Morse-Kelley -joukkoteoria

Teoria Morse-Kelley sarjaa (joskus lyhennettä MK) on itsestään selvää teoriaa ilmaistu ensimmäisen kertaluvun , jonka toimialana on luokkaa , eli, asettaa merkitys lähellä olevana set theory of Zermelo-Fraenkel- ( ZFC ), mutta myös ” kokoelmat ”sarjoista, joilla on sama ominaisuus, jota ei voida pitää paradoksaalisten kipujen joukkoina, kuten kaikkien sarjaa. Tässä se on samanlainen kuin von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) -joukkojen teoria ja eroaa Zermelo-Fraenkelin teoriasta, jonka avulla voidaan puhua luokasta, joka ei ole joukko vain metateorian kautta, sen määrittävä ominaisuus. Von Neumann-Bernays-Gödel -teoria sallii kuitenkin luokkien määrittelemisen joukossa universumissa ominaisuuksilla, jotka itse määritellään joukkoina; tämä ymmärtämisen aksiomamallin rajoitus (luokille) tekee NBG: stä hienosti aksiomatisoitavan teorian , joka osoittaa samat puhtaasti asetetut lausunnot kuin Zermelo-Fraenkel-teoria. Morse-Kelley-teoria poistaa tämän rajoituksen: mikä tahansa teorian kielellä ilmaistu ominaisuus määrittelee luokan joukossa universumia, se on sitten tavallisen joukko-teorian ZFC oikea laajennus .

Teoria on saanut nimensä matemaatikot Anthony Morse (fi) ja John L. Kelley , jälkimmäinen sillä se oli ensimmäinen julkaista version liitteeksi teoksessaan yleinen topologia , nimellä ja Skolem-Morse teoria . Mahdollisuutta poistaa rajoitus skeema ymmärryksen von Neumann luokan teoria oli myös otettu huomioon, paitsi Skolem , jonka Quine ja muut. Fraenkel , Bar-Hillel ja Levy vuonna 1958 julkaistussa kirjassa, jossa käsitellään erilaisia teoriajoukon lähestymistapoja, kutsutaan sitä Quine- ja Morse-järjestelmiksi ja pidetään sitä myös Hao Wangin kanssa .

Aksioomat

Näillä kahdella teorialla, jotka vastaavat MK ja NBG, on sama ontologia: keskustelun universumi koostuu luokista; jos luokka on ainakin yhden luokan osa, sitä kutsutaan "joukoksi", muuten se on "oikea luokka", joka ei siis ole minkään luokan osa. Alkeellisilla lausunnoilla on tasa-arvo [X = Y] tai jäsenyys [x∈Y].

Lukuun ottamatta luokkien ymmärtämisjärjestelmää, MK: n aksioomat ovat samat kuin NBG: n, molemmissa tapauksissa muunnelmamuotoisesti tai aksiomien yksityiskohdissa. Kirjoitus noudattaa tiettyjä käytäntöjä:

Muut isot kirjaimet kuin "M" tarkoittavat minkä tahansa luokan muuttujia;

Pienet kirjaimet tarkoittavat joukon muuttujia;

Vastaavat lausekkeet "x on joukko", "Y on olemassa niin, että x∈Y" lyhennetään muotoon "M (x)" tai "Mx";

Ymmärtämisen ja laajuuden aksioomat varmistavat tyhjän luokan olemassaolon ja ainutlaatuisen tyhjän joukon Ø, jonka määrittelee:

{\ displaystyle \ forall x (x \ not \ in \ lakkauksessa)}

ja ainutlaatuisen universaaliluokan V (Von Neumannin maailmankaikkeus perustavan aksiooman läsnä ollessa ), jonka määrittelee:

{\ displaystyle \ forall x (M (x) \ vasen nuoli x \ sisään V)}

Extensionality selviö väittää, että kaksi luokkaa, joilla on samat elementit ovat yhtä:

{\ displaystyle \ kaikkiaan X \, \ kaikkiaan Y \, (\ kaikkiaan z \, (z \ X: ssä \ vasen oikeanpuoleinen z \ Y: ssä \ \ oikeaa reunaa X = Y)}

Säätiö selviö mukaan jokainen nonempty luokka on erilliset ainakin yksi sen elementeistä:

{\ displaystyle \ forall A [\ olemassa x \ x \ in A \ rightarrow \ olemassa b (b \ in A \ land \ forall c (c \ in b \ rightarrow c \ not \ in A))}}

Pari selviö väittää, että on olemassa joukko on täsmälleen kahden annetun asetetaan sen osia:

{\ displaystyle \ forall x \, \ forall y \, [(M (x) \ land M (y)) \ rightarrow \ olemassa z \, (M (z) \ land \ kaikki s \, [s \ in z \ vasenkätinen (s = x \, \ lor \, s = y)])]}

Parin aksioma mahdollistaa Wiener-Kuratowski- parien määrittelemisen tavalliseen tapaan: ( x , y ) = {{ x }, { x , y }}

Selviö yhdistämistä väittää, että luokan elementtien elementit on joukko; tässä meidän ei tarvitse postuloida tämän luokan olemassaoloa, vain että se on joukko; itse asiassa sen olemassaolo vahvistetaan luokkien ymmärtämiskaavan perusteella; tämä johtaa aksiooman muotoiluun eri tavalla kuin Zermelo , muuttujan kvantifiointi universaalisti - eksistentiaalisen sijasta -: $s$

{\ displaystyle \ sisältää kaikki \, \ kaikki s \, [(M (a) \ maa \ kaikki x \, [x \ s s \ vasenkätinen nuoli \ olemassa y \, (x \ y \ maa \ y a a) ]) \ oikealle M (t)]}

Aksiooma joukko osien todetaan, että luokka osajoukkojen joukko a on asetettu; Edellä esitetty huomautus yhdistymisluokasta pätee tässä samalla tavalla, on ipso facto luokka a: n osajoukoista, joten muuttuja p kvantisoidaan yleisesti:

{\ displaystyle \ sisältää kaiken \, \ kaikki p \, [(M (a) \ maa \ kaikki x \, [x \ p = vasen suorakulmainen \ forall y \, (y \ x x \ oikeanpuoleinen y \ a) ]) \ oikeanpuoleinen nuoli M (p)]}

Selviö ääretön vahvistaa, että on olemassa joukko y, jossa elementin Ø ja siten, että kaikille z, jos z on osa y on sama z U {z}:

{\ displaystyle \ olemassa y [M (y) \ maa \ lakkaus \ y: ssä \ maa \ kaikki z (z \ in y \ oikeanpuoleinen nuoli olemassa x [x \ y: ssä \ maa \ kaikki w (w \ sisään x \ vasenkätinen nuoli [w = z \ lor w \ in z])])]}

(∅ ∈ y voidaan ilmaista olettaen tyhjän joukon olemassaoloa).

Korvaaminen selviö ilmaisee sama ajatus kuin vastaava järjestelmä ZF: jokaisen toiminnallisen suhteen ja joka asettaa x, on olemassa joukko kuvia osia x tässä suhteessa; mutta tässä, kuten NBG: ssä, se on yksinkertainen aksioma kaavion sijaan (käytämme edellä määriteltyjä pareja):

{\ displaystyle \ forall F [[\ forall x, y, z \ in VF (x, y) \ land F (x, z) \ rightarrow \; y = z] \ rightarrow \; [\ forall x \ in V \ on olemassa y \ V: ssä \ kaikki z \ V: ssä [z \ in y \ vasenkätinen nuoli \; \ on olemassa t (t \ x x \ maa (t, z) \ in F]]]}}

Selviö valinta voidaan toteutetut rajoittaa sarjaa, kuten että ZFC: jokainen sarja on olemassa funktio f (sarja parit, jotka täyttävät tavanomaiset ehto) määritellään , joka täyttää minkä tahansa x -tyhjä osa , f ( x ) ∈ x (muunnos, joka antaa vahvemman teorian, ja laajentaa tämä aksioma luokkiin tai universaaliluokkaan, joka on sama, katso seuraava osa).

Olemme nyt tulleet Morse-Kelley-teorian pääperiaatteeseen: luokkien ymmärtämisen kaava .

Olkoon φ ( x ) mikä tahansa kaava MK: n kielellä, jossa muuttuja x on vapaa. Φ ( x ): n parametrit voivat olla sekä omaluokkia että sarjoja; ja in ( x ): een sidotut muuttujat voivat olla minkä tahansa luokan muuttujia eivätkä pelkästään joukkoja; vain tällä ominaisuudella MK eroaa NBG: stä.

Sitten on luokka Y:

{\ displaystyle \ quad Y = \ {x \ mid \ varphi (x) \}}

joiden elementit ovat täsmälleen ne, joiden φ ( x ) sattuu olemaan totta. Jos Y ei ole vapaa muuttuja φ ( x ):

{\ displaystyle \ forall W_ {1} \ ldots W_ {n} \ olemassa Y \ kaikki x [x \ Y: ssä \ vasenkätinen nuoli (\ varphi (x, W_ {1}, \ ldots W_ {n}) \ maa Mx) ]}

Keskustelu

Morse-Kelley-teoria on ehdottomasti vahvempi kuin ZFC ja sen konservatiivinen jatke NBG . Itse asiassa sen johdonmukaisuus johtaa näihin kahteen teoriaan. Mutta jos lisätään ZFC: hen voimakkaasti pääsemättömän kardinaalin olemassaolon aksiomi , näin saadun teorian johdonmukaisuus sisältää MK: n.

Luokkien ymmärtämisjärjestelmää ei voida supistaa lopulliseksi luetteloksi ensimmäisen kertaluvun aksiomeista, toisin kuin NBG, joka on rajoitettu versio, ja Morse-Kelleyn teoria ei ole lopullisesti aksiomatisoitava (toisin kuin NBG).

NBG: n osalta luokkien avulla voidaan ilmaista valinnan periaate tai globaalin valinnan aksioma , toisin sanoen valinta koko maailmankaikkeudesta, toiminnallisen luokan olemassaolo, joka kutakin ei-tyhjää joukkoa varten yhdistää osan tämä sarja. Tämä aksioma, joka ei ole seuraus tavallisen sarjajoukon valinnan aksiomasta, on Kelleyn hyväksymä aksiomaatio.

Kuten NBG: ssä, luokat sallivat myös ilmaista von Neumannin aiheuttaman koon rajoituksen ( (en) koon rajoituksen ) aksiooman, jolla on samat seuraukset kuin NBG: ssä (korvaaminen, erottaminen, globaalin valinnan ja kokouksen aksioma).

Morse-Kelley-luokan teoria on rakennettu pääosin samoille periaatteille kuin ZFC, NBG ja niiden variantit. Näitä kolmea teoriaa voidaan tutkia samoilla menetelmillä, mutta hieman yksinkertaisemmin ZFC: n teorioille. Koska Morse-Kelleyn teoria sallii puhua suoraan luokasta (kun taas ZFC: ssä luokan käsite on meta-teoriassa käytettävissä vain epäsuorasti), ilman syntaktista rajoitusta NBG-teorian ymmärtämiskaavioon, joka ei välttämättä ole kovin luonnollista, jotkut oppikirjat haluavat kehittää siitä joukko-teorian perusteita.

Mallit

Historiallinen

Teoria kehitettiin ensimmäisen kerran vuonna 1955 John L.Kelley liitteenä teokseen Yleinen topologia . Anthony Morsen vuonna 1965 julkaisussa A setsoryhmä kehittämä järjestelmä on vastaava ja sitä selitetään hyvin erityisellä virallisella kielellä, joka poikkeaa ensimmäisen asteen logiikan vakiomerkinnöistä.

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista ” Morse - Kelley set theory ” ( katso kirjoittajaluettelo ) .

(in) Elliott Mendelson (en) ( käännös antiikin kreikasta), Johdatus matemaattiseen logiikkaan , Monterey, Chapman & Hall ,1997, 3 ja toim. , 341 Sivumäärä ( ISBN 978-0-534-06624-6 , LCCN 86011084 ), s. 287
(in) Kenneth Kunen , Set Theory: An Introduction to Independence Todisteet , Pohjois-Hollanti, 1980 ( ISBN 978-0-72042200-9 ) , s. 36
kuten Monk 1980 tai Rubin 1967 , joka kehittää variantin uelementeillä , esineisiin, jotka kuuluvat luokkiin, mutta eivät sarjaa.

Bibliografia

Abraham Fraenkel , Yehoshua Bar-Hillel ja Azriel Levy , 1973 (1958). Joukkoteorian perusteet . Pohjois-Hollanti.
John L.Kelley , yleinen topologia. Liite, Elementary Set Theory , 1955, Van Nostrand, ruoko. 1975, Springer.
John Lemmon (en) , Johdatus aksiomaattisen sarjan teoriaan , 1986, Routledge & Kegan Paul.
David Lewis , luokkien osat , 1991, Oxford: Basil Blackwell.
James Donald Monk , Johdatus asetettuun teoriaan , Krieger,1980
Anthony Morse (en) , Sarjojen teoria , 1965, Academic Press.
Andrzej Mostowski , "Joitakin vaikuttavia määritelmiä aksiomaattisen joukko-teoriasta", Fundamenta Mathematicae 37 (1951), 111-24.
Jean E.Rubin , Matematiikan teoria , San Francisco, Holden-päivä,1967

Aiheeseen liittyvät artikkelit