrallisessa lukuteoriassa .

Lausunnot

Ensimmäinen formulaatio  -  joko of tiukasti positiivinen kokonaisluku ja C kupera ja ℝ d , symmetrinen origon suhteen O .

Tämä verkkoa result d koskeva tulos on (yksinkertainen muuttujien muutos ) samanlainen kuin minkä tahansa verkon vastine Λ:

Uudelleen muotoilu hilan suhteen  -  Olkoon d ehdottomasti positiivinen kokonaisluku, Λ ristikko ℝ d : n kokoa V ja C kupera O- symmetrinen.

Kahden lausunnon vastaavuus

Est d: n ristikko on osa muotoa, jossa ℝ d: n perusta on . Siksi verkko koostuu pisteistä, joiden koordinaatit tukiasemassa B ovat kokonaiset. Saamme säännöllisen silmäkokoisen tilan, kuten oikealla oleva kuva. Verkon pisteitä edustavat pienet pallot.

Olennainen domeeni on Λ, riippuen emäksen B , koostuu olevia ℝ d jonka koordinaatit pohja B ovat välillä [0, 1 [. Se on esitetty oikealla olevassa kuvassa punaisella. Perusalue on aina yhdensuuntainen.

Of: n koko on perustoimialueen tilavuus. Siksi se on yhtä suuri kuin B : n determinantin absoluuttinen arvo kanonisessa perustassa (tämä määritelmä ei riipu B : n valinnasta , koska verkon perustan muutos on välttämättä determinantti ± 1 ).

Kanoniseen perustaan ​​liittyvän verkon ℤ d perustoimialue on [0, 1 [ d, joten ℤ d: n kokonaismäärä on 1. Ensimmäinen lause on siis toisen erityistapaus. Mutta päinvastoin, muuttujia muuttamalla toinen johtuu ensimmäisestä, johon siksi keskitymme nyt.

Huomautukset

Esittely

Lauseesta on useita todisteita. Tässä esitetty erottaa hypoteesin C : n tilavuudesta - mikä sallii Blichfeldtin lauseen soveltamisen - sen kahdesta muusta ominaisuudesta (kuperuus ja symmetria), joita käytetään seuraavassa lemmassa.

Lemma . - Olkoon C 1/2 =1/2C kuva on C , jonka homothety suhteena 1/2. Jos C 1/2 kohtaa käänteen β + C 1/2 , niin C sisältää β.

Oletetaan, että x = β - y, jossa x ja –y ovat C 1/2: n kahta pistettä (tämä on esitetty oikealla olevassa kuvassa). Sitten 2 x ja –2 y kuuluvat C: hen (koska C on O- symmetrinen) myös 2 x ja 2 y ja ( C : n kuperuuden perusteella ) myös niiden keskipiste x + y = β (ja –β myös), mikä täydentää todiste lemmasta.

Blichfeldtin lauseen mukaan, koska C 1/2 on tilavuudeltaan tiukasti suurempi kuin 1, tai kompakti ja tilavuus 1, se sisältää kaksi erillistä pistettä, joiden erolla β on kokonaislukukoordinaatit. Toisin sanoen: on olemassa nollasta poikkeava vektori of d siten, että C 1/2 kohtaa muunnetun β + C 1/2: n . Lemman mukaan C sisältää sitten β: n, joka täydentää lauseen todistamista.

Geometrinen tulkinta

On olemassa tapa tulkita tämä todiste topologisen ryhmän kannalta . Avaruus ℝ d voidaan nähdä topologisena ryhmänä, jonka ℤ d on huomaamaton alaryhmä . Quotienter ℝ d mukaan ℤ d määrä on tunnistaa kunkin elementin ℝ d elementin kanssa [0, 1 [ d . Dimensiossa 2 tämä tarkoittaa [0, 1] 2: n (verkon silmä) pisteiden liimaamista , joiden ensimmäinen koordinaatti on yhtä suuri kuin 1, niiden kanssa, joiden ensimmäinen koordinaatti on yhtä suuri kuin 0, ja toimivat samalla tavalla toisen koordinaatti. Saamme torus ulottuvuuden d , havainnollistettu d = 2 kuvassa vasemmalla. Jokaisella ℝ d: n pisteellä on naapuruus , jolloin toruksen on d : n kanoninen kartta on rajoitettu diffeomorfismiin tämän naapuruston ja sen kuvan välillä. Nämä diffeomorfismit mahdollistavat mittauksen määrittelemisen toruksella siten, että mikä tahansa mitattavissa oleva osa perusdomeenista on mitattavissa toruksella ja samalla mitalla. Toruksen mittaus on siis 1.

Tämä toimenpide on suoran esittelyn työkalu. Oletetaan, että oikealla olevassa esimerkissä vihreällä esitetyn kuperan C: n mitta on ehdottomasti suurempi kuin 2 d . Sen keltaisella havainnollistettu homoteettinen C 1/2 on mittaan ehdottomasti suurempi kuin 1. Toruksen on d : n kanonisen kartan rajoitus C 1/2 : een ei voi olla injektoiva, koska kuvan mittaus olisi suurempi kuin koko toruksesta. Siksi on kaksi elementtiä C 1/2 , X ja Y ( lemman x- ja y-pisteet ), joilla on sama kuva tällä kartalla.

Edellä selitetyn liimauksen aikana C 1/2 -palat asetetaan päällekkäin, näin päällekkäin olevilla pisteillä on sama kuva. Palataksemme alkuperäiseen lukuun päinvastoin, injektiovyöhyke vastaa sitä, mikä näkyy edelleen keltaisena oikealla olevassa kuvassa. Piste X - Y = x + y on C on kokonaisluku koordinaatit eivät kaikki nolla, koska X ja Y ovat kaksi eri edustaa samaa luokkaa.

Sovellukset

Tämä lause on käytetty osoittamaan kaksi merkittäviä tuloksia algebrallinen lukuteorian  : Dirichlet'n yksiköt lause ja lopullisuus ja luokkien ryhmää ihanteiden useita rungon (esim asteen kenttä ). Toisessa, ristikon huomioon, on lisäaine ryhmä on renkaan ja algebrallinen kokonaisluku kentän.

Toinen sovellus on osoitus on Lagrangen neljä neliöt lauseen .

Osittainen vastavuoroinen

Voimme näyttää lisähypoteeseilla Minkowskin lauseen osittaisen vastavuoroisuuden:

Osakäänteis  -  Olkoon d olla tiukasti positiivinen kokonaisluku ja P tähdellä merkittyjä osa on ℝ d , symmetrinen suhteessa alkuperää O , ja tilavuus V <2 ζ (d) . Sitten on olemassa verkko, jonka koko on 1, josta mikään muu kuin alkuperä ei kuulu P: lle.

Yleistykset

Olkoon jälleen kohdassa ℝ d ristikko Λ, jonka koko on V ja kupera C, joka on yhtä suuri kuin suljettu yksikköpallo tietylle normille ( katso yllä ). Huom λ 1 ≤ ... ≤ λ of peräkkäisten minimit on Λ suhteen C . Erityisesti, λ 1 on pienin normi on nollasta poikkeava vektori Λ, joten Minkowskin lause vastaavasta ( homogeenisuus ) on: λ 1 ja lennon ( C ) ≤ 2 d V .

Huomautuksia ja viitteitä

  1. (De) H. Minkowski, "Über Geometrie der Zahlen" , julkaisussa Verhandlungen der 64. Naturforscher- und Arzteversammlung zu Halle ,1891, s.  13 ; toistettu julkaisussa (de) David Hilbert (toim.), Gesammelte Abhandlungen von Hermann Minkowski , voi.  1,1911( lue verkossa ) , s.  264-265.
  2. (De) Hermann Minkowski , Geometrie der Zahlen , Teubner, Leipzig, 1896, § 30.
  3. (in) John WS Cassels , Johdatus geometria numerot , Berliini, Göttingen, Heidelberg, Springer , ai.  "  Grund. matematiikka. Wiss.  "( N- o-  99),1971( 1 st  ed. 1959), 344  s. ( lue verkossa ) , s.  109.
  4. (fi) Jeffrey C. Lagarias , chap.  19 ”Point Lattices ” , julkaisussa RL Graham , M. Grötschel ja L. Lovász , Handbook of Combinatorics , voi.  Minä, Elsevier,1995( lue verkossa ) , s.  919-966.
  5. Cassels 1971 , luku. IV (”Etätoiminnot”), § IV.1-IV.3.1, s.  103-111 .
  6. (De) Ott-Heinrich Keller  (de) , "Geometrie der Zahlen" , julkaisussa Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen , voi.  I.2, Heft 11, Teil 3, 27, Leipzig, Teubner,1954, 84  Sivumäärä ( lue verkossa ).
  7. (in) Jesús A. Loera, Raymond Hemmecke ja Matthias Köppe, Algebrallinen ja geometriset ideoita teorian Diskreetti optimointi , SIAM ,2013( lue verkossa ) , s.  41-42.
  8. Lisätietoja Minkowskin alkuperäisestä todisteesta, katso (in) Pascale Gruber ja Cornelis Gerrit Lekkerkerker, Geometry of Numbers , Pohjois-Hollanti,1987, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. , 1969, 510 s.)), 731  s. ( lue verkossa ) , s.  40-41.
  9. Cassels 1971 , s.  71.
  10. Katso esimerkkejä asteikon kentän kokonaislukurenkaan ihanteita käsittelevän artikkelin kohdasta ”Luokkaryhmä” .
  11. GH Hardy ja EM Wright (  englanniksi kääntänyt François Sauvageot, pref.  Catherine Goldstein ), Johdatus numeroteoriaan [“  Johdanto numeroiden teoriaan  ”] [ yksityiskohdat painoksesta ], luku 24 (”Numeroiden geometria”), kohta 24.10.
  12. Lagarias 1995 , s.  929.
  13. (De) J. van der Corput, "  Verallgemeinerung einer Mordellschen Beweismethode in der Geometrie der Zahlen  " , Acta Arithmetica , voi.  1, n o  1,1935, s.  62-66 ( lue verkossa )( Lagarias 1995 , s.  930 ja 965) tai (de) J. van der Corput, "  Verallgemeinerung einer Mordellschen Beweismethode in der Geometrie der Zahlen, Zweite Mitteilung  " , Acta Arithmetica , voi.  2, n o  1,1936, s.  145-146 ( lue verkossa )( Cassels 1971 , s.  71 ja 336).

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Ulkoiset linkit

Bibliografia

Pierre Samuel , algebrallinen lukuteoria [ yksityiskohdat painoksesta ]