Ford Circle
On matematiikka , Fordin ympyrä on ympyrä , jonka keskipiste ja säde liittyy redusoitumaton fraktion fraktio, yksinkertaistetussa muodossa, joka on, koostuu kokonaislukuja prime keskenään .
Tarina
Fordin piirit on nimetty amerikkalaisen matemaatikon Lester Fordin (vanhempi) kunniaksi , joka kuvasi niitä artikkelissa, joka julkaistiin American Mathematical Monthly -lehdessä vuonna 1938 .
Ominaisuudet
Pelkistämättömään fraktioon p / q liittyvää Fordin ympyrää merkitään C [ p / q ] tai C [ p , q ]. Yhtälöjonoa y = 1 pidetään jatkossa Ford-ympyränä - se voidaan rinnastaa Ford-ympyrään, joka liittyy äärettömyyteen , tässä tapauksessa p = 1, q = 0.
Kaksi Ford-ympyrää, jotka liittyvät kahteen erilliseen murto-osaan, ovat joko disjointteja tai tangentteja . Toisaalta mikä tahansa Fordin ympyrä on tangentti x-akselille . Jos pelkistämätön jae p / q on 0: n ja 1 välillä, C: n [ p / q ] tangenttina olevat Ford-ympyrät ovat juuri niitä, jotka liittyvät p / q : n naapureihin tietyissä Farey-sekvensseissä .
Ford-ympyröitä voidaan ajatella myös käyrinä monimutkaisessa tasossa . Modulaarinen ryhmä on kompleksitasossa muunnokset muuntaa Ford-piireissä muihin Fordin piireissä.
Tulkitsemalla ylempi puoli kompleksitason mallina hyperbolisen tason (malli Poincare puoli-tasossa), Ford ympyrät voidaan myös tulkita mosaiikki hyperbolisen tasossa. Mitkä tahansa kaksi Fordin piireissä yhtenevät vuonna hyperbolinen geometria . Jos C [ p / q ] ja C [ r / s ] ovat tangenttina olevia Ford-ympyröitä, niin abscissin akseliin nähden kohtisuorassa oleva puoliympyrä ( p / q , 0) ja ( r / s , 0) on hyperbolinen viiva, joka kulkee myös pisteen läpi, jossa nämä kaksi ympyrää ovat tangentteja toisiinsa.
Ford ympyrät muodostavat osajoukon on Apollonioksen piireissä syntyy viivojen y = 0 ja y = 1 ja ympyrän C [0/1].
Kokonaispinta-ala, jota rajoittaa Ford piireissä on yhtä suuri ≈ 0,872 284 (jatkoa A279037 ja OEIS ), jossa φ tarkoittaa Euler indicatrix ja ζ Riemannin Zeta funktio .
Katso myös
Aiheeseen liittyvä artikkeli
Ulkoiset linkit
- (en) Eric W. Weisstein , ” Ford Circle ” , MathWorldissa
- (en) Fordin koskettavat ympyrät , Cut The Knot -sivustolla
- " Fordin piirit " , verkkosivustolla mathwebs.com
- ( FR ) Annmarie McGonagle, ” uusi Parameterization Ford Circles, ” on State University of New York at Plattsburgh ,2011