Finnslerian-lajike
In matematiikan ja erityisesti geometrian käsitettä pituuksien kaaren tärkeä rooli. Se liittyy vahvasti käyrän tangentin ja nopeuden käsitteeseen . Finslerian jakoputkisto (tai Finsler jakoputken) on ero jakoputken myöntää sen tangenttiavaruus heikko normi tekee mahdolliseksi mitata pituus kaarien.
Määritelmä ja perusesimerkkejä
Finslerian jakotukki on annettu on sileä ero moninaisia ja jokaisessa pisteessä on reaaliarvoinen funktio on tangenttiavaruuteen , siten, että missään vaiheessa jakoputken , on heikko normi , joka on - esimerkiksi, että se täyttää seuraavat ominaisuudet
VSk{\ displaystyle C ^ {k}}M{\ displaystyle M}m{\ displaystyle m}M{\ displaystyle M}F(m,⋅){\ displaystyle F (m, \ cdot)} TmM{\ displaystyle T_ {m} M}m{\ displaystyle m}M{\ displaystyle M}F(m,⋅){\ displaystyle F (m, \ cdot)}
- (Positiivisuus) Se on positiivinen, ts. Mille tahansa vektorille ;∀v∈TmM,F(m,v)⩾0{\ displaystyle \ forall v \ in T_ {m} M, F (m, v) \ geqslant 0}
- (Erottelu) Se määritellään siinä mielessä, että ;∀v∈TmM,F(m,v)=0⟺v=0{\ displaystyle \ kaikki v \ sisällä T_ {m} M, F (m, v) = 0 \ iff v = 0}
- (Positiivinen homogeenisuus) mikä tahansa positiivinen reaaliluku , ja joka vektori on , ;t{\ displaystyle t}v{\ displaystyle v}TmM{\ displaystyle T_ {m} M}F(m,tv)=t⋅F(m,v){\ displaystyle F (m, tv) = t \ cdot F (m, v)}
- (Kolmikulmainen epäyhtälö) varten mikä tahansa pari vektorit ja on , ,v{\ displaystyle v}w{\ displaystyle w}TmM{\ displaystyle T_ {m} M}F(m,v+w)⩽F(m,v)+F(m,w){\ displaystyle F (m, v + w) \ leqslant F (m, v) + F (m, w)}
Varten vektori kentät on toiminto säännöllisyyttä .
X{\ displaystyle X}M{\ displaystyle M}m↦Fm(Xm){\ displaystyle m \ mapsto F_ {m} (X_ {m})}VSk{\ displaystyle C ^ {k}}
Funktiota kutsutaan Finsler-metriikaksi, ja jakoputken sanotaan olevan finslerilainen rakenne . Jos heikko normi on normi, toisin sanoen minkä tahansa vektorin kanssa meillä on , sanotaan sitten, että metriikka on palautuva.
F{\ displaystyle F}v{\ displaystyle v}TmM{\ displaystyle T_ {m} M}F(m,-v)=F(m,v){\ displaystyle F (m, -v) = F (m, v)}
Huomautukset
Rajoittava määritelmä koostuu kolmiomaisen epätasa-arvon korvaamisesta toisen asteen kuperuudella , toisin sanoen vaatimalla, että hessiläinen on ehdottomasti positiivinen. Hessianilla tarkoitamme seuraavaa bilineaarista muotoa:F{\ displaystyle F}F2{\ displaystyle F ^ {2}}
gm,v(V,W)=12∂2∂s∂t[F2(m,v+sV+tW)]|s,t=0∀v,V,W∈TmM{\ displaystyle g_ {m, v} (V, W) = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ osittain ^ {2}} {\ osaa s \ osaa t}} {\ bigr [} F ^ {2} (m, v + sV + tW) {\ bigl]} {\ Bigg |} _ {s, t = 0} \ kaikki v, V, W \ sisällä T_ {m} M}.
Toinen tapa puhunut toisen asteen konveksisuus merkitsee sanomalla, että kupera osajoukko , jota kutsutaan yksikkö pallo pisteessä , myöntää jokaisessa pisteessä sen reuna osculating ellipsoidille on järjestyksessä kaksi. Sama on sanoa, että reunan Gaussin kaarevuus on ehdottomasti positiivinen kaikissa kohdissa. On selvää, että tässä tapauksessa toiminnon on oltava riittävän säännöllinen, jotta mainitut objektit voivat olla olemassa. Tässä tapauksessa tensoriksi kutsutaan perussensoria .
BF(m)={v∈TmM∣F(m,V)⩽1}{\ displaystyle B_ {F} (m) = \ {v \ in T_ {m} M \ keskellä F (m, V) \ lexslant 1 \}}F{\ displaystyle F}m{\ displaystyle m}BF(m){\ displaystyle B_ {F} (m)}F{\ displaystyle F}g{\ displaystyle g}
Esimerkkejä
Vektori tila , jossa on heikko normi. Jos normi on neliöllisesti kupera, puhumme Minkowskin normista.
Riemannin jakoputkisto , joka vastaa tapausta, jossa on positiivinen selvä neliöllinen muoto missään vaiheessa jakotukin. Tässä tapauksessa, on euklidinen tila tahansa ja ja keskeinen tensor on yhtä suuri kuin positiivinen määrätty symmetrinen bilineaarinen muoto liittyy neliöllinen muoto .
F2{\ displaystyle F ^ {2}}(TmM,F(m,⋅)){\ displaystyle {\ bigl (} T_ {m} M, F (m, \ cdot) {\ bigr)}}m{\ displaystyle m}M{\ displaystyle M}F2{\ displaystyle F ^ {2}}
Randers-mittarit. Ne on rakennettu Riemannin metrikasta häiritsemällä sitä 1-muodolla . Tarkemmin sanottuna, jos se on Riemannin-jakotukki ja on yhden asteen differentiaalimuoto jakotukin yläpuolella, jonka normi on tiukasti pienempi kuin 1 (eli kaikelle ja kaikelle ), voimme määrittää lopun metriikan seuraavaksi . Tässä tapauksessa yksikköpallo on edelleen ellipsoidi, mutta se ei enää ole keskellä alkuperää.
(M,g){\ displaystyle (M, g)}a{\ displaystyle \ alfa}am(v)<gm(v,v){\ displaystyle \ alpha _ {m} (v) <{\ sqrt {g_ {m} (v, v)}}}v∈TmM{\ displaystyle v \ sisällä T_ {m} M}m∈M{\ displaystyle m \ muodossa M}F(m,v)=gm(v,v)-am(v){\ displaystyle F (m, v) = {\ sqrt {g_ {m} (v, v)}} - \ alpha _ {m} (v)}
Hilbertin geometriat. Ne määritellään euklidisen avaruuden avoimen ja rajatun kuperan osajoukon sisällä seuraavasti. Let on sellainen kupera euklidisen avaruuden joukko . Tarkastellaan pistettä ja vektoria (tässä tapauksessa tangenttitila identifioidaan ). Pisteen läpi kulkeva ja vektorin suuntaama viiva leikkaa kuperan joukon reunan kahdessa pisteessä ja (mikä on myös kuperien joukkojen luonnehdinta ). Kysymme sittenΩ{\ displaystyle \ Omega}(Rei,||.||){\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}, ||. ||)}s∈Ω{\ displaystyle p \ sisään {\ mathcal {\ Omega}}}v∈Rei{\ displaystyle v \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}}Rei{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}s{\ displaystyle p}v{\ displaystyle v}klo{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}
F(s,v)=||v||⋅12(1||s-klo||+1||s-b||){\ displaystyle F (p, v) = || v || \ cdot {\ frac {1} {2}} {\ biggl (} {\ frac {1} {|| pa ||}} + {\ frac {1} {|| pb ||}} {\ biggr)}}
Käyrän pituus, geodeettinen
Jos on finslerian jakotukin voimme määritellä pituus käyrä , joka on paloittain käyttäen seuraavaa kaavaa(M,F){\ displaystyle (M, F)}y:[klo,b]→M{\ displaystyle \ gamma \ kaksoispiste [a, b] \ - M}VS1{\ displaystyle C ^ {1}}
L(y)=∫klobF(y(t),y˙(t))dt.{\ displaystyle L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} F {\ bigl (} \ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t) {\ bigr)} dt {\ teksti {.}}}
Geodeettinen ovat käyriä, jotka minimoivat välinen pituus olevia kuviaan.
Huomautukset
Finsler-metriikan positiivinen homogeenisuus tarkoittaa, että käyrän pituus pysyy muuttumattomana lisäämällä uudelleenparametrointia. Huomio siitä, että jos metriikkaa ei voida muuttaa, kulkusuunta vaikuttaa sen pituuteen.
Kun metriikka on riittävän tasainen, muunnelmien laskeminen antaa meille mahdollisuuden paljastaa Euler-Lagrange-yhtälö, jonka geodeettisten on täytettävä. Tämä pätee esimerkiksi neliöllisesti kuperaan Finsler-metriikkaan.
Nelikulmaisesti kuperan mittarin lipun kaarevuus
Antaa olla vektorikenttä avoimen O: n päässä finsleriläisestä jakotukista , jonka metriikka on neliöllisesti kupera.
V{\ displaystyle V}(M,F){\ displaystyle (M, F)}
Voimme sitten määritellä O: lla Riemannin-metriikan tasa-arvolla .
gV{\ displaystyle g ^ {V}}gmV=gm,V(m){\ displaystyle g_ {m} ^ {V} = g_ {m, V (m)}}
Tarkastellaan geodeettista segmenttiä ja oletetaan, että se on vektorikenttä, joka ulottuu paikallisesti nopeuskentän avoimelle O: lle . Voimme siis ottaa huomioon O.-mittarin
y{\ displaystyle \ gamma}Vy{\ displaystyle V _ {\ gamma}}y{\ displaystyle \ gamma}y˙{\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}}gVy{\ displaystyle g ^ {V _ {\ gamma}}}
Omaisuus
Pituus varten Riemannin metriikka on yhtä suuri kuin sen pituus Finsler metrinen . Erityisesti se ei riipu kentästä .
y{\ displaystyle \ gamma}gVy{\ displaystyle g ^ {V _ {\ gamma}}}F{\ displaystyle F}Vy{\ displaystyle V _ {\ gamma}}
Käyrä on myös geodeettinen Riemannin metriikalle .y{\ displaystyle \ gamma}gVy{\ displaystyle g ^ {V _ {\ gamma}}}
Määritelmä lipun kaarevuus
Finslerin jakotukin lipun kaarevuus on funktio, joka riippuu tason pisteestä , vektoritasosta ja nollasta poikkeavasta vektorista . Se on muodon Riemannin-metriikan poikkileikkauskäyrä , mistä geodeettinen lähtö alkaa alkunopeudella .
m∈M{\ displaystyle m \ muodossa M}σ⊂TmM{\ displaystyle \ sigma \ osajoukko T_ {m} M}v{\ displaystyle v}σ{\ displaystyle \ sigma} Kg(σ){\ displaystyle K_ {g} (\ sigma)}g=gVy{\ displaystyle g = g ^ {V _ {\ gamma}}}y{\ displaystyle \ gamma}m{\ displaystyle m}v{\ displaystyle v}
Ulkoiset linkit
-
" Matematiikan kuvat - Hilbertin geometria " , Matematiikan kuvat ,15. heinäkuuta 2011(käytetty 22. toukokuuta 2019 )
-
(en) Bao, D.; Chern S. - S.; Shen Z., Riemann-Finslerin geometrian esittely , New York, Springre-Verlag,200, 431 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-98948-8 ja 0-387-98948-X , lue verkossa )
Katso myös
Bibliografia
-
(en) Busemann, Herbert. Synteettinen lähestymistapa Finsler-tiloihin suuressa. Variaatioiden laskennan geometria (italia), 1--72, CIME Summer Sch., 23, Springer, Heidelberg, 2011.
-
(en) Busemann, Herbert, Normaaleilla koordinaateilla Finsler-tiloissa. Matematiikka. Ann. 129 (1955). 417--423.
-
(en) Busemann, Herbert. Geodeettisesta kaarevuudesta kaksiulotteisissa Finsler-tiloissa. Ann. Masto. Pura Appl. (4) 31, (1950). 281--295.
-
(en) Busemann, Herbert. Finsler-tilojen geometria. Sonni. Katkera. Matematiikka. Soc. 56, (1950). 5--16.
-
(en) Busemann, Herbert. Metriset menetelmät Finsler-tiloissa ja geometrian perusteissa. Annals of Mathematics Studies, ei. 8. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1942. {\ rm viii} +243 s.
-
(en) Busemann, Herbert. Symmetristen Finsler-tilojen metriset olosuhteet. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 27, (1941). 533--535.
-
( fr ) Cartan, Elie. Finsler-välilyönnit. Hermann, 1934.
-
( fr ) Finsler, Paul. Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen. (Saksa) Verlag Birkhäuser, Basel, 1951. {\ rm x} +160 s.
-
(sisään) Shen, Zhongmin. Ruiskutus- ja Finsler-tilojen differentiaaligeometria. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2001. xiii + 258 s. ( ISBN 0-7923-6868-1 )
-
(sisään) Shen, Zhongmin. Lukemat Finslerin geometriasta. World Scientific Publishing Co., Singapore, 2001. xiv + 307 s. ( ISBN 981-02-4531-9 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">