In todennäköisyysteoriasta , Brownin puu , tai Brownin jatkuva satunnainen puu , tai Aldous puu , on erikoistapaus todellinen satunnainen puu , joka voidaan määritellä peräisin retki on Brownin liike . Sen nimi on siis johdettu kasvitieteilijä Robert Brownin nimestä . David Aldous määritteli ja tutki matemaattisesti Brownin puun kolmen vuosina 1991 ja 1993 julkaistun artikkelin sarjassa, sen englanninkielinen nimi on Brownin jatkumo-satunnaispuu , lyhennettynä nimellä Brownian CRT tai CRT tai jopa Aldous 'CRT . Tämä puu on sittemmin yleistetty ja hienoja ominaisuuksia on saatu.
Tällä satunnaisella puulla on useita määritelmiä ja vastaavia rakennusmenetelmiä: käyttämällä rajapintamäärästä lehtiä syntyviä osapuita, käyttämällä Brownin retkeä , viivan Poissonian erottamalla tai Galton-Watson-puulinjana .
Intuitiivisesti Brownin puu on binääripuu, jonka solmut (tai haarautumispisteet) ovat tiheitä puussa; toisin sanoen, että kahden puussa valitun pisteen välillä on aina solmu näiden kahden pisteen välillä. Se on fraktaaliobjekti, jolla voi olla likimääräinen edustus tietokoneohjelmien tai fyysisten prosessien avulla, jotka saavat dendriittirakenteet
Seuraavat määritelmät ovat erilaisia karakterisointeja Brownin puulle, ne on otettu Aldousin kolmesta tienraivausartikkelista. Käsitteet lehdet , solmujen , oksat , juuret ovat intuitiivisia käsitteitä puussa. Tarkempia selityksiä on todellisen puun määritelmissä .
Tämä määritelmä antaa rajallisen lukumäärän alipuista, jotka syntyvät rajallisella määrällä lehtiä.
Sijoitamme rajallisten binääripuiden tilaan, joiden lehdet on numeroitu 1: stä , joten näillä puilla on reunat, joiden pituudet antavat positiiviset reaalit . Puu määritetään sitten sen muodon (eli näiden solmujen järjestyksen) ja näiden reunojen pituuksien perusteella. Määritämme satunnaismuuttujan todennäköisyyslain tässä tilassa seuraavasti:
missä . Toisin sanoen laki ei riipu puun muodosta, vaan vain reunojen pituuksien kokonaissummasta.
Määritelmä - Huomaa, että se on metrinen avaruus, jolla on puun ominaisuus, toisin sanoen sellainen, että kahden pisteen välillä on ainutlaatuinen polku , annamme todennäköisyysmitta . Jos piste- generated alipuun satunnaisesti valitseman on lain , niin kutsutaan Brownin puuhun .
Toisin sanoen Brownin puu määritellään kaikkien syntyvien rajallisten alipuiden laeista.
Brownin puu on todellinen puu, joka määritellään käyttävän Brownin retkeä (tämä on Wikipedia-artikkelin todellinen puu karakterisointi 4 )
Huomaa , normalisoitu Brownin retki , joka on ehdollinen pituudelle 1. Määritämme puolimatkan tämän retken tuella
kaikestaMääritämme sitten vastaavuussuhteen , jota merkitään ; on joka tunnistaa pistettä , kuten .
on sitten etäisyys osamääräavaruuden yli .
Määritelmä - metristä tilaa kutsutaan Brownin puuksi.
Itse asiassa on yleisempää ottaa huomioon retki kuin .
Tämä termi tulee englanninkielisestä termistä Fish line-breakcking tai stick-breaking rakentaminen .
Tarkastellaan ei-homogeenista Poisson-prosessia N , jonka intensiteetti on r (t) = t . Eli kaiken , on Poisson muuttuja parametrin . Jos merkitsemme tämän Poisson-prosessin tuottamia pisteitä, intervallien pituuksilla on eksponentiaalilaki, joka pienenee . Suoritamme sitten seuraavan rakentamisen:
Määritelmä - sulkeminen , joka on varustettu etäisyyden rakennettu edellisen algoritmin, kutsutaan Brownin puu.
Algoritmia käytetään simuloimaan Brownin puuta tietokoneella.
( katso osio Galton-Watson-puiden lähentyminen )
Pidämme Galton-Watson puu , jonka lisääntyminen laki on nollasta äärellinen varianssi ja ilmastointi on solmuja. Merkitään tätä puuta, kun reunojen pituus on jaettu toisin sanoen, että jokaisella reunalla on pituus . Rakentaminen voidaan muodostaa tarkastelemalla Galton-Watson-puuta metrisenä avaruutena (tai todellisena puuna ) tai käyttämällä muotoprosesseja (tai korkeuksia ) ja normalisoimalla ne uudelleen (katso kaava ).
Määritelmä - Lainsäädännössä on raja todelliselle satunnaiselle puulle, jota kutsutaan Brownin puuksi
Lain raja käytetty tässä on laki lähentymistä ja stokastisten prosessien on Skorokhod tilaa (ja luonnehdinta, jonka ääriviivat prosessit) tai lain lähentymisen määritelty päässä Hausdorff etäisyys (varten luonnehdinta metrinen avaruus).).