Satunnainen vektori

Satunnaisvektori kutsutaan myös moniulotteinen satunnaismuuttuja .

Määritelmä

Satunnainen vektori on n- ulotteinen yleistyminen on todellinen satunnaismuuttuja . Vaikka todellinen satunnaismuuttuja on funktio, joka sovittaa reaaliluvun kullekin ehdollisuudelle, satunnaisvektori on X- funktio, joka vastaa vektoria : $\ mathbb {R} ^ {n}$

X: \ omega \ mapsto X (\ omega) = (X_ {1} (\ omega), X_ {2} (\ omega), \ pisteitä, X_ {n} (\ omega))

missä $ω$ on $Ω:$ n yleinen elementti , kaikkien mahdollisten tapahtumien avaruus.

Sovellukset $X 1 , ..., X n$ ovat satunnaismuuttujia, joita kutsutaan satunnaisvektorin X komponenteiksi . Sitten Merkitään $X$ $= ($ $X$ $1$ $, ...,$ $x$ $n$ $)$ .

Kartta $X$ on (määritelty $Ω$ ), jossa arvot tilaan varustettuja Borelian heimo , on satunnainen vektori, jos se on mitattavissa. $(\ Omega, \ mathcal {F})$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

Jakamistoiminto

Antaa olla satunnainen vektori. Sen jakelutoiminto määritellään seuraavasti: $X = (X_ {1}, \ pistettä, X_ {n})$ $F: \ R ^ n \ - \ R$

F (x_ {1}, \ pisteet, x_ {n}) = \ mathbb {P} ((X_ {1} \ leq x_ {1}) \ cap \ cdots \ cap (X_ {n} \ leq x_ {n }))

Satunnaisvektorien riippumattomuus

Määritelmä

Kaksi satunnaista vektoria ovat riippumattomia vain ja vain, jos todennäköisyys, että nämä vektorit ottavat tietyn arvon, on yhtä suuri kuin todennäköisyyksien tulo, että kukin vektori ottaa tietyn arvon. Lisäksi jos kahden vektorin kovarianssi on nolla.

Esimerkki

Antaa olla todennäköinen tila. Asetamme kolme satunnaista vektoria. $(\ Omega, \ mathcal {T}, \ mathbb {P})$

{\ displaystyle X (\ Omega) = \ {x_ {1}, ..., x_ {p} \}, \, Y (\ Omega) = \ {y_ {1}, ..., y_ {q} \}, \, Z (\ Omega) = \ {z_ {1}, ..., z_ {r} \}.}

Heidän riippumattomuutensa ansiosta meillä on:

{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = x_ {i}, Y = y_ {j}, Z = z_ {k}) = \ mathbb {P} (X = x_ {i}) \ cdot \ mathbb {P } (Y = y_ {j}) \ cdot \ mathbb {P} (Z = z_ {k}), \ \ kaikki i \ sisään [\! [1; p] \!], J \ sisään [\! [ 1; q] \!], K \ sisään [\! [1; r] \!].}

Gaussin vektori

Määritelmä

Mitan $n$ satunnainen vektori on Gaussin vektori, jos mikä tahansa sen komponenttien lineaarinen yhdistelmä on Gaussin muuttuja .

Määritelmä - Olkoon $X = ( X 1 , ..., X n )$ satunnainen vektori. $X$ on Gauss-arvo vain ja vain, jos minkä tahansa reaalilukujen sekvenssin $( a 1 , ..., a n )$ satunnaismuuttuja

Z = a_ {1} X_ {1} + a_ {2} X_ {2} + \ cdots + a_ {n} X_ {n}

on Gaussin muuttuja .

Ominaisuudet

Antaa olla Gaussin vektori, jonka arvot ovat . Merkitään sen odotusarvo ja sen kovarianssimatriisin . Joko ja . Sitten satunnaisvektori on Gaussin, sen odotusarvo ja kovarianssimatriisi . ${\ displaystyle \ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle m \}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ displaystyle A \ sisällä M_ {n, p} (\ mathbb {R}) \}$ ${\ displaystyle \ displaystyle b \ \ sisään \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle AX + b}$ ${\ displaystyle \ displaystyle Am + b}$ ${\ displaystyle \ displaystyle A \ Sigma A ^ {T}}$
Kun otetaan huomioon Gauss-vektori , kukin sen komponenteista noudattaa Gaussin lakia, koska kaikelle voimme kirjoittaa :, missä on Kronecker-symboli . ${\ displaystyle X = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$ ${\ displaystyle \ displaystyle i \ sisään [\! [1, n] \!]}$ ${\ displaystyle X_ {i} = \ summa _ {j = 1} ^ {n} \ delta _ {ij} X_ {j}}$ $\ delta_ {ij}$
Toisaalta päinvastoin on väärä: jos ja ovat riippumattomia satunnaismuuttujia vastaavista supistetuista keskitetyistä Gaussin ja Rademacherin laeista , myöntää ne atomina eivätkä siksi seuraa Gaussin lakia. Kuitenkin ja seuraa alentunut keskitetty Gaussin laki. $X$ $\ varepsilon$ ${\ displaystyle X + \ varepsilon X}$ ${\ displaystyle 0}$ $X$ ${\ displaystyle \ varepsilon X}$
Antaa olla riippumattomien Gaussin todellisten satunnaismuuttujien perhe . Sitten satunnaisvektori on Gaussin. ${\ displaystyle \ displaystyle (X_ {i}) _ {1 \ leqslant i \ leqslant n}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle (X_ {1}, ..., X_ {n})}$

Gaussin vektorin rakentaminen kovarianssimatriisista

On huomattavaa, että mikä tahansa positiivinen määritelty matriisi on Gaussin vektorin kovarianssimatriisi . Lisäksi tästä matriisista ja todellisesta vektorista (joka vastaa Gaussin vektorivälineiden vektoria) voidaan määrittää ainutlaatuinen Gaussin vektori.

Ominaisuus - Olkoon $Γ$ positiivinen varma todellinen matriisi, jonka koko on $d \times d$ , ja $μ$ vektorin, jonka koko on $d$ .

On olemassa ainutlaatuinen Gaussin vektori $X = ( X 1 , ..., X n ),$ jonka $Γ$ on kovarianssimatriisi ja $μ$ on keskimääräinen vektori.

{\ displaystyle \ Gamma = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {Var} (X_ {1}) & \ mathrm {Cov} (X_ {1}, X_ {2}) & ... & \ mathrm {Cov} (X_ {1}, X_ {n}) \\\ mathrm {Cov} (X_ {1}, X_ {2}) & ... & ... & \\ ... &&& \\\ mathrm {Cov } (X_ {1}, X_ {n}) & ... & ... & \ mathrm {Var} (X_ {n}) \\\ end {pmatrix}} {\ text {ja}} \ mu = {\ begin {pmatrix} \ mathbb {E} (X_ {1}) \\\ mathbb {E} (X_ {2}) \\ ... \\\ mathbb {E} (X_ {n}) \ end {pmatrix}}}

Merkitään $μ: hon$ ja $Γ: hen$ liittyvää Gaussin vektoria . ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$

Lisäksi voimme laskea tämän Gaussin vektorin tiheyden.

Omaisuus - joko . Sen tiheys $f$ $X$ $($ $u$ $)$ ilmaistaan ( $X$ : n $d-$ mitalla ja $d$ ): ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$ ${\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {R} ^ {d}}$

{\ displaystyle f_ {X} (x) = {\ cfrac {1} {\ sqrt {(2 \ pi) ^ {d} \ mathrm {det} (\ Gamma _ {X})}}} \ exp \ left (- {\ dfrac {1} {2}} (x- \ mu) ^ {t} \ Gamma ^ {- 1} (x- \ mu) \ oikea)}

Lopuksi voimme huomata tämän suhteen $X$ Gaussin vektorin ja itsenäisen pienennetyn keskitetyn normaalijakauman vektorin välillä :

Omaisuus - Joko . ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$

{\ displaystyle X = AZ + \ mu}

kanssa neliöjuuri matriisi $Γ$ , $μ$ vektori välineet ja $Z$ satunnaisvektori, jonka komponentit ovat riippumattomia ja noudattavat normaalijakaumaa ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)}$

Tyypillinen toiminto

Voimme laskea Gaussin vektorin ominaisfunktion:

Omaisuus - Joko . ${\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ Gamma)}$

Sen luonteenomainen toiminto $Φ X ( u ) on$ ilmaistu (kanssa ): ${\ displaystyle u \ sisään \ mathbb {R} ^ {d}}$

{\ displaystyle \ Phi _ {X} (u) = \ exp \ left (iu ^ {t} \ mu - {\ frac {1} {2}} u ^ {t} \ Gamma u \ right)}

Erityisesti Gaussin vektorin ominaisuudet voidaan lukea suoraan sen Fourier-muunnoksesta. Todellakin, jos on Gaussin vektori, jolla on ominaisfunktio, jonka määrittelee: ${\ displaystyle X = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$

{\ displaystyle \ forall (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}, \ Phi _ {X} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} ) = \ exp \ left (i \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mu _ {i} - {\ frac {1} {2}} \ summa _ {1 \ leq i, j \ leq n } \ Gamma _ {i, j} x_ {i} x_ {j} \ oikea)}

Sitten sen keskivektorin antaa ja kovarianssimatriisinsa . ${\ displaystyle \ mu = (\ mu _ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n}}$ ${\ displaystyle \ Gamma = (\ Gamma _ {ij}) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}$

Huomautuksia ja viitteitä

Gaussin vektorit, aggregaation valmistelu Bordeaux 1, Jean-Jacques Ruch

Bibliografia

Patrick Bogaert, Todennäköisyys tutkijoille ja insinööreille, De Boeck University, 2006, Bryssel
Alain Combrouze , Todennäköisyydet1, Presses Universitaires de France, 1996, Pariisi
Yves Ducel, Johdatus todennäköisyyden matemaattiseen teoriaan, Ellipses, 1998, ( ISBN 2-7298-9820-4 )
Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Korjatut harjoitukset todennäköisyysteoriassa, Ellipses, 1996, ( ISBN 2-7298-4688-3 )

Sisäiset linkit

Ulkoiset linkit