Riccatin yhtälö

On matematiikka , joka on Riccati yhtälö on tavallinen differentiaaliyhtälö , joka on muotoa

{\ displaystyle y '= q_ {0} (x) + q_ {1} (x) y + q_ {2} (x) y ^ {2}}

missä , ja on kolme toimintoa, valitaan usein jatkuva yli yhteinen aikaväli reaali- tai kompleksisia arvoja. ${\ displaystyle q_ {0} \,}$ $q_1 \,$ $q_2 \,$

Sillä on tämä nimi Jacopo Francesco Riccatin (1676-1754) ja hänen poikansa Vincenzo Riccatin (1707-1775) kunniaksi .

Yleensä tällaiselle yhtälölle ei ole kvadratuurierotusta , mutta on olemassa erottelumenetelmä heti, kun tietty ratkaisu tiedetään.

Historiallinen näkökohta

Vuonna 1720 Francesco Riccati esittelee ystävälleen Giovanni Rizzettille kaksi differentiaaliyhtälöä, jotka hän pyrkii ratkaisemaan:

${\ displaystyle (1) \ quad y '= ay ^ {2} + bx + cx ^ {2} \,}$ missä a , b ja c ovat todellisia vakioita;
${\ displaystyle (2) \ quad y '= ay ^ {2} + bx ^ {m} \,}$ missä a , b ja m ovat todellisia vakioita.

Ensimmäinen yhtälö tulee tutkimuksesta tasoliikkeestä, jolla varmistetaan seuraava lineaarinen differentiaaliyhtälö:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}} {\ begin { pmatrix} x \ \ y \\\ end {pmatrix}}}

missä x ja y ovat liikkuvan pisteen M koordinaatit.

Tarkastelemalla suoran kaltevuutta z ( OM ) hän todistaa, että z: n on todennettava tyypin (1) yhtälö, joten hän haluaa tutkia sen yleisiä ratkaisuja.

Toinen yhtälö on vain osittain ratkaistu tekijä ja että Bernoulli ( Nicolas 1 st ja Daniel erityisesti). Hänen poikansa Vicenzo Riccati kehitti menetelmän traktorilla . Goldbach laskeutui myös siihen. Sitten 1841 , Liouville osoitti, että lukuun ottamatta tapauksen

{\ displaystyle m = {\ frac {(-4h)} {(2h \ pm 1)}}}

missä h on luonnollinen luku,

yhtälöä ei voida ratkaista kvadratuureilla .

Riccatin yhtälöt yleistetään sitten muodon mihin tahansa yhtälöön

{\ displaystyle y '= q_ {0} (x) + q_ {1} (x) y + q_ {2} (x) y ^ {2}}

Joissakin olosuhteissa , , yhtälö on ratkaistavissa neliöimällä. Kiitos Cauchyn-Lipschitz lauseen , osoitamme, että jos , ja ovat jatkuvia funktioita, sitten on ratkaisuja Riccati yhtälö. Lopuksi todistamme, että jos tiedämme tietyn ratkaisun, Riccatin yhtälöä voidaan pienentää muuttamalla muuttuja Bernoullin yhtälöksi . ${\ displaystyle q_ {0} \,}$ $q_1 \,$ $q_2 \,$ ${\ displaystyle q_ {0} \,}$ $q_1 \,$ $q_2 \,$

Tavallinen differentiaaliyhtälö luokkaa 2 vastaava

Riccati n epälineaarinen ero yhtälö voidaan aina muotoilla uudelleen osaksi Tavalliset Lineaarinen differentiaaliyhtälön (ODE). Joo

{\ displaystyle y '= q_ {0} (x) + q_ {1} (x) y + q_ {2} (x) y ^ {2} \!}

jossa ei-nolla ja differentioituvia, sitten täyttää Riccati yhtälö on muotoa $q_ {2}$ ${\ displaystyle v = yq_ {2}}$

{\ displaystyle v '= v ^ {2} + R (x) v + S (x), \!}

missä ja . Todellakin, ${\ displaystyle S = q_ {2} q_ {0}}$ ${\ displaystyle R = q_ {1} + {\ frac {q_ {2} '} {q_ {2}}}}$

{\ displaystyle v '= (yq_ {2})' = y'q_ {2} + yq_ {2} '= (q_ {0} + q_ {1} y + q_ {2} y ^ {2}) q_ {2} + v {\ frac {q_ {2} '} {q_ {2}}} = q_ {0} q_ {2} + \ vasen (q_ {1} + {\ frac {q_ {2}'} {q_ {2}}} \ oikea) v + v ^ {2}. \!}

Korvaamalla seuraa, että järjestyksen 2 lineaarinen ODE tyydyttää ${\ displaystyle v = -u '/ u}$ $u$

{\ displaystyle u '' - R (x) u '+ S (x) u = 0 \!}

siitä asti kun

{\ displaystyle v '= - (u' / u) '= - (u' '/ u) + (u' / u) ^ {2} = - (u '/ u) + v ^ {2} \ !}

jotta

{\ displaystyle u '' / u = v ^ {2} -v '= - S-Rv = -S + Ru' / u \!}

ja niin

{\ displaystyle u '' - Ru '+ Su = 0. \!}

Tämän yhtälön ratkaisu johtaa alkuperäisen Riccati-yhtälön ratkaisuun. ${\ displaystyle y = -u '/ (q_ {2} u)}$

Resoluutio tietyn ratkaisun tunteminen

Jos ratkaisu on mahdollista löytää , yleinen ratkaisu on muodoltaan ${\ displaystyle \, y_ {1}}$

{\ displaystyle y = y_ {1} + u \,}

Vaihto

{\ displaystyle y \,}

kautta

{\ displaystyle y_ {1} + u \,}

Riccati-yhtälössä saadaan:

{\ displaystyle y_ {1} '+ u' = q_ {0} + q_ {1} (y_ {1} + u) + q_ {2} (y_ {1} + u) ^ {2} \ ,,}

ja niin

{\ displaystyle y_ {1} '= q_ {0} + q_ {1} y_ {1} + q_ {2} y_ {1} ^ {2} \ ,,}

meillä on :

{\ displaystyle u '= q_ {1} u + 2q_ {2} y_ {1} u + q_ {2} u ^ {2} \,.}

Kulta

{\ displaystyle u '- (q_ {1} + 2q_ {2} y_ {1}) u = q_ {2} u ^ {2} \,}

on Bernoullin yhtälö . Tämän Bernoulli-yhtälön ratkaisemiseksi tarvittava korvaaminen on tällöin:

{\ displaystyle z = u ^ {1-2} = {\ frac {1} {u}}}

Se johtaa lineaariseen yhtälöön :

{\ displaystyle z '+ (q_ {1} + 2q_ {2} y_ {1}) z = -q_ {2} \,}

Riccati-yhtälön yleinen ratkaisu annetaan sitten:

{\ displaystyle y = y_ {1} + {\ frac {1} {z}}}

missä z on edellä mainitun lineaarisen yhtälön yleinen ratkaisu.

Käyttöalueet

Tapaamme Riccatin yhtälöt kvanttifysiikassa Schrödingerin yhtälöön liittyvissä ongelmissa , aaltoyhtälössä, optimaalisessa suodatuksessa ( Kalman-suodatin ), optimaalisessa lineaarisessa neliöllisessä kontrollissa , LQG-ohjauksessa tai jopa lämmön etenemisen yhtälössä sinimuotoisessa järjestelmässä . Näissä tapauksissa funktio on monimutkainen. $q_ {1}$

Niitä kohdataan myös rahoitusmatematiikassa , erityisesti Heston-mallin yhteydessä ja korkojen mallintamiseen liittyvissä ongelmissa (esimerkiksi Cox-Ingersoll-Ross-malli ).

Viitteet

Edward Lindsay Ince (en) , Tavalliset differentiaaliyhtälöt , 1920, s. 24-25
(in) P. Boyle, W. Tian Guan ja Fred, " Riccati yhtälö rahoitusmatematiikka " , J. symbolinen laskenta , vol. 33,2002, s. 343-355 ( DOI 10.1006 / jsco.2001.0508 , lue verkossa ).

Serge Mehl, “ Riccati-yhtälö ” , ChronoMathissa
(en) S. Bittanti, ” Riccatin yhtälön historia ja esihistoria ” ,1997( DOI 10.1109 / CDC.1996.572758 )
René Lagrange, " Jotkut integroitavuuden teoreemat Riccatin yhtälön kvadratuureilla ", Bull. SMF , voi. 66,1938, s. 155-163 ( lue verkossa )
Traktoreiden päätöslauselma abraCAdaBRI-laitteessa
Täydennys on Encyclopedia ja perustelluista Dictionary of Sciences, Taideteollisuus , s. 648, Gallica

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista ” Riccati-yhtälö ” ( katso luettelo tekijöistä ) .