Biharmoninen yhtälö

On analyysi , biharmonic yhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö järjestyksessä 4, joka näyttää esimerkiksi teorian elastisuus . Funktion φ biharmoninen yhtälö kirjoitetaan:

∇4φ=Δ2φ=0{\ displaystyle \ nabla ^ {4} \ varphi = \ Delta ^ {2} \ varphi = 0}

missä ∇ on nabla- operaattori ja Δ laplaasian operaattori . Operaattorin Δ 2 tunnetaan myös nimellä biharmonic tai bilaplacian operaattori .

Kolmiulotteisessa tapauksessa suorakulmaisessa koordinaatistossa biharmoninen yhtälö kirjoitetaan:

∂4φ∂x4+∂4φ∂y4+∂4φ∂z4+2∂4φ∂x2∂y2+2∂4φ∂y2∂z2+2∂4φ∂x2∂z2=0.{\ displaystyle {\ frac {\ partisaalinen ^ {4} \ varphi} {\ osallinen x ^ {4}}} + {\ frac {\ osallinen ^ {4} \ varphi} {\ osallinen y ^ {4}}} + {\ frac {\ osal ^ {4} \ varphi} {\ osaa z ^ {4}}} + 2 {\ frac {\ osaa ^ {4} \ varphi} {\ osaa x ^ {2} \ osaa y ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ osittainen ^ {4} \ varphi} {\ osittainen y ^ {2} \ osallinen z ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ osallinen ^ {4} \ varphi} {\ partituali x ^ {2} \ osittainen z ^ {2}}} = 0.}

Kun euklidinen tila ulottuvuuden n , seuraava suhde on aina varmistettu:

∇4(1r)=3(15-8ei+ei2)r5{\ displaystyle \ nabla ^ {4} \ vasen ({\ frac {1} {r}} \ oikea) = {\ frac {3 (15-8n + n ^ {2})} {r ^ {5}} }}

kanssa r euklidisen etäisyyden  :

r=x12+x22+⋯+xei2{\ displaystyle r = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}}}.

joka n = 3 : lle on biharmonisen yhtälön ratkaisu.

Funktiota, joka on biharmonisen yhtälön ratkaisu, kutsutaan biharmoniseksi funktioksi . Jokainen harmoninen toiminto on biharmoninen - päinvastoin ei ole totta.

Biharmoninen operaattori napakoordinaateissa kirjoitetaan:

Δ2φ=1r∂∂r(r∂∂r(1r∂∂r(r∂φ∂r)))+2r2∂4φ∂r2∂θ2+1r4∂4φ∂θ4-2r3∂3φ∂θ2∂r+1r4∂2φ∂θ2=0.{\ displaystyle \ Delta ^ {2} \ varphi = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partituali} {\ osallinen r}} \ vasen (r {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen r }} \ vasen ({\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partitali {\ ositettu r}} \ vasen (r {\ frac {\ osallinen \ varphi} {\ osallinen r}} \ oikea) \ oikea) \ oikea) + {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ osallinen ^ {4} \ varphi} {\ osittainen r ^ {2} \ osittainen \ theta ^ {2} }} + {\ frac {1} {r ^ {4}}} {\ frac {\ partitali {4} \ varphi} {\ osittainen \ theta ^ {4}}} - {\ frac {2} {r ^ {3}}} {\ frac {\ osal ^ {3} \ varphi} {\ osittainen \ theta ^ {2} \ osaa r}} + {\ frac {1} {r ^ {4}}} {\ frac {\ osittainen ^ {2} \ varphi} {\ osittainen \ theta ^ {2}}} = 0.}

Liuos voidaan sitten saada erottamalla muuttujat  ; on Michell-ratkaisu  (sisään) .

Tietyissä numeerisissa simulaatioissa voidaan käyttää bilaplacian diskreettiversiota. Δ2u=ui+2,j+ui-2,j+ui,j+2+ui,j-2+2(ui+1,j+1+ui+1,j-1+ui-1,j+1+ui-1,j-1)-8(ui+1,j+ui-1,j+ui,j+1+ui,j-1)+20ui,j{\ displaystyle \ Delta ^ {2} u = u_ {i + 2, j} + u_ {i-2, j} + u_ {i, j + 2} + u_ {i, j-2} +2 \ vasen (u_ {i + 1, j + 1} + u_ {i + 1, j-1} + u_ {i-1, j + 1} + u_ {i-1, j-1} \ oikea) -8 \ vasen (u_ {i + 1, j} + u_ {i-1, j} + u_ {i, j + 1} + u_ {i, j-1} \ oikea) + 20u_ {i, j}}

Viitteet

• ( fr ) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista "  Biharmoninen yhtälö  " ( katso luettelo kirjoittajista ) .

Katso myös

Sisäiset linkit

• Harmoninen toiminto
• Bilaplacian operaattori

Ulkoiset linkit

• (en) Eric W. Weisstein , "  Biharmoninen yhtälö  " , MathWorldissa

Bibliografia

• Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press, 2002. ( ISBN  1-58488-347-2 ) .
• SI Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering , Marcel Dekker, 2000. ( ISBN  0-8247-0466-5 ) .
• JP Den Hartog, Advanced Strength of Materials , Courier Dover Publications, 1.7.1987 . ( ISBN  0-486-65407-9 ) .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">