Cauchyn olennainen lause

On monimutkainen analyysi , kiinteä lause Cauchyn , tai Cauchy - Goursat , on tärkeä tulos koskee kaareva integraalit ja holomorfinen funktio on kompleksitasossa . Tämän lauseen mukaan, jos kaksi eri polkua yhdistää samat kaksi pistettä ja jos funktio on holomorfinen näiden kahden polun välillä, niin tämän funktion kaksi integraalia näillä poluilla ovat samat.

Osavaltiot

Lause on yleensä muotoiltu kytkimille (ts . Poluille , joiden alkupiste on sama kuin loppupiste) seuraavalla tavalla.

Ovat:

U avoin yksinkertaisesti liitetty ja ℂ;
$f$ : U → ℂ jatkuva funktio on U ja jossa on monimutkainen johdannainen paitsi mahdollisesti rajallinen määrä kohtia;
$γ$ käännöstilanteessa korjattavissa on U .

Joten:

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 0}

Yksinkertainen liitettävyys

Ehto, että U on yksinkertaisesti kytketty, tarkoittaa, että U: lla ei ole "reikää"; esimerkiksi mikä tahansa avoin levy täyttää tämän ehdon. $U = \ {z, \ mid z-z_ {0} \ mid <r \} \,$

Ehto on ratkaiseva; esimerkiksi, jos $γ$ on yksikköympyrän sitten kiinteä tämän pitsi funktion $f ( z ) = 1 / z$ ei ole nolla; Cauchyn integraalilause ei päde tähän, koska $f: ää$ ei voida pidentää nollan jatkuvuuden avulla.

Esittely

Mukaan väitteistä tasainen jatkuvuus ja $f$ on kompakti ε-lähiöissä kuvan $γ$ on U , integraali $f$ on $γ$ on raja integraalien $f$ on monikulmainen silmukoita. Lopuksi riittää, että vedotaan Goursatin lemmaan .

Voimme myös siinä tapauksessa, että $f$ on holomorphic missään vaiheessa $U$ harkita perheen silmukoita kanssa . $\ gamma _ {{\ alpha}} (t) = z_ {0} + (1- \ alfa) (\ gamma (t) -z_ {0})$ $\ alfa \ sisällä [0,1]$

Seuraukset

Alle oletukset lause, $f$ on vuonna U primitiivinen monimutkainen $F$ . Todellakin, vaikka se merkitsisikin U : n korvaamista yhdellä sen kytketyistä komponenteista , voimme olettaa, että U on kytketty. Kiinnittämällä sitten mielivaltainen piste $z 0$ on U ja asetus ${\ displaystyle F (z) = \ int _ {P (z)} f (\ xi) ~ \ mathrm {d} \ xi}$ ,missä $P ( z )$ on mikä tahansa oikaistava polku U : ssa $z 0:$ sta $z: ään$ (lauseen mukaan $F ( z ):$ n arvo ei riipu $P ( z )$ : n valinnasta ) ja sovittamalla muuttujaan todiste ensimmäinen analyysin peruslause on monimutkainen , päätellään sitten, että F on holomorfinen U: lla ja että $F '= f$ .
Tällaisen Integraalifunktio me heti on: minkä tahansa jatkuvasti paloittain differentioituvat polku $γ$ kohteesta ja $b$ on U : ${\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z = F (b) -F (a)}$ .
Muutamat $f: lle$ vaaditut oletukset ovat erittäin mielenkiintoisia, koska voimme sitten todistaa Cauchyn integraalin kaavan näille funktioille ja päätellä, että ne ovat itse asiassa rajattomasti erotettavissa.
Cauchyn integraali lause on huomattavasti yleistetty jäännöslauseella .
Cauchyn integraali lause on pätevä hieman vahvemmassa muodossa kuin yllä on annettu. Oletetaan, että U on yksinkertaisesti kytketty avoin joukko ℂ, jonka reuna on yksinkertainen korjattava silmukka $γ$ . Jos $f$ on holomorphic funktio U ja se on jatkuva adheesio ja U , sitten integraali $f$ on $γ$ on nolla.

Esimerkki

Mitään monimutkaisia $α$ , toiminto , jossa olemme valinneet tärkein määritys ja tehon funktio , on holomorphic kompleksitasossa vaille puoli-line . Sen integraali minkä tahansa tämän alueen kallistuksessa on siten nolla. Tämän avulla voidaan osoittaa, että puolikonvergentit integraalit ${\ displaystyle f (z): = {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {\ mathrm {i} z}} {z ^ {\ alpha}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {-}}$

{\ displaystyle J_ {c} (\ alpha): = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos t} {t ^ {\ alpha}}} \, \ mathrm {d} t \ quad {\ text {et}} \ quad J_ {s} (\ alpha): = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin t} {t ^ {\ alpha}}} \, \ mathrm {d} t \ quad {\ text {pour}} \ quad \ mathrm {Re} (\ alpha) \ sisään \ vasen] 0.1 \ oikea [}

(missä $Re$ tarkoittaa todellista osaa ) ovat vastaavasti yhtä suuria kuin

{\ displaystyle J_ {c} (\ alpha) = \ cos \ left ((1- \ alpha) {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ Gamma (1- \ alfa) \ quad {\ text {et}} \ quad J_ {s} (\ alpha) = \ sin \ left ((1- \ alpha) {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ Gamma (1- \ alfa)}

missä $Γ$ tarkoittaa gammafunktiota ja $cos, sin$ ovat vastaavasti kompleksimuuttujan kosini- ja sinifunktiot .

Laskutiedot

Merkitään $α = + i b$ kanssa $\in] 0, 1 [$ ja . Integroidaan $f$ (integraali on nolla) reaalisen segmentin $[ε,$ $R$ $]$ ja puhtaan kuvitteellisen segmentin $i [$ $R$ $, ε]$ muodostamaan silmukkaan , johon on liitetty neljännesympyrät $R$ $e$ $[0, i π / 2]$ ja $εe$ $[$ $iπ$ $/ 2, 0]$ , saatamme $R: n$ suuntaamaan $+ \infty$ ja $ε$ kohti $0$ $+$ . ${\ displaystyle b \ sisään \ mathbb {R}}$

Kahden neljänneksen ympyrän integraalit pyrkivät kohti $0,$ koska

{\ displaystyle \ left | \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {\ mathrm {i} R \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta}}} {R ^ {\ alpha} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ alpha \ theta}}}} mathrm {i} R \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta} \, \ mathrm {d} \ theta \ right | \ leq R ^ {1-a} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ mathrm {e}} ^ {- R \ sin \ theta} \, \ mathrm {d} \ theta \ leq R ^ {1-a} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ mathrm {e}} ^ {- 2R \ theta / \ pi} \, \ mathrm {d} \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} R ^ {- a} (1- \ mathrm {e} ^ {- R})}

{\ displaystyle \ lim _ {R \ to + \ infty} R ^ {- a} (1- \ mathrm {e} ^ {- R}) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ varepsilon ^ {- a} (1- \ mathrm {e} ^ {- \ varepsilon}) = 0.}

Kuvitteellisen segmentin integraali on yhtä suuri kuin

{\ displaystyle \ int _ {R} ^ {\ varepsilon} {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {- y}} {y ^ {\ alpha} \ mathrm {e} ^ {\ alpha \ mathrm { i} \ pi / 2}}} \ mathrm {i} \, \ mathrm {d} y = - \ mathrm {e} ^ {(1- \ alfa) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ int _ {\ varepsilon} ^ {R} y ^ {- \ alpha} \ mathrm {e} ^ {- y} \, \ mathrm {d} y \ to - \ mathrm {e} ^ {(1- \ alfa) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alfa)}

Todellisen segmentin integraali pyrkii , mikä on siis yhtä suuri kuin . ${\ displaystyle J_ {c} (\ alpha) + \ mathrm {i} J_ {s} (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {(1- \ alfa) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alfa)}$

Samalla tavalla (korvaamalla $b$ luvulla $- b$ ), siis (ottamalla kahden jäsenen konjugaatit ) . ${\ displaystyle J_ {c} ({\ overline {\ alpha}}) + \ mathrm {i} J_ {s} ({\ overline {\ alpha}}) = \ mathrm {e} ^ {(1 - {\ overline {\ alpha}}) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1 - {\ overline {\ alpha}})}$ ${\ displaystyle J_ {c} (\ alpha) - \ mathrm {i} J_ {s} (\ alpha) = \ mathrm {e} ^ {- (1- \ alfa) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alfa)}$

Joten meillä on

{\ displaystyle 2J_ {c} (\ alpha) = \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alfa) + \ mathrm {e} ^ {- (1- \ alfa) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alfa) = 2 \ cos ((1- \ alfa) \ pi / 2) \ Gamma (1- \ alfa) }

{\ displaystyle 2 \ mathrm {i} J_ {s} (\ alpha) = \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} Gamma (1- \ alfa) - \ mathrm {e} ^ {- (1- \ alfa) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha) = 2 \ mathrm {i} \ sin ((1- \ alfa) \ pi / 2) \ Gamma (1- \ alfa)}

Esimerkiksi ( Fresnelin integraali ). Voimme myös huomata sen ( Dirichlet-integraali ). ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} J_ {c} (1/2) = {\ frac {1} {2}} J_ {s} (1/2) = {\ frac {1} { 2}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ mathrm {Re} (\ alpha) <1, \ alpha \ - 1} J_ {s} (\ alpha) = {\ frac {\ pi} {2}} = \ int _ { 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t}$

Riemannin pinnat

Cauchyn kiinteä lause on yleistetty Riemannin pintojen geometrian puitteissa .

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista " Cauchyn integraalinen lause " ( katso luettelo tekijöistä ) .

(in) Liang-Shin Hahnin ja Bernard Epstein , Klassinen Kompleksianalyysi , Jones & Bartlett,1996, 411 Sivumäärä ( ISBN 978-0-86720-494-0 , luettu verkossa ) , s. 111.
(in) I-Hsiung Lin Klassinen monimutkainen analyysi: Geometrinen lähestymistapa , voi. 1, maailman tieteellinen,2011( lue verkossa ) , s. 396 ja 420.

Katso myös

Bibliografia

Walter Rudin , Todellinen ja monimutkainen analyysi [ yksityiskohdat painoksista ]
Henri Cartan , Elementary teoria analyyseja yhden tai monimutkaisempia muuttujia [ yksityiskohtaa painos ]
(en) Kunihiko Kodaira ( käännös japanista), Complex Analysis , Cambridge, CUP , coll. ”Cambridge Stud. Adv. Matematiikka. "( N- o 107),2007, 406 Sivumäärä ( ISBN 978-0-521-80937-5 )

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Moreran lause